逻辑常项 logical constants (John MacFarlane)
首次发表于 2005 年 5 月 16 日；实质修订于 2015 年 6 月 18 日。
逻辑通常被认为只关注句子和论证因其逻辑结构或形式而具有的特征。句子或论证的逻辑形式由其句法或语义结构以及某些被称为“逻辑常项”的表达式的放置决定。[1] 因此，例如，句子
每个男孩都爱一些女孩。
和
有些男孩爱每个女孩。
被认为在逻辑形式上有所不同，尽管它们共享相同的句法和语义结构，因为它们在逻辑常项“每个”和“有些”的位置上有所不同。相比之下，句子
每个女孩都爱某个男孩。
和
每个男孩都爱着某个女孩。
被认为具有相同的逻辑形式，因为“女孩”和“男孩”不是逻辑常项。因此，为了解决关于逻辑形式的问题，最终解决哪些论证在逻辑上有效，哪些句子在逻辑上为真的问题，我们必须区分语言的“逻辑常项”和非逻辑表达式。
虽然普遍认为否定、合取、析取、条件、一阶量词的符号应被视为逻辑常项，而像“红色”、“男孩”、“更高”和“克林顿”这样的词则不应被视为逻辑常项，但在一个广泛争议的中间地带存在着许多争议。身份符号是否是逻辑常项？时态和情态运算符是否是逻辑常项？“真实”、“集合论成员的 ε”符号、“部分整体的符号”、“二阶量词”或者量词“存在无穷多个”是否是逻辑常项？是否存在一种独特的代理逻辑或知识逻辑？在这些边界领域，我们对典型案例的直觉失效了；我们需要更有原则性的东西。
然而，关于逻辑和非逻辑表达式之间区别的基础，哲学界几乎没有共识。在这个问题得到解决之前，我们缺乏对逻辑的范围和性质的适当理解，以及逻辑研究的“形式”属性和关系与相关但非形式的属性之间区别的重要性。例如，句子
如果苏格拉底是人类和有限的，那么他是有限的。
通常被认为是一个逻辑真理，而句子
如果苏格拉底是橙色的，那么他是有颜色的。
不是，尽管直观上两者都是真实的、必要的、可先验的和分析的。我们在称其中一个为“逻辑真理”时，对它们之间的区别的意义是什么？对逻辑常项的原则性划分可能会提供一个答案，从而澄清在哲学争议中的重要性，即什么被视为逻辑（例如，数学哲学中的逻辑主义和结构主义）。
本文将讨论逻辑常项的问题，并概述解决或解决该问题的主要方法。
1. 随附项
划定逻辑常项的最古老方法是将其与语言的随附符号等同起来：这些符号本身并不表示任何意义，但用于指示独立有意义的术语如何组合。这种方法在 19 世纪之前占主导地位的“术语逻辑”背景下是自然而然的。所有命题都被认为是通过少量的联结词（如“和”、“或”、“如果...那么”等）由主谓形式的命题组成的。在这个框架中，词语自然地分为可以用作主语或谓语的词语（“范畴词”）和其功能是指示主谓关系或两个不同的主谓命题之间关系的词语（“随附词”）。例如，“苏格拉底”、“奔跑”、“大象”和“大”是范畴词，而“只有”、“每个”、“必然”和“或”是随附词。（有关更详细的解释，请参见 Kretzmann 1982 年，211-214 页。）随附词被自然地视为指示命题的结构或形式，而范畴词则提供其“内容”。因此，14 世纪的逻辑学家布里丹写道：
我说，在一个命题中（因为我们在这里谈论的是物质和形式），我们通过“命题的物质”或“推论的物质”指的是纯粹的范畴术语，即主语和谓语，省略了将它们包围并通过它们进行连接、否定、分配或强制到一定的假设模式的同类术语。我们说，其余的都属于形式。（Buridan 1976，I.7.2）
弗雷格对逻辑形式的观念的革命使得这种划分逻辑常项的方式成为有问题的。而逻辑学家们曾经认为每个命题都由主语和谓语术语通过同类术语“胶水”连接在一起，弗雷格教导我们通过功能应用和功能抽象的递归构建句子和命题（有关良好解释，请参见 Dummett 1981，第 2 章）。为了看清这两种方法之间的区别，考虑以下句子：
每艘船都比鲸鱼小。
一个术语逻辑学家会将（1）视为由一个主语术语（“船”）和一个谓语术语（“比鲸鱼小的东西”）组成的，以普遍肯定的范畴形式连接在一起的。相比之下，弗雷格会将（1）规范化为
∀x（x 是一艘船 ⊃x 比鲸鱼小）
他会将其分析为应用第二级函数 [2] 的结果
∀x(Φ(x)⊃Ψ(x))
对于第一级函数
ξ 是一艘船
和
ξ 小于 Moby Dick。
（这里的希腊字母 ξ、Φ 和 Ψ 表示函数的参数位置：小写希腊字母表示可以由适当名称填充的位置，而大写希腊字母表示必须由函数表达式（如（4）和（5））填充的位置。）他会认为（5）本身就是在“抽象”“Shamu”所占位置的结果。
Shamu 比 Moby Dick 小，
这是应用函数的结果，
ζ 比 ξ 小
对于“Shamu”和“Moby Dick”。弗雷格表明，通过以函数/参数组合的方式描述句子和命题，我们可以以比旧的主/谓模型更完整、更明晰、更系统的方式表示它们之间的逻辑关系。
然而，一旦我们摒弃了旧的主/谓模型，我们就不能再将常项词与主语和谓语词等同起来，就像中世纪人所做的那样。我们也不能将随附项词视为那些没有“独立”意义的表达式，或者将其视为将常项词粘合在一起形成有意义整体的“胶水”。诚然，从某种意义上说，“逻辑”函数 (3) 是将 (4) 和 (5) 结合起来得到 (2) 的胶水。但是在同样的意义上，函数 (7) 是将“Shamu”和“Moby Dick”结合起来得到 (6) 的胶水。如果我们将所有功能表达式都视为随附项词，因为它们是“不完整”或“未饱和”的，因此不是“独立有意义”的，那么随附项表达式将包括不仅仅是连接词和量词，还包括普通的谓词。另一方面，如果我们将所有功能表达式都视为常项词，那么随附项将仅限于变量、括号和其他用于表示功能应用和抽象的符号。在任何情况下，这种区分都不会对划定逻辑常项有用。一个中间的建议是将一级函数视为常项，将二级函数视为随附项。这将使 (3) 成为随附项，而 (4) 和 (5) 成为常项。然而，并不是每个二级函数都是（直观上）“逻辑”的。例如，考虑以下二级函数：
对于每只狗 x，使得 Φ(x) 的都是使得 Ψ(x) 的。
当然，标准的逻辑语言没有一个简单的表达这个函数的表达式，但原则上我们没有理由不能引入这样的表达式。相反，并非每个一级函数都是（直观上）非逻辑的：例如，恒等关系通常被视为逻辑的。
总之，在术语逻辑框架中，范畴词和同范畴词的区别如何扩展到基于弗雷格的命题结构的后期概念并不清楚。无论如何，扩展这种区别的自然方式似乎都不适用于逻辑常项的划分。卡尔纳普承认，范畴词和同范畴词表达式之间的区别“似乎在很大程度上是一种约定”（1947 年，6-7）。然而，逻辑常项是同范畴词的观点并没有随着术语逻辑的消亡而完全消失。它的影响仍然可以在维特根斯坦坚持逻辑常项就像标点符号一样（1922 年，§5.4611）[3]，罗素声称逻辑常项指示逻辑形式而不是命题成分（1992 年，98；1920 年，199），以及奎因和邓美特的观点中找到，即一种语言的逻辑常项可以与其语法粒子等同。
2. 语法标准
Quine 和 Dummett 提出，一种语言的逻辑常项是其语法粒子-通过这些粒子，复杂的句子逐步由原子句子构建而成-而非逻辑表达式是由原子句子组成的简单表达式（参见 Quine 1980 年，Quine 1986 年，Dummett 1981 年，21-2，以及有关讨论的 Føllesdal 1980 年和 Harman 1984 年）。根据这个概念，“[l] ogic 研究仅仅依赖于语法结构的真值条件”（Quine 1980 年，17）[4]。当应用于一阶逻辑（FOL）和其他标准逻辑语言的语言时，这个标准产生了合适的结果。在 FOL（不包括恒等性）中，所有的特指项和谓词都是典范的非逻辑常项，而所有的运算符和连接词都是典范的逻辑常项 [5]。
然而，在 FOL 中，直观上逻辑表达式和语法粒子之间的这种巧合不能被视为对 Quine/Dummett 提议的支持，因为 FOL 的设计是为了使其语法结构反映逻辑结构。很容易设计出其他人工语言，其语法标准给出直观上不合适的结果。例如，以标准 FOL 为基础，添加一个变量绑定运算符“¢”，其解释为“至少存在一个猫，使得……”。根据语法标准，“¢”被视为逻辑常项，但显然它不是一个逻辑常项。
