条件逻辑 conditionals (Paul Egré and Hans Rott)

首次发表于 2021 年 7 月 3 日星期六

本文对条件逻辑中的经典和最新研究进行了概述。我们回顾了双值分析的问题，并研究了基于更丰富语义框架的逻辑学，这些框架被提出来处理形如“如果 A，那么 B”的条件句，包括三值语义学、可能世界语义学、前提语义学和概率语义学。我们继续研究涉及信念修正的条件理论，并强调了基于这样一个观点的最新方法：只要其前提的真实性对其结论的真实性产生相关差异，条件就是可断言的。最后，我们简要讨论了解释条件与情态和言语行为运算符相互作用的系统。

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1. 引言

条件逻辑处理自然语言中形式为“如果 A，（那么）B”的句子的推理。尽管这样的句子在日常交流和推理中占据压倒性的地位，但关于条件逻辑的正确性几乎没有达成一致，甚至是否可以为所有类型的条件提供统一的理论也存在争议。这个问题并不新鲜，可以追溯到 Megarian 和 Stoic 逻辑学家之间的辩论（参见 Sextus Empiricus，《怀疑论纲要》II，110-112；Kneale＆Kneale 1962；Sanford 1989；Weiss 2019）。著名的是，Megara 的 Philo 提出，形式为“如果 A，则 B”的条件语句仅在 A 不为真且 B 不为假时为真。这个定义也是 Frege（1879）和 Whitehead 和 Russell（1910）在两值命题框架中所谓的“物质蕴涵”对条件的现代处理的核心。

		B
A⊃B		1	0
---	---	---	---
A	1	1	0
0	1	1

表 1：物质蕴涵

这种对条件的理解具有相当简单的优点，在这方面，材料条件分析为其他理论提供了一个基准。它的主要优点可能是它适用于真值功能处理（条件的真值是前提和结论的真值的函数）。相关的一个优点是它使条件与布尔否定、析取和合取相互定义。第三个优点是，弗雷格、罗素和怀特海德驱使下的一个动机是，它似乎足以整理涉及条件句的数学证明。尽管如此，正如弗雷格在《概念符号》中所承认的那样，它未能公正地对待条件在自然语言中通常的理解和使用方式。

麦考尔（1908）早期指出的一个奇特之处是观察到形式为“非 A 或 B”和“非 B 或 A”的两个句子中，至少有一个是真的。假设与材料条件等价，这意味着“如果约翰是一名医生，那么他是红头发”或“如果约翰是红头发，那么他是一名医生”必须是真的。然而，直观上，人们可能倾向于拒绝这两个条件句。类似的复杂情况，即材料蕴涵的悖论，涉及到对于任何句子 A 和 B，“如果 A，则 B”可以从“非 A”推导出来，但也可以从“B”推导出来，从而允许真和假的句子创建真条件句，而不考虑它们的内容（C. I. Lewis 1912）。另一个奇特之处也很重要：对于“如果 A，则 B”的否定被预测为“A 且非 B”，但直观上，人们可以否认“如果上帝存在，所有罪犯都将上天堂”而不承认上帝的存在（引自 Lycan 2001）。

第四个复杂性在于自然语言中的条件句不仅限于陈述条件句（“如果我划这根火柴，它会着火”），还包括用于表达虚拟假设的虚拟条件句（“如果我划了这根火柴，它会着火”）。如果将所有虚拟条件句分析为带有错误前提的物质条件句，那么所有虚拟条件句都将是真空真的，正如奎因（1950）所指出的，这显然是一个不充分的结果，这表明语法时态和语法语气的相互作用也应该是理解条件句逻辑的关注点之一。

在很大程度上，过去一个世纪条件逻辑的发展一直受到对条件句前提和结论之间联系的更复杂解释的追求的驱动。因此，在模态逻辑的框架内，发展了许多条件逻辑，以捕捉条件句表达的前提和结论之间的必然联系，无论是形而上学的、认识论的还是道义的（参见 C. I. Lewis 1912; Stalnaker 1968; D. Lewis 1973; Kratzer 2012）。相关的工作浪潮还包括所谓的可共存性理论，其中的思想是，如果条件句的前提与适当的（可共存的）前提一起蕴含其结论，则条件句是可断言的（参见 Chisholm 1946; Goodman 1955; Rescher 1964）。

另一个有影响力的逻辑学分支是基于条件句具有概率或表达其前提和结论之间的概率依赖关系的思想（Ramsey 1931; de Finetti 1936; Adams 1965; Edgington 1995; Douven 2016）。其中一个非常有影响力的来源是 Ramsey（1931）的一段话，他在其中写道：

如果两个人在争论“如果 p，那么 q？”并且都对 p 表示怀疑，他们在假设性地增加 p 到他们的知识储备中，并在此基础上争论 q；因此从某种意义上说，“如果 p，q”和“如果 p，¬q”是矛盾的。我们可以说他们在给定 p 的情况下确定他们对 q 的信念程度。如果 p 被证明是假的，这些信念程度就会失效。如果任何一方确信不是 p，那么这个问题对他来说除了作为关于从某些法律或假设中得出什么的问题之外就没有其他意义了。[符号适应]