此外，还有其他的方式来组织 FOL 的语法，其中标准的真值功能连接词不是语法粒子，而是一个小型词汇类别的成员（Quine 1986，28-9）。例如，我们可以不是识别四个语法操作，从两个句子中形成一个句子（一个接受 P 和 Q 并产生 ⌜P∨Q⌝ 的句子，一个接受 P 和 Q 并产生 ⌜P&Q⌝ 的句子，等等），而是识别一个从两个句子和一个连接词中形成一个句子的语法操作。在这种方式的 FOL 语法组织中，“&”和“∨”不会被视为语法粒子。
结果是，逻辑常项的语法划分不会对什么被视为逻辑常项施加重要限制，除非它与一些限制适用于的语言的原则相结合（例如，排除具有运算符“¢”的语言）并且优先考虑其语法的某些组织方式（例如，将真值功能连接词视为小型词汇类别的组织方式）。Quine 自己的方法是优先选择最适合表达科学理论和允许最经济地表示其句子的真值条件的语言和语法。因此，Quine 认为逻辑应该限制于研究那些由于其语法结构而保持真值的推理，并不是因为他认为语法粒子（在任意语言中）有什么特殊之处，而是因为他认为我们应该使用一种语言，其中语法结构是对真值条件的清晰指导：“我们所称之为逻辑形式的东西，就是当语法被修订以便为探索句子在真值上的相互依赖关系提供高效的一般方法时，语法形式所变成的东西”（1980，21）。
不应将语法标准应用于人工语言（如 FOL），而应将其应用于英语等自然语言。然后，可以借鉴经验语言学家的工作，以获得一个受欢迎的语法规范。当代语言学家提出了一种称为 LF 的结构表示，解决了语义评估中与范围和约束相关的问题。但问题仍然是 LF 中的哪些词汇项目应被视为逻辑常项。泛化奎恩的提议，可以将逻辑常项与小型的“封闭”词汇类别的成员进行对应：例如，连词和限定词。然而，按照这个标准，英语中的介词将被视为逻辑常项（Harman 1984, 121）。或者，可以将逻辑常项与功能类别的成员（包括时态、补语、助动词、限定词和代词）进行对应，将非逻辑常项与实质类别的成员（包括名词、动词、形容词、副词和介词）进行对应（有关这个术语，请参见 Chomsky 1995, 6, 54 和 Radford 2004, 41）。如果在语言能力理论中起重要作用的区别在很大程度上与我们传统的逻辑和非逻辑常项之间的区别相吻合，那么这个事实就需要解释。为什么我们要将那些由于其 LF 结构和功能词而保持真实性的推理与那些由于其 LF 结构和实质词而保持真实性的推理区别对待？未来在语言学、认知心理学和神经生理学方面的研究可能会为这个问题提供有趣的答案的材料，但现在重要的是提出这个问题，并牢记怀疑性答案的可能性。
3. 一种戴维森式的方法
奎因主义方法将逻辑常项确定为在语言的系统化语法理论中扮演特权的“结构”角色的表达式。奎因的学生唐纳德·戴维森提出了另一种方法，将逻辑常项确定为在语言的系统化意义理论中扮演特权的“结构”角色的表达式。戴维森的意义理论采用塔斯基真理理论的形式。因此，它包含两种类型的公理：基本子句规定了原子句的满足条件，[6] 递归子句规定了复合句的满足条件，这些条件是通过它们的正确部分的满足条件来确定的。[7] 例如：
基本子句：*
对于所有的赋值 a，Ref（“比尔·克林顿”，a）=比尔·克林顿。
对于所有的赋值 a，Ref("Hilary Clinton", a) = Hilary Clinton。
如果 υ 是一个变量，那么对于所有的赋值 a，Ref(υ, a) = a(υ)，即 a 赋给 υ 的值。
对于所有的项 τ、σ 和所有的赋值 a，当且仅当 Ref(τ, a)比 Ref(σ, a)更高时，⌜τ 比 σ 更高 ⌝ 在 a 中成立。
递归子句：*
对于所有的赋值 a 和所有的句子 ϕ,ψ，当且仅当 ϕ 被 a 满足或者 ψ 被 a 满足时，⌜ϕ 或 ψ⌝ 被 a 满足。
对于所有的赋值 a，所有的句子 ϕ,ψ 和所有的变量 υ，当且仅当存在一个赋值 a'，它与 a 在给变量 υ 赋值上最多有所不同，满足 ϕ 和满足 ψ 时，⌜ [存在 υ:ϕ] ψ⌝ 被 a 满足。
戴维森认为：“逻辑常项可以被认定为语言的那些迭代特征，在真实性或满足性的表征中需要一个递归子句”（1984 年，71 页）。 （在我们的例子中，“或”和“一些”。）
当应用于像上面那样的标准真理理论时，这个标准当然会给出合理的结果（尽管身份符号再次被计算为非逻辑的）。但正如戴维森所观察到的那样，“在这个解释中，逻辑形式当然是相对于选择一个元语言（及其逻辑）和一个真理理论而言的”（1984 年，71 页）。对于同一种语言可以给出不同的真理理论，它们可以在整个句子的真实条件上达成一致，但在递归子句中处理哪些表达式上存在差异。以下是两个例子（都在埃文斯 1976 年进一步讨论）。
我们可以按照以下方式为“大”和其他可分级形容词设置递归子句：
对于所有的赋值 a，术语 τ 和句子 ϕ，当且仅当 Ref(τ, a)在 a 上是 ϕ 的大满足者时，⌜τ 是 ϕ 的大 ⌝ 成立。（参见 Evans 1976，203）
在这种情况下，我们必须使用一个逻辑更强的元语言，该元语言提供了操作“在 a 上 ϕ 的大满足者”的规则。（正如 Evans 所指出的，为了推导出 T-句子，我们实际上只需要一条规则，即从 ⌜ϕ≡ψ⌝ 和 ⌜ 在 a 上 ψ 的大满足者是 τ⌝ 推导出 ⌜ 在 a 上 ϕ 的大满足者是 τ⌝。）但是，如果没有排除这样的元语言，就无法回答“大”的逻辑性的问题。
我们可以为基本子句中的“和”、“或”和其他真值功能连接词分配值，从而使我们只需使用一个通用的递归子句来处理真值功能连接词：
基础项: 对于所有的赋值 a，Ref("or", a) = 布尔析取（二元真值函数，当任一参数为真时取值为真，否则为假）。
递归项: 对于所有的赋值 a，句子 ϕ、ψ 和真值联结词@，⌜ϕ@ψ⌝ 由 a 满足当且仅当 Ref(@,a)(Val(ϕ,a), Val(ψ,a)) = 真（其中 Val(ϕ,a) = 真，如果 ϕ 由 a 满足，否则为假）。 （参见 Evans 1976, 214）
这种方法需要比通常方法更强的元理论，因为它需要对真值函数进行量化。但是目前还不清楚为什么这是一个反对意见。仍然可以推导出 T-句子，其右侧的本体论承诺不比其左侧命名的句子更多，例如
当且仅当雪是白色或者草是绿色时，“雪是白色或者草是绿色”为真。
因此，很难看出这里使用函数比戴维森自己对序列或变量赋值的引用更令人反感。
总之，戴维森的真理理论提议的问题与奎因的语法提议上面讨论的问题非常相似。在没有对意义理论（或奎因的情况下，语法）进一步限制的情况下，它不能产生一个明确的逻辑常项的标准。我并不是说戴维森或奎因在这一点上是错觉的。正如我们上面看到的，奎因诉诸于实用考虑来选择一个偏爱的语言和语法规范。毫无疑问，戴维森也会这样做，例如，他会辩称使用简单而被理解的逻辑元语言的优势超过了在递归子句中处理“大”等概念的任何假定优势。（关于戴维森的标准对埃文斯的反对的最新辩护，请参见 Lepore 和 Ludwig 2002 年的著作。）
4. 主题中立性
逻辑似乎并不特指任何事物；相关地，它适用于任何地方，无论我们在推理什么。因此，自然而然地可以假设逻辑常项可以被标记为“主题中立”的表达式（Ryle 1954，116；Peacocke 1976，229；Haack 1978，5-6；McCarthy 1981，504；Wright 1983，133；Sainsbury 2001，365）。我们有理由关注主题中立的表达式，并将其与其他表达式区别对待，因为我们对逻辑感兴趣，将其视为一种适用于推理的普遍准则，不仅适用于关于这个或那个领域的推理，而且适用于所有推理。