重要的是，所谓的 Ramsey 测试（在信念中假设性地增加前提）启发了许多方法，这些方法是条件逻辑的基石之一。这包括 Stalnaker 基于这样一个思想的条件逻辑的模态逻辑，即条件的前提选择了一个假设的可能世界（Stalnaker 1968）。这还包括 Adams 的方法，该方法通过形式化研究非嵌套条件的概率由相应的条件概率给出（Adams 1965, 1975），以及关于条件可接受性的更多定性理论，这些理论是基于（非概率性的）信念修订策略的（Gärdenfors 1986）。最后，Ramsey 的想法，即带有错误前提的条件句是无效的，是各种作者（特别是 de Finetti 1936）独立开发的三值条件解释的主要动机的基础。

在这篇文章中，我们对条件逻辑的介绍将以各种框架的核心性为结构。我们的目标特别是让读者能够在这些框架之间轻松地定位自己，并展示它们之间的交流方式。我们首先在第 2 节介绍了三值条件逻辑。第 3 节概述了模态逻辑（可能世界语义）中条件的主要分析。在第 4 节中，我们讨论了所谓的前提语义，它形式化了共同可容纳的思想，并对标准模态分析提供了不同的视角。第 5 节转向概率条件逻辑，第 6 节转向信念修正的定性方法。最后，第 7 节和第 8 节将介绍更近期的发展或改进：首先，基于前提应该对结果产生相关差异的思想的逻辑，然后是一些关于条件与模态性以及问题和命令相互作用的命题逻辑的扩展。

有一个需要注意的地方是，在这篇文章中，我们将尝试以统一的视角来看待陈述条件句和虚拟条件句。尽管一些作者，尤其是大卫·刘易斯，坚持认为它们有所不同，但差异可以相对于一个共同的语义核心进行参数化处理（例如，Stalnaker 1975 或 Pearl 2009）。我们将在相关时指出差异，但请读者参考斯塔尔（2019）在 SEP 上关于反事实的条目，该条目对该主题进行了相当广泛的讨论。在某些方面，我们的条目也与埃奇顿（2020）在 SEP 上关于陈述条件句的条目重叠，欢迎读者参考这两个条目以获取补充信息。

在接下来的内容中，我们将用符号>来表示条件运算符。我们区分三个主要的句法复杂度层次。设 L0 是一个命题语言，能够通过常规的布尔连接词（¬，∧，∨，⊃ 和 ≡ 分别表示否定、合取、析取、物质条件和物质等价）从原子中构建事实句。那么 L1 是 L0 的扩展，其中包括扁平条件句，即如果 A 和 B 属于 L0，则 A>B 属于 L1。而 L2 是 L0 和 L1 的扩展，允许所有连接词的自由组合，包括条件句的任意嵌套。

2. 三值条件句

2.1 动机

逻辑学中的条件逻辑，只要它们基于真值评估，都认同这样一个观点：如果条件的前提为真且结论为假，则条件为假。这一点可以通过双值分析来解释。更不明显的是，条件为真的假设是当前提和结论都为真时，这预示着 A∧B 蕴含 A>B。而更具争议的是条件为真的前提是当前提为假时，这实际上是物质条件的悖论之一。

C. I. Lewis（1912）对物质条件悖论的回应是他提出了严格条件（又称为“严格蕴涵”，第 3 节）。然而，严格条件不再是真值功能。在这方面，与标准的双值逻辑更为接近的是源自 Łukasiewicz（1920）的三值逻辑家族，它们保留了真值功能。Łukasiewicz 的主要动机并不是专门处理条件，而是处理可能性的概念。Łukasiewicz 的条件如表 2 所示。Łukasiewicz 将有效性定义为从前提到结论的值 1 的保持，就像双值逻辑一样。他的运算符保留了恒等律 A>A 和各种经典的推理模式（如假言演绎），但它也不满足一些经典的性质（例如，它是非收缩的，无法从 A>(A>B)推导出 A>B）。它在经典输入上与双值条件相符，并且不阻止物质条件的悖论。

		B
A>B		1	½	0
---	---	---	---	---
	1	1	½	0
A	½	1	1	½
	0	1	1	1

表 2：Łukasiewicz 的条件

Łukasiewicz 的工作对 Reichenbach 产生了启发，并随后对 de Finetti 产生了影响，他们两人都提出了 Ramsey 早先表达的观点，即当条件的前提为假时，条件必须是不确定的（参见 Reichenbach 1935, 1944; de Finetti 1936）。Reichenbach 认为，当 A 涉及到某些由其他测量不可能实现的测量时（如量子物理学中的预测），评估条件 A>B 是没有意义的。对于 de Finetti 来说，这个观点是条件句就像是一个赌注。当有人打赌说如果这张牌是梅花，它将是一张国王，如果这张牌最后是其他花色，那么这个赌注应该被取消。基于这个基础，de Finetti 提出了一个表格（有时被称为“有缺陷”的条件，参见 Baratgin et al. 2013, Over & Baratgin 2017），用于他所称的三事件逻辑，其中三事件指的是“事件 B 在事件 A 条件下发生”。当两个事件都为真时，三事件为真；当 A 为真且 B 为假时，三事件为假；如果 B 为假，则三事件为空。