不幸的是，主题中立性的概念过于模糊，对于我们需要一个界定原则的困难案例没有太大帮助。以算术为例。它是主题中立的吗？嗯，是的：任何东西都可以被计数，因此算术定理在任何领域的研究中都是有用的。但另一方面，不是的：算术有其特殊的主题，即自然数和它们之间的算术关系。关于集合论也可以说同样的事情：一方面，我们可以将我们可以推理的任何东西分组成集合；另一方面，集合论似乎是关于宇宙的一个特定角落——集合，并因此具有其自己特殊的“主题”。这两种情况所涉及的一般问题可以称为主题中立性的矛盾。正如乔治·布洛斯所指出的，这个矛盾可以一直追溯到逻辑常项的典型案例：“可以说逻辑并不像通常所认为的那样‘主题中立’：它很容易被说成是关于否定、合取、恒等、以及‘所有’和‘一些’等概念的……”（1975，517）。可以认为矛盾的根源是主题中立性概念的模糊性，因此让我们考虑一些使这个概念更加明确的方法。
吉尔伯特·赖尔（Gilbert Ryle）似乎是创造了“主题中立”（topic-neutral）这个表达，他给出了以下粗略的标准：
如果一个外国人只理解英语表达，而无法从一个包含这些表达的英语段落中得到任何关于该段落内容的线索，我们可以称这些英语表达为“主题中立”。（1954 年，116 页）[8]
我想，有一些典型的例子可以被归为这样的表达，例如“is”和“if”。但是，当我们超越这些明确的案例时，这个标准提供的帮助很有限。问题在于，对于“这个段落是关于什么？”这个问题，我们可能会以许多不同的一般性层次来回答。假设我对英语理解不好，我听到有人说：
呃呃呃，而不是呃呃呃，因为它呃呃呃成为呃呃呃，并且始终是呃呃呃。但是每个呃呃都是呃呃的，尽管有一些呃呃可能是呃呃的。
我是否对段落的内容有任何线索？嗯，我肯定有一些线索。“因为”揭示了这段文字是关于因果关系或解释关系的。“它”揭示了这段文字至少涉及一个不被认为是人的对象。“始终是”这个时态操作符揭示了它是关于发生在时间中的事件。“可能是”揭示了它是关于可能的领域（或未知领域），而不仅仅是实际的（或已知的）。最后，“每个”和“一些”揭示了它是关于离散的、可计数的对象。也许其中一些词汇不是主题中立的，不应该包括在逻辑领域内，但我们当然不希望排除所有这些词汇。而且莱尔的标准对于在哪里划定界限没有提供任何指导。甚至可以怀疑是否存在界限，主题中立性可能是一个程度问题，真值功能表达式比量词更主题中立，时态和情态操作符比量词更主题中立，认知表达式比时态和情态操作符更主题中立，等等（Lycan 1989）。
Ryle 的解释存在问题，它依赖于模糊且未明确的“关于性”的讨论。如果我们对一个陈述是关于特定对象或主题的含义有一个精确的哲学解释，那么我们可以将一个中性主题的陈述定义为不关于任何事物的陈述，或者也可以定义为关于一切事物都漠不关心的陈述。在这里，我们可以希望借鉴 Nelson Goodman 关于“绝对关于性”的经典解释，这意味着逻辑真理并不绝对关于任何事物（1961 年，256 页），或者借鉴 David Lewis 关于命题关于某个特定主题的含义的解释，这意味着逻辑真理关于每个主题都漠不关心。然而，这两种解释都不适用于我们的目的。根据 Goodman 的解释，“一个陈述绝对关于什么将在一定程度上取决于逻辑的前提”，因此取决于哪些表达式被视为逻辑常项（253-4 页），因此在确定逻辑常项的界限时，诉诸 Goodman 的关于性解释将是循环论证的。根据 Lewis 的解释，所有必然真命题最终都是中性主题的。但是，如果在确定逻辑时引用中性主题的概念，那么这显然是为了将逻辑真理与更广泛的一类必然命题区分开来，其中一些命题是特定主题相关的。如果我们愿意扩大逻辑的范围以包括所有必然命题（或者，作为替代，所有分析句），那么我们可以将逻辑界定为必然真理（或者，分析真理）。只有当我们想要将逻辑与一般必然命题区分开来，或者在不诉诸模态概念的情况下确定逻辑的界限时，我们才需要引用中性主题的概念。在这两种情况下，Lewis 关于性的标准都没有用处。
我们拒绝了莱尔的主题中立标准，因为它诉诸于一个未明确的关于性的概念。我们拒绝了古德曼对于性的解释，因为它假设逻辑和非逻辑之间的界线已经划定。我们拒绝了刘易斯对于性的解释，因为它没有区分逻辑真理和其他种类的必然真理。除此之外，我们还能以何种方式阐述逻辑“不特定于任何事物”的观念呢？文献中有两种方法备受关注。
第一种方法从一个观点出发，即使一个表达式特定于某个领域或主题的原因是它能够区分不同的个体。例如，一元谓词“是一匹马”，二元谓词“比...高”，以及量词“每个动物”都能区分 Lucky Feet 和自由女神像：
“Lucky Feet 是一匹马”是真的；“自由女神像是一匹马”是假的。
“自由女神像比幸运脚高”是真的；“幸运脚比自由女神像高”是假的。
“每只动物都健康”这个命题的真假取决于幸运脚是否健康，而不取决于自由女神像是否健康。
另一方面，单元谓词“是一件事物”，二元谓词“与...相同”，以及量词“每个事物”并不能区分幸运脚和自由女神像。事实上，它们也不能区分任意两个特定的对象。对于它们来说，一个对象和另一个对象一样好，可以互换。对于对对象的特定身份漠不关心的表达式，可以合理地说是主题中立的。正如我们将在下一节中看到的，这种主题中立的概念可以以数学上精确的方式解释为对域中任意置换的不变性。从这个意义上说，算术和集合论的基本概念并不是主题中立的，因为它们区分了一些对象（空集，数字 0）和其他对象。
第二种方法将逻辑的主题中立性定位在其普遍适用性上。根据这种观念，逻辑对于关于任何主题的推理的指导和批判都是有用的——无论是自然的还是人造的，有生命的还是无生命的，抽象的还是具体的，规范的还是描述性的，可感知的还是仅仅概念上的——因为它与思维或推理的条件密切相关。这种主题中立性的概念与刚才讨论的概念并不等同。它允许一个具有自己专有对象领域的科学，比如算术或集合论，由于其完全普遍的适用性而被视为主题中立。因此，弗雷格认为算术是关于数字的，他将数字视为真实的对象，但仍然肯定其绝对的主题中立性：
…算术所基于的基本命题不能仅适用于一个仅仅表达其特殊性的有限领域，就像几何公理表达了空间的特殊性一样；相反，这些基本命题必须扩展到一切可以被思考的事物。而我们当然有理由将这样极其普遍的命题归因于逻辑。（1885 年，95 页，引自弗雷格 1984 年；有关进一步讨论，请参见麦克法兰 2002 年）
将逻辑常项界定为仅能通过纯粹推理引入和消除规则来表征的表达式的传统，可以看作是捕捉这种完全普遍适用性概念的一种方式。因为可以合理地认为，逻辑常项之所以具有普遍适用性，是因为它们可以用思维或推理的基本概念（例如，有效推理）来表征。
我们开始时遇到的矛盾现在可以通过消除歧义来解决。算术和集合论对对象进行区分，因此在第一意义上并不是主题中立的，但它们可能仍然在第二意义上是主题中立的，因为它们对于任何主题的推理都具有普遍适用性。我们仍然面临一个问题，即哪种主题中立的概念是逻辑的特点。然而，让我们在仔细研究这两个概念之前先把这个问题搁置一下。
5. 排列不变性
一些哲学家提出，逻辑常项的特点在于它们对对象的特定身份不敏感，或者更准确地说，它们在对象域的任意排列下保持不变（Mautner 1946; Mostowski 1957, 13; Scott 1970, 160–161; McCarthy 1981, 1987; Tarski 1986; van Benthem 1989; Sher 1991, 1996; McGee 1996）。
让我们对这个短语进行一些解释。一个对象集合的排列是从该集合到自身的一对一映射。每个对象都被映射到集合中的一个对象（可能是它自己），且没有两个对象被映射到同一个对象。例如，下面的映射是字母表前五个字母的一个排列：
A⇒CB⇒BC⇒ED⇒AE⇒D
而函数 f(x)=x+1 是整数集合到自身的一个排列。（然而，需要注意的是，一个排列不一定可以通过枚举（如第一个例子）或规则（如第二个例子）来指定。）
如果在域的置换下，谓词的外延保持不变，即用置换将其成员替换为映射到它的对象，我们得到与起始集合相同的集合。因此，例如，“是介于 A 和 E 之间的字母”的外延在上述字母的置换下保持不变。相比之下，“是介于 A 和 E 之间的元音”的外延，即集合{A,E}，在这个置换下不保持不变，它被转换为一个不同的集合{C,D}。