		B
A>B		1	½	0
---	---	---	---	---
	1	1	½	0
A	½	½	½	½
	0	½	½	½

表 3：de Finetti 的条件

如表 3 所示，现在除了经典的真值 1（表示“真”）和 0（表示“假”）之外，还有第三个真值 ½（表示“空”、“无效”或“不确定”）。这就是为什么这些逻辑被称为三值逻辑的原因。条件逻辑不再具有经典输入的经典真值。尽管 Reichenbach 和 de Finetti 考虑了这种条件逻辑与其他三值联结词的相互作用，但他们没有研究由此选择产生的逻辑。对 de Finetti 表所产生的逻辑的研究以分散的方式展开，往往忽视了 Reichenbach 和 de Finetti 的工作。其中一条道路是由 Quine（1950）的评论铺就的，他赞扬了 Ph. Rhinelander 关于“如果 A 则 C”的句子的断言通常被感觉为“不太像条件的断言，而更像后果的条件断言”的观点（参见 Jeffrey 1963; Cooper 1968; Belnap 1970, 1973; Manor 1975; Farrell 1979, 1986; Olkhovikov 2002; Huitink 2008）。这种观点更广泛地被称为假设观点（Adams 1975; Edgington 1995）。另一条研究线索与概率的代数处理有关，这在很大程度上符合 de Finetti 最初的工作，他将三值性视为更质量化地表示条件概率的一种方式（参见 Schay 1968; Calabrese 1991; Dubois & Prade 1994; McDermott 1996; Milne 1997; Cantwell 2008; Rothschild 2014; Lassiter 2020）。

2.2 一些三值逻辑

在基于 de Finetti 表的三价逻辑中，有一些系统突出。首先，有 Cooper 的逻辑 OL 和它的一个紧密变体，Cantwell 的逻辑 CC/TT（根据 Égré、Rossi 和 Sprenger 2021 的命名，以 Cooper 和 Cantwell 命名），它本身是 Olkhovikov（2002）的逻辑 LImp 的一个片段，该片段还包括一个模态必然性运算符。OL 和 CC/TT 被定义为 L2，这是一种允许嵌套条件的完整语言。像 de Finetti 一样，Cooper（1968）处理条件语句时，当前提为假（0）时，条件语句是不确定的。然而，当前提不为假（为 1 或 ½）时，条件语句取决于结论的值。因此，与 de Finetti 将 ½ 与 0 分组不同，Cooper 将 ½ 与 1 分组。Olkhovikov（2002）和 Cantwell（2008）独立地重新发现了表 4，并且具有非常相似的动机。Belnap（1973）也提出了这个表，他将其作为 Belnap（1970）的适当修改，Belnap（1970）首次使用了与 de Finetti 相同的表。

		B
A>B		1	½	0
---	---	---	---	---
	1	1	½	0
A	½	1	½	0
	0	½	½	½

表 4：Cooper 的条件语句

Cooper、Olkhovikov 和 Cantwell 定义推理为有效推理，如果在语言的所有三价赋值中，只要所有前提都不为假，结论就不会为假。他们系统的一个核心特点是完整的演绎定理成立（Jeffrey 1963 和 Belnap 1973 也强调了这一特点）：

(DT)Γ,A⊨B 当且仅当 Γ⊨A>B。

他们系统之间的一个区别是，Cooper 相对于三值估值定义了有效性，这些估值是原子-经典的；另一个区别是，Cooper 使用所谓的准合取和析取（见下文），而 Olkhovikov 和 Cantwell 分别使用共同的最小和最大规则来进行合取和析取。对于 Cooper 和 Cantwell，特别是对于 Belnap（1973）来说，这种条件的一个核心动机是验证条件的否定交换原则，即以下的合取：

(EX)A>¬B⊨¬(A>B)。(IN)¬(A>B)⊨A>¬B。

特别是原则 EX，它是连结逻辑学的特征（见下面的第 7 节）。所得逻辑的另一个重要特点是，虽然假言三段论是一个有效的论证模式，但否定假言和逆否命题在一般情况下是无效的（尽管它们在 Cooper 的 OL 的原子变体中仍然有效）：

(MP)A, A>B⊨B. (MT)¬B, A>B⊭¬A. (CP)A>B⊭¬B>¬A.

由于 A⊭¬A>B，Cooper 条件阻止了材料条件的一个悖论，但它保留了另一个悖论，即 A⊢B>A。相关地，尽管 Cooper 和 Cantwell 或 Olkhovikov 对于合取使用不同的语义，但在他们的方法中，合取蕴含条件。这个原则被称为合取充分性：

(CS)A∧B⊨A>B.

Cooper 提供了他的逻辑的完整公理化，使用了一套接近自然演绎系统（系统 OL）的推理规则系统。Égré、Rossi 和 Sprenger（2021）使用表和序列演算比较了 Cooper-Cantwell 逻辑 CC/TT 和由 de Finetti 的表导出的逻辑 DF/TT，以及相同的有效性概念（保持非零值）。逻辑 DF/TT 也是连通的，并支持否定交换律。然而，一个核心的区别是 de Finetti 的表不支持 MP。