我们可以将置换不变性的概念更加精确地定义如下。给定一个域 D 上的对象的置换 p，我们定义一个层次结构中任意类型的变换 p∗：
如果 x 是 D 中的一个对象，则 p∗(x)=p(x)。
如果 x 是一个集合，那么 p∗(x)={y:∃z(z∈x&y=p∗(z))}（即，p∗ 将 x 的成员映射到的对象的集合）。
如果 x 是一个有序的 n 元组 ⟨x1,…,xn⟩，那么 p∗(x)=⟨p∗(x1),…,p∗(xn)⟩（即，p∗ 将 x1,…,xn 映射到的对象的 n 元组）。
这些子句可以递归地应用于定义 D 中有序元组集合的转换（即，二元谓词的扩展），D 中对象集合的集合（即，一阶量词的一元扩展），等等。（有关类型论层次结构的介绍，请参见类型论词条。）在这个层次结构中，如果 x 是一个项目，我们说 x 在置换 p 下是不变的，当且仅当 p∗(x)=x。回到我们上面的例子，集合{A,B,C,D,E}在字母 A 到 E 的所有置换下都是不变的：无论我们如何交换这些字母，我们最终得到的是同一个集合。但它在整个字母表的所有置换下都不是不变的。例如，将字母 A 和 Z 交换，将其他字母映射到它们自身的置换将集合{A,B,C,D,E}转换为{Z,B,C,D,E}。然而，包含所有字母的集合在字母的所有置换下都是不变的。至于至少包含两个字母的所有集合以及标识关系（它在每个字母和它自己之间成立），它们也都是不变的。
到目前为止，我们已经为对象、元组和集合定义了置换不变性，但对于谓词、量词或其他语言表达式尚未定义。然而，我们需要将后者而不是前者分类为逻辑常项和非逻辑常项。自然的想法是，一个表达式应该被视为置换不变的，只有当它在每个对象域上的扩展在该域的所有置换下都是不变的时候。（通常情况下，一个名称在一个域上的扩展是它所指代的对象，一个一元谓词的扩展是该域中适用于它的对象的集合，一个 n 元谓词的扩展是该域中适用于它的 n 元组对象的集合。）按照现有定义，这个定义并不适用于联结词，因为它们在通常意义上没有扩展 [10]，但可以以一种自然的方式扩展以涵盖它们（参考 McGee 1996, 569）。我们可以将 n 元量词或联结词 C 在域 D 上的语义值看作是一个从集合分配的 n 元组的集合（从 D 到语言变量的值）到分配的集合的函数。当函数的输入是满足 ϕ1,…,ϕn 的集合分配的 n 元组时，它的输出是满足 Cϕ1…ϕn 的分配的集合。（通过思考一元联结词 ∃x 的工作方式来检查您的理解。）然后，我们可以如下定义这些语义值的置换不变性。假设 A 是一组分配，p 是域 D 的一个置换，令 p†(A)={p∘a:a∈A}。[11] 那么，如果 e 是一个 n 元联结词或量词的语义值（按照上述定义），当且仅当对于任意的 n 元组 ⟨A1,…,An⟩ 的分配集合，p†(e(⟨A1,…,An⟩))=e(⟨p†(A1),…,p†(An)⟩)，e 在置换 p 下是不变的。而一个联结词或量词在每个对象域上的语义值在该域的所有置换下都是不变的时，它就是置换不变的。
原来，这个条件并不足以排除对对象特定特征的所有敏感性，因为它允许一个置换不变的常项在包含不同类型对象的域上表现出不同的行为。麦基（1996 年，575 页）给出了令人愉快的袋熊析取的例子，如果域包含袋熊，则它的行为类似于析取，否则类似于合取。谢尔和麦基的修正是考虑不仅仅是置换-域到自身的双射，而是域到另一个具有相等基数的域的任意双射 [12]。为简单起见，我们将在接下来的讨论中忽略这个复杂性，并继续谈论置换。
根据这个标准，哪些表达式被视为逻辑常项？一元谓词“是一个事物”（适用于一切）和“不是任何东西”（适用于无物），恒等谓词，真值功能连接词，以及标准的存在量词和全称量词都通过了测试。标准的一阶二元量词，如“大多数”和“the”（参见描述词条）也通过了测试。事实上，由于基数是置换不变的，每个基数量词都被包括在内，包括“有无限多个”，“有不可数多个”以及其他不可一阶定义的量词。此外，二阶量词被视为逻辑的（至少在标准语义中，它们范围涵盖域的任意子集），所有高阶量词也是如此。另一方面，所有专有名词都被排除在外，如“红色”，“马”，“是后继的”，“是成员的”，以及量词“一些狗”和“恰好两个自然数”。因此，不变性标准似乎至少在逻辑性或主题中立性方面与常见的直觉和我们的逻辑实践相一致。两个技术结果使我们能够更加准确地描述这种一致性的程度：林登鲍姆和塔斯基（1934-5）证明了在《数学原理》语言中可定义的所有关系都是置换不变的。在另一个方向上，麦基（1996）证明了每个置换不变操作都可以用具有直观逻辑特征的操作（恒等，变量替换，有限或无限析取，否定以及有限或无限存在量化）来定义。他还通过证明每个可这样定义的操作都是置换不变的，推广了林登鲍姆-塔斯基的结果。
正如塔斯基和其他人所指出的，逻辑常项的置换不变性准则可以看作是费利克斯·克莱因（1893 年）的一个自然推广，即不同的几何可以通过它们的基本概念在不变的变换群下进行区分。因此，例如，欧几里得几何的概念在相似变换下是不变的，仿射几何的概念在仿射变换下是不变的，拓扑学的概念在双连续变换下是不变的。同样，塔斯基（1986 年，149 页）建议，逻辑概念只是在最广泛的变换群下不变的概念：域中元素的置换群。从这个角度来看，逻辑概念是一系列逐渐更抽象、"形式化" 或主题中立的概念的终点，这些概念是通过它们在逐渐更广泛的域变换群下的不变性来定义的。[13]
因此，作为对逻辑独特普遍性的解释，置换不变性有很多值得推荐的地方。它在哲学上有很好的动机和数学上的精确性，它产生了与常见实践相符的结果，并对一些边界情况（例如，集合论的成员关系）给出了明确的裁决。最重要的是，它为逻辑的明确和原则性划界提供了希望，避免了 "关于"、"分析的" 和 "先验的" 等模糊的认识论和语义学术语。[14]
常项准则（迄今为止的陈述）的一个限制是它仅适用于外延运算符和连接词。因此，在决定 S4 模态逻辑中的必然运算符或时间逻辑中的 H 运算符（“一直如此”）是否是真正的逻辑常量方面，它没有任何帮助，而这些问题正是我们希望准则解决的问题之一。然而，不变准则可以自然地扩展到内涵运算符。处理这种运算符的通常策略是在语义上将真值相对化，不仅相对于变量的值分配，还相对于可能世界和时间。在这样的框架中，人们可能要求逻辑常量不仅对于对象域的排列不敏感，还对于可能世界域和时间域的排列不敏感（参见 Scott 1970, 161, McCarthy 1981, 511–13, van Benthem 1989, 334）。由此得出的准则相当严格：它将 S5 必然运算符视为逻辑常量，但不将 S4 必然运算符或时间逻辑中的 H 运算符视为逻辑常量。原因是后两个运算符对于世界域和时间域的结构敏感——前者是“可及关系”，后者是时间排序关系——而这种结构并不被这些域的所有排列所保留 [15]（请参见模态逻辑和时间逻辑的条目）。
一个可能避免这个结果的方法是仅要求在保持这些领域上的相关结构（可达性关系、时间排序）的置换下不变。但是，那么我们将面临解释为什么这个结构值得特殊对待的任务（参见 van Benthem 1989, 334）。如果我们被允许在世界或时间的领域上保持一些结构不变，那么立即就会出现一个问题，为什么我们不应该在对象的领域上也保持一些结构不变：例如，集合论的成员关系、部分/整体关系，或者存在和不存在对象之间的区别（参见自由逻辑的条目）。无论我们在回答这个问题时诉诸于什么资源，都将至少与置换不变性在逻辑常项的划分中起到同样多的作用。
似乎唯一有原则的立场是要求在所有排列下都保持不变。但即使是这个立场也需要理论上的证明，特别是当人们发现可以制定更严格的不变条件时。Feferman（1999）定义了一个“相似不变性”准则，将真值运算符和一阶存在量词和全称量词视为逻辑常项，但不包括恒等性、一阶基数量词或二阶量词。Feferman 的准则将逻辑和数学之间的界线划得比排列不变性准则更接近传统边界。事实上，Feferman 对排列不变性准则的批评之一是它允许太多的数学概念以纯粹的逻辑术语来表达。Bonnay（2008）提出了一个不同的准则，即潜在同构下的不变性，它将有限基数量词和有限性概念视为逻辑，而排除了更高基数量词，因此“在逻辑和数学之间设定了一个界限，介于算术和集合论之间”（37；详见 Feferman 2010，§6，以获取进一步讨论）。Feferman（2010）建议我们不仅依赖于不变性，还可以将排列不变性与单独的绝对性要求相结合，这样可以捕捉到逻辑对争议性集合论命题（如无穷公理）的不敏感性。他证明了在 Kripke-Platek 集合论没有无穷公理的条件下，既是排列不变又绝对可定义的逻辑运算就是那些在一阶逻辑中可定义的运算。
还有一个问题困扰着通过数学性质（如不变性）来划定逻辑常项的任何尝试。正如麦卡锡所说：“一个表达式的逻辑地位并不是由它引入的函数来决定的，而是由这些函数的具体规定来决定的”（1981 年，516 页）。考虑一个二元谓词“≈”，其含义由以下定义给出：
在一个赋值 a 上，当且仅当 a(α)和 a(β)具有完全相同的质量时，⌜α≈β⌝ 为真。
根据不变性标准，当且仅当“≈”在每个域上的扩展在该域的每个置换下都是不变的时，“≈”才是一个逻辑常项。在一个不包含具有完全相同质量的两个对象的域 D 上，“≈”的扩展与“=”相同——即集合{⟨x,x⟩:x∈D}——正如我们所见，这个扩展在该域的每个置换下都是不变的。因此，如果没有包含具有完全相同质量的两个对象的域存在，“≈”被视为一个逻辑常项，“∀x(x≈x)”被视为一个逻辑真理。[16] 但是，逻辑常项“≈”和“∀x(x≈x)”的逻辑地位是否应该取决于一个偶然事实：是否存在具有相同质量的不同对象。我们真的想说，如果我们生活在一个没有两个对象具有相同质量的世界中，“≈”将成为一个逻辑常项吗？[17]
对这种异议的自然回应是要求逻辑常项在每个可能的对象域上的扩展在该域的每个置换下都是不变的，或者更一般地说，逻辑常项作为必然性的一种满足置换不变性标准。但这并不能解决问题的根源。因为考虑一元连接词“#”，由以下条款定义：
在一个赋值 a 上，“⌜#ϕ⌝”当且仅当 ϕ 在 a 上不为真且水是 H2O 时为真。
假设 Kripke（1971；1980）正确地认为水必然是 H2O，“#”在每个可能的世界中与“¬”具有相同的扩展，因此作为必然性的一种满足置换不变性标准（McGee 1996，578）。但直观上，“#”不应被视为逻辑常项。[18]
为了回避这个反例，可以诉诸于认识模态而不是形而上学模态。这是麦卡锡的策略（1987 年，439 页）。即使水是 H2O 在形而上学上是必然的，可能存在认识上的世界或信息状态，在这些世界或状态中水不是 H2O。因此，如果我们要求逻辑常项作为认识上的必然性（或先验性）的一部分是置换不变的，“#”就不算作逻辑常项。但是，即使按照这个标准，像“%”这样的联结词，由以下定义：
⌜%ϕ⌝ 在一个赋值 a 上为真，当且仅当 ϕ 在 a 上不为真且不存在男性寡妇。
将被视为逻辑常项（Gómez-Torrente 2002 年，21 页），假设不存在男性寡妇在认识上是必然的。通过诉诸于独特的逻辑模态来解决这个问题可能是诱人的——例如，要求逻辑常项作为逻辑必然性的一部分具有置换不变的扩展。但是，我们将会用一个模糊的原始逻辑必然性概念来解释逻辑常项的概念，而我们不能通过引用逻辑常项来解释逻辑常项，以免陷入循环论证（麦卡锡 1998 年，第 3 节明确提到了逻辑可能性，并注意到了这里循环论证的威胁）。
McGee 的策略是引用语义概念而不是模态概念：他建议“如果一个联结词的意义使其在任意双射下都不变，则它是一个逻辑联结词”（McGee 1996, 578）。但是，这种方法，就像 McCarthy 的方法一样，似乎将“%”视为逻辑常项。而且，就像 McCarthy 的方法一样，它需要诉诸于一个并不比逻辑常项的概念更清晰的概念：即从联结词的意义中（逻辑上？）推导出来的概念。
Sher 对这个异议的回应与 McGee 或 McCarthy 截然不同。她认为“逻辑术语与它们的（实际）外延一致”，因此“#”、“%”和“¬”只是同一术语的不同符号表示。更准确地说：如果这些表达式被用作逻辑常项必须使用的方式，即它们是它们语义值的刚性指示符 [19]，那么它们可以与布尔否定操作以及彼此等同。“作为量词，‘行星的数量’和‘9’是无法区分的”（Sher 1991, 64）。但是，当 Sher 说逻辑术语可以与它们的外延一致时，她的意思并不清楚。我们通常通过理解它们的条件或使用规则来确定联结词的个体，而不是通过它们所表达的真值函数。例如，我们认识到“&”和下面的定义之间的差异：
⌜ϕ&ψ⌝ 在赋值 a 上为真，当且仅当 ϕ 在 a 上为真且 ψ 在 a 上为真，
和“@”，由
⌜ϕ @ ψ⌝ 在一个赋值 a 上为真，当且仅当在 a 上，要么 ϕ 不为真，要么 ψ 不为真，
即使它们表达相同的真值函数。这些术语之间的区别并没有被抹去，正如 Sher 所暗示的那样，如果我们将它们用作它们所表达的真值函数的刚性指示符。（“Hesperus”，“Phosphorus”和“我在 2004 年 11 月 1 日早上地平线附近实际看到的行星”都刚性地指示金星，并不意味着它们具有相同的含义。）因此，Sher 的建议只能被理解为一个规定，即如果一对共指的刚性指示符中的一个被视为逻辑常量，那么另一个也是。但是我们为什么要接受这个规定并不清楚。它肯定会产生一些违反直觉的后果：例如，“P∨#P”是一个逻辑真理，至少当“#”被刚性使用时（参见 Gómez-Torrente 2002 年，19 页，以及 Sher 2003 年的回应）。
从这些讨论中很难不得出这样的结论：置换不变性标准最多只能作为逻辑常项的必要条件。它的主要缺点是它在参照层面而非意义层面上运作；它关注的是常项所表达的逻辑操作，而非它们的意义。因此，一个充分的标准可能会在意义层面上运作，也许会关注我们如何理解逻辑常项的意义。
6. 推理特征
在关于主题中立性的部分结束时，我们区分了两种主题中立性的概念。第一种概念——对个体的区别特征不敏感——可以通过置换不变性标准有效地捕捉到。那么，我们如何捕捉第二种概念——对所有思维或推理的普遍适用性，无论其主题是什么？我们可以从识别必须存在于任何被视为思维或推理的东西中的某些要素开始，然后将任何可以仅通过这些要素理解的表达称为逻辑表达。这将确保逻辑常项与思维或推理本身之间有着特殊的联系，这种联系可以解释逻辑的普遍适用性。
沿着这些线索，有人提出逻辑常项只是那些可以通过一组纯粹推理的引入和消除规则来定义的表达式。[20] 例如，要理解连词“&”的意义，可以认为只需学习它受以下规则的控制：A,BA&BA&BAA&BB
因此，理解“&”的意义的人只需理解推理规则中的水平线的意义即可。（与上一节的“%”相比，如果不理解男性和寡妇的含义，就无法理解“%”。）任何能够进行有条理思考或推理的人都应该能够理解这些推理规则，因此应该能够理解“&”的意义。或者可以这样认为。[21]
要使这样的提议具体化，我们需要做出许多额外的决策：
我们需要决定是使用自然演绎规则还是序列规则。（参见关于证明论发展的条目。）
如果我们选择使用序列规则，我们需要决定是否允许“子结构”（参见关于子结构逻辑的条目），以及是否允许序列中有多个结论。我们还需要支持一组特定的纯结构规则（不涉及语言表达的规则）。
我们需要确定是引入规则还是消除规则，或者两者都是用来表征逻辑常项的意义 [22]。（在序列形式中，我们需要区分右侧和左侧的引入和消除规则。）
为了为量词规则腾出空间，我们必须在我们的规则中允许子命题结构。
我们必须说明何时引入或消除规则被视为“纯粹推理”，以排除像这样的规则：a 是红色 RaA，B，水是 H2OA∗B。 最严格的标准只允许每个符号除了一个被表征的常项之外，要么是结构性的（如逗号），要么是示意性的（如“A”）。但是，尽管标准的合取规则满足这个条件，但否定的自然推理引入规则却不满足这个条件，它必须使用另一个逻辑常项（“⊥”）或者引入的否定符号的另一个实例。因此，我们必须要么放宽“纯粹推理”的条件，要么增加更多的结构（尤其是参考 Belnap 1982）。