值得考虑的另一个系统是 Dubois 和 Prade（1994）研究的“条件对象”的三值逻辑。这个系统本身与 Adams（1986）提出的三值条件处理密切相关。该系统基于 de Finetti 的原始表，但只允许使用来自平坦片段 L1 的公式。Dubois 和 Prade 的方法中，有效性的定义如下。假设 Γ 是形式为 Ai>Bi 的平坦条件的集合。那么定义 Γ⊨A>B，当且仅当 A 在经典意义上蕴含 B，或者对于每个三值估值，Γ 中某个条件子集的准合取值小于或等于 A>B 的值（对于真值的常规排序：0<½<1）。准合取——由 Cooper（1968: 305）提出，并以不同方式由 Adams（1966: 306）、Belnap（1973:60）和 Sobociński（1952）提出，与不同的三值条件相关——与最小合取不同之处在于经典值的合取是经典的，而 ½ 与经典值的合取是那个经典值。非常引人注目的是，这种逻辑蕴含关系可以由 Kraus、Lehmann 和 Magidor 的优先蕴涵系统 P 来公理化，该系统在下面的详细讨论中。因此，相关的蕴涵概念不支持条件的单调性、传递性和对偶（见第 3.2 节）。

2.3 未解决的问题

尽管三值逻辑的使用非常简单，但它引发了一些问题。一个未解决的问题是如何处理虚拟条件句——问题并不是没有选择，但迄今为止，三值逻辑主要用于处理陈述条件句。另一个相关问题是如何使三值条件句与情态和其他运算符更普遍地相互作用。

另一个问题涉及有限值真值解释的表达能力。McGee（1981）证明了 Adams、Stalnaker 和 Lewis 条件逻辑的常见“平坦”L1 片段，即系统 P，不能用有限值逻辑中的真值集合的保持来表征。乍一看，这个结果似乎与 Adams 以及 Dubois 和 Prade 对 P 的三值表征存在紧张关系。然而，正如 M. Schulz（2009）所指出的，Adams 提出的三值表征（或者 Dubois 和 Prade 提出的）与 McGee 所提出的表征不同（它要求的不仅仅是保持一组固定的指定值，并且允许对前提的子集进行量化）。正如 Schulz 所讨论的那样，对于 Stalnaker 和 Lewis 的非平坦逻辑是否可以给出类似的表征是一个未解决的问题。

3. 可能世界模型

三值解释假设条件的真值仅取决于其部分的真值。然而，这个假设并不能解释前提和结论内容之间的联系，这一点弗雷格（1879）本人也承认。在本节中，我们将回顾保留条件真值可评估性的解释，但假设其真值不能仅通过实际世界中前提和结论的真值来确定。相反，前提具有一定的模态力量，它使得其结论在某种意义上是必然的。可能世界模型对所涉及的必然性进行了解释。

3.1 严格条件

朝向条件的内涵处理的第一步是由 C.I. Lewis 引入严格条件所做的。尽管 Lewis 的处理是公理的，但它的语义内容可以通过可能世界语义来透明化。在 Lewis 的方法中，“如果 A，那么 C”意味着物质条件不仅仅是真的，而且是必然真的：

(SI)(A>B)≡□(A⊃B)。

从语义观点来看，这里所指的不仅仅是实际世界，还包括其他可能的世界，实际上是所有“可访问”的世界。因此，这个条件的意义不能通过简单的真值表来解释。

在模态逻辑中，Kripke 框架是一个二元组 ⟨W，R⟩，其中 W 是一组非空的可能世界（可能状态、可能情境或可能的世界可能是的方式），R 是 W 上的二元关系。R 被称为模型的可达关系，直观上，Rwv 表示从 w 的观点来看，v 是（某种意义上）可能的。一个模型是一个三元组 ⟨W，R，V⟩，其中 ⟨W，R⟩ 是一个框架，V 是一个将语言中所有命题变量在所有可能世界中赋予真值的估值函数。我们写作 M，w⊩A 表示“在模型 M 中，A 在世界 w 上为真”，并且让|A|M 表示集合{w∈W：M，w⊩A}，其中 A 为真的可能世界。令 R(w)：={v∈W：Rwv}。布尔连接词的真值条件是命题逻辑的通常条件，将 V 扩展到复杂的句子上。严格条件的真值条件如下：

对于所有的 v，使得 Rwv，M，v⊩A⊃B 当且仅当 R(w)∩|A|M⊆|B|M。

相对于一类框架，有效性（相对于一类框架）被定义为在所有模型的所有世界中保持真值。很容易看出，相对于建立在任意 Kripke 框架上的模型，严格条件使得材料条件的悖论无效。严格条件保留了 Modus Ponens 和一些经典属性，如单调性、传递性和对偶（见下文）。然而，从 Goodman（1955）开始，这样的推理一直受到怀疑，既适用于指示条件（见 Adams 1965），也适用于反事实条件（见 Stalnaker 1968，Lewis 1973）。例如，在传递性的情况下，我们有以下反例：

(1)

如果布朗赢得选举，史密斯将退休到私人生活中。如果史密斯在选举前去世，布朗将赢得选举。#因此，如果史密斯在选举前去世，那么他将退休到私人生活中。（亚当斯 1965 年，第 166 页）

(2)

如果埃德加·胡佛今天是一个共产主义者，那么他将是一个叛徒。如果埃德加·胡佛出生在俄罗斯，那么他今天将是一个共产主义者。#因此，如果埃德加·胡佛出生在俄罗斯，他将是一个叛徒。（斯塔尔内克 1968 年，第 106 页）

这些例子激发了亚当斯提出条件的概率处理。它们激发了斯塔尔内克，刘易斯，纽特和其他一些人削弱严格条件分析。但最近，严格条件分析的复兴，基于这样一个观点：许多现象可以通过将决定哪些可能世界相关的可及性关系解释为大规模上下文相关（丹尼尔斯和弗里曼 1980 年；冯·芬特尔 2001 年；吉利斯 2007 年；斯塔尔 2014a，以及斯塔尔关于反事实的条目）。

3.2 可变严格条件

“可变严格条件”（D. Lewis 1973 提出的表达方式）背后的基本思想是，用于评估条件句的必要性标准取决于前提。粗略地说，为了评估条件句 A>B，必须将可及性关系的范围扩展到前提为真的“最接近”或“最相似”的世界。接下来，我们介绍三种相关的可变严格条件的真值条件表述方式。

3.2.1 主要语义学

相对模态

虽然在历史上并非第一个，但可以说最简单的表达严格条件的想法的方式可以在 Chellas（1975）和 Segerberg（1989）中找到，他们将条件 A>B 描述为相对模态，即一个以句子为索引的模态 □AB，对应的可及关系为 R|A|M，其中 M 为每个句子 A。相对模态框架或 rm-框架可以定义为一对 ⟨W，R⟩，其中 R 是 W×W×P(W)上的三元关系。在实践中，我们可以写成 RUvw 而不是 RvwU，并将 R 视为相对于命题 U 在世界之间分配二元关系。rm-模型是一个三元组 M=⟨W，R，V⟩，其中 ⟨W，R⟩ 是一个 rm-框架，V 是一个估值函数。给定一个 rm-模型 M，条件的真值条件如下：

(VSC)-rm M，w⊩A>B 当且仅当对于所有的 v，满足 R|A|Mwv，有 M，v⊩B 当且仅当 R|A|M(w)⊆|B|M。

注意，R 可以在 W×W×L2 上定义，让 RA(w)依赖于 A 的句法形式（而不是由 A 表示的命题|A|M）。这种修改的主要效果是阻止等价前提的替换，这是几位理论家基于不同的理由所要求的特性（见第 3.5 节）。

选择函数

一个等价的定义可以用选择函数来表示（Stalnaker 1968; Nute 1980）。一个 sf-frame 是一个二元组 ⟨W,f⟩，其中 W 是一组非空的可能世界，f:W×P(W)→P(W)是一个函数，它接受一个世界和一个命题（即一组世界），并产生一个命题。f 被称为模型的选择函数，直观上，v∈f(w,U)，其中 U⊆W，意味着世界 v 是 U 中与 w 最接近或最相似的世界，与 U 中的所有其他世界相比。与之前的方法相对应，如果我们让 f(w,|A|M)与 R|A|M(w)重合。一个 sf-model 是一个三元组 M=⟨W,f,V⟩，其中 ⟨W,f⟩ 是一个 sf-frame，V 是一个估值函数。可变严格条件的真值条件为：

(VSC)-sf M,w⊩A>Biff 对于所有的 v∈f(w,|A|M), M,v⊩Biff f(w,|A|M)⊆|B|M.

与 rm-frames 类似，sf-frame 的定义可以修改为让 f 依赖于 w 和 A，而不是|A|M.

相似性排序

这种设置有一个密切相关的替代方案，它使用比较相似性排序来代替选择函数（D. Lewis 1973; Burgess 1981）。在这里，一个 o-框架是一个二元组 ⟨W,≺⟩，其中 W 是一组非空的可能世界，≺ 是关于世界集合的三元关系，假定相对于其第一个参数是传递的和非自反的。关系 u≺wv 被认为意味着世界 u 在某种意义上比世界 v 更相似或更接近 w。令 R(w):={y∈W:∃z∈W(y≺wz)}。这对应于从 w 可达的世界集合。一个 o-模型是一个三元组 ⟨W,≺,V⟩，其中 ⟨W,≺⟩ 是一个 o-框架，V 是一个估值函数。我们使用缩写|A|Mw:=|A|M∩R(w)，并且让 min≺w(U)表示与 w 最相似的 U-世界（没有 U-世界严格更相似于 w）。变量严格条件的简单形式的真值条件如下：

对于所有的 v∈min≺w(|A|Mw)，(VSC)-o-L M,w⊩A>Biff M,v⊩Biff min≺w(|A|Mw)⊆|B|M。

然而，这些真值条件只有在|A|Mw 在 ≺w 下具有最小元素时才有意义，也就是说，只有当我们可以假设（L）时，我们才能写作 v⪯wu，其中 v≺wu 或 v=u：

(L)∀w∈W∀u∈|A|Mw∃v∈|A|Mw((v⪯wu)&¬∃v′∈|A|Mw(v′≺wv)).

(L)是对 Lewis（1973 年，1981 年）的极小概括。虽然大多数研究者都愿意支持极限假设，但 Lewis 却拒绝了它。根据他的观点，对于像“如果 Fred 比 2 米高，他将加入大学篮球队”这样的反事实，没有最接近的世界可以使前提成立。通过排序语义可以处理（L）的失败，提出更复杂的真值条件。

(VSC)-o

M,w⊩A>B 当且仅当对于所有的 v∈|A|Mw，存在一个 u∈|A|Mw，使得 u⪯wv，并且对于所有的 u′∈|A|Mw，满足 u′⪯wu，M,u′⊩B。

直观上，这意味着 A∧¬B 的世界比 A∧B 的世界离 w 更远。

比较

首先，很容易看出所有三种语义都可以使像(1)和(2)这样假设传递性的推理无效。例如，在一个 o-模型中，从

min≺w(|A|Mw)⊆|B|M

和

min≺w(|B|Mw)⊆|C|M，

不一定会导致

min≺w(|A|Mw)⊆|C|M.