不同版本的推理表征方法对这些问题做出不同的决策，这些差异会影响哪些常项被认证为“逻辑的”。例如，如果我们使用单结论序列和常规规则，我们得到直觉主义的连接词，而如果我们使用多结论序列，我们得到经典的连接词（Kneale 1956, 253）。如果我们采用 Došen 对可接受规则的限制（Došen 1994, 280），S4 必然性运算符被视为逻辑常项，而如果我们采用 Hacking 的限制，它则不是（Hacking 1979, 297）。因此，如果我们希望以一种有原则的方式来决定这些难题，我们将不得不解释我们的推理表征方法与其他方法的区别所在。然而，在这里，我们将避免涉及这些细节问题，而是专注于基本思想。
基本思想是逻辑常项通过纯粹的推理规则来与其他类型的表达式区分开来。但是在这里，“可表征性”是什么意思呢？正如 Gómez-Torrente（2002, 29）所观察到的那样，它可能要求固定引用（语义值）或固定意义：
语义值确定：常项 c 通过规则 R 可表征，当它受 R 支配足以确定其引用或语义值（例如，它所表达的真值函数），在给定某些语义背景假设的情况下（Hacking 1979, 299, 313）。
意义确定：一个常项 c 可以通过规则 R 来描述，当且仅当它受到 R 的支配足以确定它的意义：也就是说，通过学习它受到 R 的支配，我们可以理解 c 的意义（Popper 1946–7, 1947; Kneale 1956, 254–5; Peacocke 1987; Hodes 2004, 135）。
让我们依次考虑这两种推理特征化方法的版本。
6.1 语义值的确定
Hacking 表明，鉴于某些背景语义假设（二值性、有效推理保持真实性），任何满足一定证明论条件（子公式性质、割除、恒等和弱化的消除定理的可证明性）的引入和消除规则将唯一确定所管理的常项的语义（Hacking 1979, 311–314）。在这个意义上，这些规则“确定了常项的含义”：“它们是这样的，如果做出一般性的强语义假设，那么个别逻辑常项的具体语义就由此确定了”（313）。
在一个明确定义的语义框架中，语义值的确定概念至少是清晰的，不像一般的意义确定概念。然而，正如戈麦斯-托伦特指出的那样，通过专注于引用的固定（或语义值）而不是意义，哈金自己也面临着一个与我们上面考虑的不变排列方法的反对意见相似的反对意见（参见 Sainsbury 2001, 369）。考虑量词 "W"，它的意思是 "不是所有的都不是...，如果所有的都不是男性寡妇，而且对于所有的都不是...，如果不是所有的都不是男性寡妇"（Gómez-Torrente 2002, 29）。 （这里重要的是 "W" 是语言中的原始符号，而不是通过 "∀"、"¬"、"male" 和 "widow" 的定义引入的符号。）由于没有男性寡妇，"W" 的语义值与我们普通的量词 "∃" 相同。（如上所述，我们可以将量词的语义值看作是从指派集合到指派集合的函数。）现在让 R 是 "∃" 的标准引入和消除规则，让 R'是在这些规则中用 "W" 替换 "∃" 的结果。显然，R'与 R 一样 "纯粹推理"。如果 R 为 "∃" 确定了一个语义值，那么 R'也为 "W" 确定了一个语义值-完全相同的语义值。因此，如果逻辑常项是其语义值可以通过纯粹推理的引入和消除规则来确定的表达式，那么 "W" 只有在 "∃" 的情况下才被视为逻辑常项。
然而，直观上这些常项之间存在着重要的区别。我们可以这样描述它：学习规则 R 足以使人完全掌握“∃”，但是人们可以学习规则 R'而不完全理解“W”的含义。要理解“W”，必须了解婚姻这一人类制度，这解释了我们认为“W”不够“主题中立”以成为逻辑常项的感觉。然而，“W”和“∃”之间的这种区别无法通过仅讨论引用或语义值来辨别；这是两个表达式意义上的区别。
6.2 意义确定
引入和/或消除规则确定逻辑常项的意义的观点通常是通过将规则描述为定义常项来解释的。Gentzen 指出，自然演绎规则“可以说是所涉及符号的‘定义’，而消除规则在最后分析中不过是这些定义的结果”（1935 年，§5.13；1969 年，80 页）。然而，真正的定义应允许将常项从出现的每个上下文中消除（参见“定义”条目），而逻辑常项的引入和消除规则通常不能做到这一点。例如，在直觉主义序列演算中，不存在一个不包含“→”的序列（或一组序列）等价于序列“A→B⊢C”。因此，Kneale（1956 年，257 页）仅表示我们可以“将”规则视为定义，Hacking（1979 年）将规则视为“不是定义，而只是表征逻辑常项”，Došen（1994 年）表示规则仅提供了一种“分析”，而非定义。[23]
然而，即使这些规则不是“定义”，仍然可以说它们“确定了常项”的意义。因为说话者对常项的理解可能就在于她对这些规则的掌握：她接受符合规则的推理作为“原始性令人信服的”（Peacocke 1987，Hodes 2004）。 （说话者发现一个推理形式原始性令人信服，只有在她发现它令人信服，并且不认为它的正确性需要外部认可，例如通过推理。）如果逻辑常项的意义是通过对其理解的条件进行个体化的，我们可以区分具有不同意义的真值功能等价的常项，例如“∨”，“‡”和“†”，如下所定义：
A∨BA 或 BA‡B 不是都不是 A 和不是 BA†B（A 或 B）且没有寡妇是男性
要理解“∨”，必须发现标准的引入规则是原始性令人信服的：
AA∨BBA∨B
要理解“‡”，必须最初找到以下淘汰规则令人信服：
¬A,¬B,A‡BC
最后，要理解“†”的意义，必须最初地找到这些引入规则具有强制力：
A，没有寡妇是男性 A†BB，没有寡妇是男性 A†B
“∨”和“‡”将被视为逻辑常项，因为它们的意义构成规则纯粹是推理的，而“†”则不是，因为它的规则不是。（以同样的方式，我们可以区分“∃”和“W”。）注意，适当重写的（15）的版本将适用于“‡”和“†”；不同之处在于，人们可以理解“‡”和“†”（但不能理解“∨”）而不必最初地找到这些规则具有强制力（Peacocke 1987，156；cp. Sainsbury 2001，370–1）。
一些批评家对于逻辑常项的引入和消除规则是否穷尽了必须掌握的这些常项使用方面表示怀疑。例如，有人提出，为了理解条件和全称量词，必须倾向于将某些归纳证据视为断言条件和全称量化主张的依据（Dummett 1991，275–8；Gómez-Torrente 2002，26–7；Sainsbury 2001，370–1）。目前尚不清楚这些额外的使用方面是否可以通过“纯推理”规则来捕捉，或者它们是否可以从可以被捕捉的使用方面中推导出来。
有时人们认为普赖尔（1960）提出的“tonk”连接词的例子，
AA tonk BA tonk BB
其规则允许从任何事物推断出任何事物，坚决驳斥了逻辑常项的意义是由其引入和/或消除规则确定的观点。但是，尽管普赖尔的例子（在波普尔 1946-7 年，284 页中预见到）确实表明，并非所有的引入和消除规则集合都能为逻辑常项确定一个连贯的意义，但并不意味着没有规则能够确定它们的意义，或者逻辑常项在这种方式下不具有独特性。关于引入和消除规则何时能够确定一个意义的一些尝试，请参见贝尔纳普（1962 年），哈金（1979 年，296-8 页），克雷默（1988 年，62-6 页）和霍德斯（2004 年，156-7 页）的论述。
普拉维茨（1985 年；2005 年）认为，任何形式上合适的引入规则都能够确定逻辑常项的意义。根据普拉维茨的观点，我们从普赖尔那里学到的教训是，我们不能同时规定一个消除规则，而必须通过展示存在一种将消除规则的前提的直接证明重新排列为结论的直接证明的过程来证明任何提出的消除规则。因此，我们可以规定“tonk”的引入规则，但必须满足能够进行这种过程的最强消除规则：
A tonk BA.