见图 1 中的三界模型，箭头表示 ≺w，因此 x←y 与 x≺wy 意思相同。

a diagram link to extended description below

图 1：o 模型中违反传递性的反例【图 1 的详细描述在附录中】。

类似的违反单调性和逆否命题的反例很容易找到。

选择功能模型与相对模态模型之间的对应关系非常直接。选择功能模型与排序模型之间的对应关系则不太明显。我们如何解释这一点呢？如果我们将相似关系解释为偏好关系，我们可以将在理性选择理论中获得的见解引入到条件分析中（Sen 1970; Suzumura 1983; Aleskerov, Bouyssou, & Monjardet 2007; 非单调推理的应用在 Lindström 1994 和 Rott 2001 中）。如果满足极限假设，则我们可以简单地将 f(w,U)与 min≺w(U)等同起来，对于所有的 U⊆W。对于逆向的方向，我们可以使用由揭示的偏好定义的关系，即

u≺wv 当且仅当对于所有的 U⊆W，使得 u,v∈U 且 v∉f(w,U)

或者，如果 f 可以接受具有两个元素的命题，

u≺wv 当且仅当 v∉f(w,{u,v}).

这些偏好 "合理化" 了 f 所做的选择。然而，这仅在某些约束条件下有效。在这方面，sf 模型比 o 模型更通用。它们也更容易处理，并且从语言学角度来看，放弃极限假设通常被认为是不足的（参见 Stalnaker 1980; Schlenker 2004; S. Kaufmann 2017 有关(L)的更多信息）。

3.2.2 框架对应属性

对于每个语义学，可以对框架施加特定条件，以确保特定公理或论证模式的有效性。它们对条件逻辑的影响已经被详细研究过。为了说明，我们给出了两个具体公理及其在三个框架中的对应属性的示例。身份要求每个 A-最接近的世界确实是一个 A-世界。条件排中对应于唯一性条件：最多只有一个最接近的 A-世界。

	A>A	(A>B)∨(A>¬B)
rm	RAvw⊃w∈A	wRAw1∧wRAw2⊃w1=w2
sf	f(w,A)⊆A	card(f(w,A))≤1
o	∀x∀y(∃z(x⪯yz)⊃x⪯yx)	∀y∀y′∀w((y∈

表 5：一些框架对应性质

我们参考 Unterhuber 和 Schurz（2014）对 rm-frames 的框架对应性质进行系统介绍，参考 Nute（1980），Girard（2007）和 Raidl（2021）对 sf-frames 的对应性质进行介绍，参考 Friedman 和 Halpern（1994）和 Herzig（1996）对 o-frames 的对应性质进行介绍。

3.3 条件逻辑学

为了基于可能世界框架呈现一些中心条件逻辑学，我们采用 Frege-Hilbert 公理化视角，并引入一系列公理和推理规则。我们的呈现和术语选择依赖于 Nute（1980），以及 Herzig（1996），Unterhuber 和 Schurz（2014），Crupi 和 Iacona（即将发表-b）。

• 作为所有系统的第一层，我们让 PC 由经典命题演算的所有重言式组成。

• 我们还假设以下系统在材料推理下是封闭的，但又区分以下推理规则（左逻辑等价、右弱化和条件 K 规则）。这意味着如果前提是定理，那么结论也是定理。LLEB≡C(B>A)≡(C>A)RWB⊃C(A>B)⊃(A>C)RCK(B1∧…∧Bn)⊃C(A>B1)∧…(A>Bn)⊃(A>C)(n≥0)

• | 公理 | |

  LT	（逻辑真理） A>⊤
  ID	（身份） A>A
  AND	(And) ((A>B)∧(A>C))⊃(A>(B∧C))
  OR	（或者） ((A>C)∧(B>C))⊃((A∨B)>C)
  CCut	（谨慎的传递性） ((A>B)∧((A∧B)>C))⊃(A>C)
  CMon	(谨慎单调性) ((A>B)∧(A>C))⊃((A∧B)>C)
  Rec	(互惠) ((A>B)∧(B>A))⊃((A>C)≡(B>C))
  SM	(强于物质) (B>C)⊃(B⊃C)
  CS	(合取充分性) (B∧C)⊃(B>C)
  RMon	(合理单调性) ((A>B)∧¬(A>¬C))⊃((A∧C)>B)
  CEM	(条件排中律) (A>B)∨(A>¬B)

规则和 公理	Systems
Ck	CK	B	SS	NP	V	VW	VC	C2
---	---	---	---	---	---	---	---	---	---
LLE		✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
RW	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
RCK	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
LT	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
ID			✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
AND	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
OR			✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
CCut			✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓
CMon			✓	✓		✓	✓	✓	✓
Rec			✓	✓		✓	✓	✓	✓
RMon					✓	✓	✓	✓	✓
SM				✓			✓	✓	✓
CS				✓				✓	✓
CEM				✓					✓

表 6：条件逻辑的显著逻辑。Ck 和 CK 对应于基本条件逻辑；System B 是由 Burgess 提出的；system SS 是由 Pollock 提出的；system NP 是由 Delgrande 提出的；systems V、VW 和 VC 是由 D. Lewis 提出的；system C2 是由 Stalnaker 提出的。

我们强调了九个特别引人注目的条件逻辑系统。

系统 CK 公理化了（VSC）-rm 中阐述的真值条件。CK 被 Chellas（1980）称为基本条件逻辑，因为它旨在成为模态逻辑的基本系统 K 的对应物。特别地，它相对于固定的形式 □A 产生与系统 K 相同的定理。因此，它满足标准模态逻辑的公理 K 的条件类似物（即，公理 CK：(A>B)⊃((A>(B⊃C))⊃(A>C))）和必要性规则（即，规则 CNec：从 C 推断出 A>C）。它可以被描述为在 LLE 和 RCK（后者包含 LT、RW 和 AND）下封闭的最小逻辑，并且也被称为正常条件逻辑。逻辑 Ck 对应于其超内涵变体，其中放弃了 LLE。

由伯吉斯提出的系统 B 是包含 ID、OR 和 CMon 的 CK 的最小扩展。系统 B 在假设 ⪯ 是一个预序（自反和传递）的情况下，公理化了在(VSC)-o 下陈述的真值条件。系统 B 的另一个特定兴趣是，它的扁平片段对应于由 Kraus、Lehmann 和 Magidor 提出的非单调逻辑的系统 P（见第 3.4 节）。系统 P 对于 Adams 的条件概率语义（见第 5 节）也是完备和音的，而且也可以给出一个三值特征描述，如上所述，参见 Dubois 和 Prade（1994）。从这个意义上说，系统 P 在条件逻辑中非常核心。

特别值得注意的是，这些逻辑中没有一个验证条件逻辑的单调性（也称为加强前提）、传递性或对偶命题：

Monotonicity	(A>C)⊃((A∧B)>C)
Transitivity	(A>B)⊃((B>C)⊃(A>C))
Contraposition	(A>C)⊃(¬C>¬A)

这些原则在许多情境中被认为是条件逻辑的典型无效性。

如果我们将 RMon 添加到 B 中，我们得到了 David Lewis 的系统 V。John Pollock（1976）提出了通过将 SM 和 CS 添加到 B 中获得的系统 SS。Lewis 对反事实逻辑的“官方”公理化是通过将 SM 和 C 添加到 V 中得到的系统 VC。仅使用 SM 扩展 V 的系统是系统 VW。最后，将 CEM 纳入 VC 的 C2 系统是 Stalnaker 的条件逻辑。正如表 6 所示，CS、CMon、RMon 和 CEM 等原则特别具有争议性，它们都经过了哲学讨论。

James Delgrande（1987）提出了系统 NP 作为 CK 的不同扩展。主要区别在于 B 满足谨慎单调性，而 NP 满足理性单调性。在 Delgrande 的解释中，理性单调性的一个实例是从前提“乌鸦通常飞行”和“通常乌鸦不是黑色”推导出“黑色乌鸦通常飞行”。注意，谨慎单调性预测从“乌鸦通常飞行”和“乌鸦通常是黑色”推导出“黑色乌鸦通常飞行”。系统 B 和 NP 的存在清楚地表明，严格来说，RMon 和 CMon 在逻辑上是独立的。但可以说 RMon 在本质上比 CMon 更强，因为在大多数环境中，可以从 A>C 推断出 ¬(A>¬C)。在排序语义中，RMon 需要满足模块化的弱序（对于所有的 t,u,v,w∈W，如果 t≺wu，则 t≺wv 或 v≺wu），而 CMon 只需要传递关系。但是，如果在无限集合上有一个弱序，并且没有类似于极限假设的东西，并且使用选择函数或最小模型方法，那么可以满足 RMon 而不满足 CMon。这是 Delgrande（1987）的情况。[2]

除了提到的系统之外，CK 和 C2 之间的其他中间系统也受到证明论者的特别研究。Olivetti，Pozzato 和 Schwind（2007）以及 Poggiolesi（2016）提出了逻辑学中的顺序演算法，用于系统 CK，CK+ID，CK+SM 和 CK+SM+ID。Poggiolesi 还研究了相同系统的自然演绎系统。

3.4 非单调逻辑和优先模型

之前我们提到系统 P 对应于系统 B 的平坦片段。鉴于系统 P 的重要性，我们在这里更详细地介绍了 Kraus，Lehmann 和 Magidor 将其定义为非单调逻辑系统的方式。KLM 的目标不是表征哪些公式在逻辑上是有效的，而是为有理条件集指定闭包条件。他们将条件 A>C（实际上他们使用的是 A|∼C 的符号）解读为表达“如果 A，那么通常 C”或“C 是 A 的一个合理推论”的默认形式。他们立即从模型开始，但是他们的模型与我们迄今为止看到的模型略有不同。重要的是，KLM 对于单个世界中条件的真值没有用处，而只关注由完整模型确定的“推论关系”。KLM 所称的“状态”更像是信息状态，而不像是可能世界，他们所称的“世界”是赋值，即将真值分配给语言中的命题变量。KLM 的优先模型类似于上面讨论的 o-模型，只是完整模型只有一个二元关系，而不是模型中的每个世界都有一个二元关系。

对于宇宙 W 的累积模型 M 是一个三元组 ⟨S,l,<⟩，其中 S 是一组状态，l:S→P(W)是一个标记函数，为每个状态分配一个非空的宇宙 W 中的世界集合，<是 S 上的二元关系，满足平滑性条件：对于所有的 A∈L0 和所有的 s，使得 s|≡A，要么 s 是^A={s∈S:s|≡A}中的最小元素，要么存在一个 s′< s，使得 s′是^A 中的最小元素。这里 s|≡A（读作：s 满足 A）意味着对于 l(s)中的每个世界 w，w⊩A。