其他哲学家反对普拉维茨（和根岑）的观点，即引入规则在确定常项的含义方面具有优先权，但保留了这样一个观点：确定常项含义的引入和消除规则必须协调一致：消除规则不能让我们从一个复合句中推断出比相应引入规则的前提更多的内容（达梅特 1981，396；坦南特 1987，76-98）。 （有关各种协调概念及其与规范化和保守性等概念的关系的分析，请参见米尔恩 1994 年，里德 2010 年和斯坦伯格 2011 年。）
7. 实用的划界
到目前为止，我们所研究的划定逻辑常项的提案都是分析性的划定。它们试图将某些受欢迎的属性（语法粒子性、主题中立性、置换不变性、可由推理规则表征等）确定为一个表达式成为逻辑常项的必要和充分条件。划定常项的一种根本不同的策略是从逻辑的工作描述开始，并将常项识别为完成该工作所必需的表达式。例如，我们可以从逻辑的工作是作为“科学理论演绎系统化的框架”（沃姆布罗德 1999 年，516）或表征数学结构和代表数学推理（沙皮罗 1991 年）或“在语言中明确表达使用该语言的特征，这些特征赋予那些受那些实践支配的状态、态度、表现和表达的意义以概念内容”（布兰多姆 1994 年，xviii）的观点开始。让我们称这种划定为实用的划界。
这两种划分之间存在一些非常普遍的差异。与分析性划分不同，实用性划分是由 Warmbrod 所称的“极简主义要求”指导的：
…逻辑理论应该尽可能简单、谦虚，并且灵活，以便提供一个足够系统化的概念工具。在实践中，极简主义的约束规定，被认为是逻辑常项的术语集应该尽可能小。（Warmbrod 1999，521）
或者，用 Harman 更简洁的表述：“只有在必要的情况下才算作逻辑”（Harman 1972，79）。Warmbrod 利用这个约束来论证认同理论不是逻辑的一部分，理由是它不需要完成他所确定的逻辑任务：“[w] 我们可以通过只承认真值功能连接词和一阶量词作为常项，将‘=’视为普通谓词，并采用适当的等同公理来系统化相同的句子集”（521；参见 Quine 1986，63，1980，28）。出于类似的理由，Harman 和 Warmbrod 都认为，情态运算符不应被视为逻辑的一部分 [24]。他们的观点不是认为认同或情态运算符缺乏一些一阶量词和真值功能运算符所具备的特征，而仅仅是因为我们可以在不将这些概念视为我们逻辑的一部分的情况下继续下去，我们应该这样做。Warmbrod 和 Tharp 甚至探讨了将真值功能逻辑视为整个逻辑，并将量化理论视为非逻辑理论的可能性（Warmbrod 1999，525；Tharp 1975，18），尽管两者都基于实用性的理由拒绝了这个想法。
虽然实用的划分试图将逻辑的范围最小化，但分析的划分是包容性的。它们将任何具有优选属性的表达式视为逻辑的一部分。一个表达式是否在特定目的中是必需的是无关紧要的：它的逻辑性取决于它独立于我们可能使用它的任何用途之外的特征。
相关地，实用的方法往往是整体性的。因为只有整个逻辑系统才能被评估为足够或不足以完成逻辑所分配的“任务”，所以实用的划分 tend to 强调系统的属性。例如，Wagner（1987，10-11）引用 Lindstrom 的定理——一阶逻辑是唯一既完备又紧凑并满足 Löwenheim-Skolem 定理的逻辑——以主张逻辑应该限制在一阶逻辑中，而 Kneale 和 Kneale（1962，724，741）则引用 Gödel 的不完全性定理以类似的效果。虽然关于分析划分的概念并不排除对整个系统属性的引用，但分析划分 tend to 引用特定表达式的局部属性而不是全局系统属性。
最后，在实用的划分中，逻辑的范围可能取决于当前科学和数学理论的状态。如果科学的进步导致科学演绎系统化所需的资源增加或减少（或者逻辑的优选任务是什么），那么逻辑的范围也会相应变化（Warmbrod 1999，533）。相比之下，在分析的划分中，特定资源是否属于逻辑仅取决于它们是否具有优选属性。如果它们没有，并且如果事实证明它们在理论的演绎系统化中是必需的，那么得出的正确结论是仅仅逻辑是不足以完成这个任务的。
8. 问题还是伪问题？
现在我们已经对逻辑常项问题的各种方法有了一定的了解，让我们退后一步，反思一下问题本身及其动机。我们可以区分出四种对逻辑常项问题的一般态度：界定者、揭穿者、相对主义者和泄气者。
界定者认为逻辑常项的界定是一个真正而重要的问题，其解决可以预期能够阐明逻辑的本质和特殊地位。在他们看来，逻辑的任务是研究论证由于其逻辑形式或结构而具有的特征 [25]。尽管在某种意义上，论证的特征与其逻辑形式或结构有关，但界定者认为逻辑常项的界定是一个独立的问题，值得深入研究。
芝加哥位于新奥尔良北方，新奥尔良位于芝加哥南方
是一个好的或“有效”的论证，但它并不是形式上有效的。在 Demarcater 的观点中，研究(20)所具有的(非形式的)“有效性”种类的逻辑学家正在偏离逻辑的适当领域，进入一些相邻的领域(在这里是地理学或词典学; 在其他情况下是数学或形而上学)。因此，对于 Demarcater 来说，理解逻辑和非逻辑常项之间的区别对于理解逻辑的本质至关重要。(关于 Demarcater 观点的有力陈述，请参见 Kneale 1956。)
反驳者则认为所谓的“逻辑常项问题”是一个伪问题（Bolzano 1929，§186；Lakoff 1970，252–4；Coffa 1975；Etchemendy 1983，1990，第 9 章；Barwise 和 Feferman 1985，6；Read 1994）。他们并不否认逻辑学家传统上关注的是一些只包含有限数量表达式的论证形式。他们否认的是这些表达式和论证形式定义了逻辑的主题。在他们看来，逻辑关注的是绝对有效性，而不仅仅是由一组有限的“逻辑形式”决定的有效性。逻辑学家研究有效性的方法是通过对论证形式进行分类，但这些形式（以及部分定义它们的逻辑常项）只是逻辑的工具，而不是它的主题。逻辑学家在逻辑发展的某个特定阶段关注的形式和常项只是对他们在系统分类有效推理方面的进展（到那个阶段为止）的一种反映。询问这些形式和常项有何特殊之处，就有点像询问一天内可以攀登的山峰有何特殊之处：“由此得出的信息将过于依赖攀登者的技能，无法告诉我们太多关于地理的信息”（Coffa 1975，114）。使人成为逻辑学家的不是他们对“和”、“或”和“非”等的关注，而是他们对有效性、推论、一致性和证明的关注，以及他们在研究中采用的独特方法。
一个很好的方法来看待反驳者和界定者之间的实际区别是对于使用反例来展示无效性的观点进行对比。界定者通常认为可以通过展示具有相同逻辑形式但前提为真、结论为假的另一个论证来证明一个论证无效。当然，一个论证总是会具有多个形式。例如，论证
消防员（乔）∃x 消防员(x)
可以被视为命题逻辑形式的一个实例
PQ
以及更详细的形式
F(a)∃xF(x).
正如马西（1975）所提醒我们的那样，具有形式（22）的其他论证具有真前提和假结论并不能表明（21）是无效的（甚至不能表明它是“形式上”无效的）。辨别者将坚持认为，对于（21）的形式有效性来说，一个真正的反例必须展示出（21）的完整逻辑结构，而这个结构不是（22），而是（23）。因此，辨别者使用反例来证明论证的形式无效性，预设了一种有原则的方法来辨别论证的完整逻辑结构，从而区分逻辑常项和非逻辑常项。[26]
相比之下，揭穿者拒绝将（21）的众多论证形式之一视为（21）的逻辑形式的特权。在揭穿者的观点中，反例从来不会对特定的论证表明任何事情。它们只表明一个形式是无效的（即它具有无效的实例）。一种揭穿者认为，要证明一个特定的论证是无效的，需要描述一个可能的情况，在这种情况下前提将为真，而结论将为假，而给出一个形式上的反例并不能做到这一点。
划界者将反对揭穿者的宽容态度，认为这使我们无法在逻辑和其他学科之间建立一个连贯的区别。因为无疑地，当下面的论证是否正确时，我们会请化学家而不是逻辑学家来告诉我们：
HCl 将红色石蕊试纸变红，HCl 是酸。
如果没有逻辑和非逻辑常项之间的原则性区别，那么逻辑似乎需要成为一种普遍科学：不仅仅是推理的规范，而是一本百科全书。如果逻辑要成为一门独特的学科，划界者将会争辩说，它必须关注的不是所有种类的论证的有效性或好坏，而是一种特殊的、特权的形式有效性。
对此，揭穿者可能坚持认为演绎有效性是由其中所包含的术语的含义所具有的特征，因此，任何理解论证的前提和结论的人都必须能够在不依赖经验调查的情况下确定它是否有效。在这种观念中，逻辑是对分析真理、推论、一致性和有效性的研究。因为（24）中前提和结论之间的关系取决于经验事实，而不是术语的含义，所以（24）不是演绎有效的。【27】
对于那些对分析/综合区分持保留意见的人来说，这种回应将不可用。一个重要的例子是塔斯基（Tarski）（1936a；1936b；1983；1987；2002），他非常关注在纯数学术语中定义逻辑真理和推论，而不诉诸可疑的模态或认识论概念。根据塔斯基的观点，一个论证是有效的，当且仅当在其非逻辑常项的解释中，前提为真且结论为假。根据这个观点，一个不包含非逻辑常项的论证是有效的，当且仅当它在物质上保持真实（不是其前提为真且结论为假）。因此，正如塔斯基所指出的，如果语言的每个表达都被视为逻辑常项，逻辑有效性将归结为物质真实保持（或者在塔斯基定义的后期版本中，归结为在每个非空域上的物质真实保持）（1983，419）。对于那些发现这个结果难以接受的人来说，他们可能认为这表明逻辑和非逻辑常项之间必须有一个有原则的区别（界定者的结论），或者塔斯基的定义是错误的（揭穿者的结论；参见 Etchemendy 1990，第 9 章）。
塔斯基自己的反应更加谨慎。在得出结论说这种区别“肯定不是完全随意的”之后（1983，418），他写道：
或许我们能够找到重要的客观论证，使我们能够证明逻辑和非逻辑表达之间的传统边界。但我也认为，在这个方向上的调查可能不会带来积极的结果，因此我们将被迫将“逻辑推论”、“分析陈述”和“重言式”等概念视为相对概念，每次都必须与一种明确的、虽然程度上更大或更小的任意术语划分相关联。（420；另见塔斯基 1987 年）
在这里，塔斯基描述了一种与边界划分者和揭穿者都不同的立场。相对主义者同意边界划分者的观点，即逻辑推论必须被理解为形式推论，并因此假设了逻辑和非逻辑常项之间的区别。但她同意揭穿者的观点，即我们不应该问：“哪些表达式是逻辑常项，哪些不是？”她调和这些看似矛盾的立场的方式是将逻辑推论相对化为逻辑常项的选择。对于每个逻辑常项集合 C，都会有相应的 C-推论概念。这些概念中没有一个可以等同于简单的推论；不同的概念对于不同的目的是有用的。在极限情况下，当语言的每个表达式都被视为逻辑常项时，我们得到了物质推论，但这与其他任何推论关系一样（既不多也不少）。
像相对主义者一样，泄气者寻求在划界者和揭穿者之间找到一个中庸的立场。泄气者同意划界者的观点，即逻辑常项和非逻辑常项之间存在着真正的区别，以及形式上有效和实质上有效的论证之间存在着区别。她反对相对主义者的观点，即逻辑推论是一个相对的概念。但她也反对划界者寻找逻辑常项的精确而有启发性的必要和充分条件的项目。“逻辑常项”，她认为，是一个“家族相似性”术语，因此我们不应该期望揭示所有逻辑常项共享的隐藏本质。正如维特根斯坦对于数字概念所说：“线的强度不在于某个纤维贯穿其整个长度，而在于许多纤维的重叠”（维特根斯坦 1958 年，§67）。这并不意味着逻辑常项和非逻辑常项之间没有区别，就像我们无法给出“游戏”的精确定义并不意味着游戏和其他活动之间没有区别一样。这也不意味着这个区别无关紧要。它意味着我们不应该期望一个原则性的逻辑常项标准来解释为什么逻辑具有特权的认识论或语义学地位。（关于这种观点的一个很好的阐述，请参见戈麦斯-托伦特 2002 年。）
这四种立场之间的辩论在这里无法解决，因为在某种程度上，“事实胜于雄辩”。一个令人信服和启发性的逻辑常项解释——通过展示这些论证的重要区别来证明(20)与(21)之间的学科分离——可能会使我们有理由成为划界者。但重要的是不要在不同划界者之间的辩论或划界者与揭穿者之间的辩论中迷失了对逻辑常项问题可能采取的其他立场的视野。
进一步阅读
最近对逻辑常项问题的讨论还包括 Peacocke 1976，McCarthy 1998，Warmbrod 1999，Sainsbury 2001，第 6 章，以及 Gómez-Torrente 2002。Tarski 1936b 对所有这些讨论都是必要的背景。
关于逻辑术语的语法标准的讨论，请参见 Quine 1980 和 Føllesdal（1980）的回应。
关于 Davidsonian 方法的讨论，请参见 Davidson 1984，Evans 1976，Lycan 1989，Lepore 和 Ludwig 2002，以及 Edwards 2002。
Tarski 1986 是置换不变方法的简明而有力的阐述。有关详细说明和批评，请参阅 McCarthy 1981、van Bentham 1989、Sher 1991、McGee 1996、Feferman 1999 和 2010、Bonnay 2008 以及 Dutilh Novaes 2014。Bonnay 2014 对该领域的最新研究进行了概述。
Hacking 1979 和 Peacocke 1987 是上述两种推理特征化方法的良好代表。Popper 的论文（1946-7, 1947）仍值得一读；请参阅 Schroeder-Heister 1984 进行批判性讨论，以及 Koslow 1999 提出的与 Popper 类似的现代方法。另请参阅 Kneale 1956、Kremer 1988、Prawitz 1985 和 2005、Tennant 1987 第 9 章、Dummett 1991 第 11 章、Došen 1994、Hodes 2004 和 Read 2010。
有关实用分界的示例，请参阅 Wagner 1987 和 Warmbrod 1999。在 Brandom（2000 年第 1 章；2008 年第 2 章）中可以找到一种不同类型的实用方法，他以表达角色来描述逻辑词汇。
有关划定逻辑常项整个项目的批评，请参阅 Coffa 1975、Etchemendy（1983；1990，第 9 章）和 Read 1994。
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MacFarlane, J., 2000. What Does It Mean to Say that Logic Is Formal?. Ph.D. dissertation, University of Pittsburgh.
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Acknowledgments
I am grateful to Fabrizio Cariani, Kosta Došen, Solomon Feferman, Mario Gómez-Torrente, Graham Priest, Greg Restall, Gila Sher, and an anonymous reviewer for comments that helped improve this entry. Parts of the entry are derived from chapters 1, 2, 3, and 6 of my dissertation, “What Does It Mean to Say that Logic is Formal?” (University of Pittsburgh, 2000).
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