平滑性条件与上述 3.2.1 节的条件（L）几乎相同。这种模型的概念允许对经典蕴涵的定义进行修改，使其与可推翻性或非单调性的思想相兼容：

给定一个累积模型 M=⟨S,l,<⟩，由 M 定义的蕴涵关系|∼M 定义如下：对于所有在^A 中最小的状态 s，s|≡B，则 A|∼MB。

因此，每个累积模型都定义了一种偏好的内在关系——相对于这种关系，一个句子 A 通常蕴含的远不止它的经典逻辑后果。

Kraus、Lehmann 和 Magidor（1990）专注于一类特殊的累积模型，即所谓的偏好模型。它们要求二元关系是一个严格的偏序关系，并且标记函数只为每个状态分配一个世界。对于一个宇宙 W 来说，偏好模型是一个三元组 ⟨S,l,<⟩，其中 S 是一组状态，l:S→W 是一个将每个状态映射到宇宙 W 中的一个世界的标记函数，<是 S 上的严格偏序关系（非自反、传递），并满足平滑性条件。

Lehmann 和 Magidor（1992）专注于偏好模型的一个子类，即所谓的排序模型。一个排序模型 R 是一个偏好模型 ⟨S,l,<⟩，其中严格偏序关系<满足模块性：对于所有的 s,t,u∈S，如果 s<t，则 u<t 或 s<u。

这些模式被称为“排名”，因为严格偏序<的模块性质等价于存在一个完全有序集 Ω（Ω 上的严格顺序将用 ∠ 表示）和一个排名函数 r：S→Ω，使得 s<t 当且仅当 r(s)∠r(t)。直观地说，较低等级的状态比较高等级的状态更“正常”。

Kraus，Lehmann 和 Magidor 的主要表示定理涉及以优先模型为基础的系统 P。下面我们重复系统的规则，只是这里的公理以参数形式出现（蕴涵符号“|∼”不是目标语言的一部分），而推理规则以元参数形式出现。他们考虑的系统中的规则并不被认为是保持有效性的。相反，它们被视为闭包条件：任何合理的非经典推理关系|∼ 都满足以下条件：当它包含前提时（有时，前提是排除条件，请参见 RMon，DRat 和 NRat），它也包含结论。然后，Kraus，Lehmann 和 Magidor 的表示结果表明，推理关系|∼ 在这种语法指定的意义下是合理的，当且仅当它可以由具有特定属性的模型定义。

ID|∼A|∼ALLE|∼⊨A≡BA|∼CB|∼CRW|∼⊨A⊃BC|∼AC|∼BCCut|∼A|∼BA∧B|∼CA|∼CCMon|∼A|∼BA|∼CA∧B|∼CAND|∼A|∼BA|∼CA|∼B∧COR|∼A|∼CB|∼CA∨B|∼C

在 Kraus，Lehmann 和 Magidor（1990）中，规则 ID|∼，LLE|∼，RW|∼，CCut|∼ 和 CMon|∼ 共同定义了累积推理系统 C；AND|∼ 是 C 的一个派生规则。如果添加 OR|∼，则得到偏好推理系统 P；如果保留 AND|∼，则可以从 P 的其他规则推导出 CCut|∼。

Lehmann 和 Magidor（1992）证明，通过将 Rational Monotonicity 的以下规则添加到上述规则集中，得到的合理推理系统 R 在排名模型方面是完备的。

RMon|∼A|∼CA|≁¬BA∧B|∼C

这个规则的形式不典型，因为它的前提之一是非单调蕴涵的否定；这样的规则被称为“非 Horn”。如果将 RMon|∼ 添加到 P 中，则 CM|∼ 可以被推断出从 A|∼⊥ 推断出 A∧B|∼⊥ 的规则所替代。Arló-Costa 和 Shapiro（1992）证明了通过从 R 中删除 CMon|∼ 获得的系统在“粗糙”排名模型中是完备和一致的，其中状态的排序不再受到平滑性条件的限制。

文献中的其他重要的非 Horn 规则有“析取合理性”和“否定合理性”：

DRat|∼A∨B|∼CA|≁CB|∼CNRat|∼A|∼CA∧B|≁CA∧¬B|∼C

否定理性比析取理性更弱，而析取理性又比理性单调性更弱（参见 Lehmann＆Magidor 1992）。

3.5 或者-如果，进口-出口，简化析取前提

结束本节时，我们指出三个公理对于物质条件是有效的，但在 CK 的扩展中却失败了，即使在 Stalnaker 和 Lewis 的强逻辑 C2 和 VC 中也是如此。[3] 这些原则涉及条件与析取和合取的相互作用。它们是：

OI	(A∨B)⊃(¬A>B)	(Or to If)
IE	(A>(B>C))≡(A∧B>C)	(进口-出口)
SDA	((A∨B)>C)⊃((A>C)∧(B>C))	（析取简化） 原则 OI 在直觉上是合理的，但正如 C. I. Lewis 所指出的，假设它会导致材料条件的悖论之一。因为假设 A 蕴含 A∨B（析取引入），而后者蕴含 ¬A>B，根据传递性，应该得出 A 蕴含 ¬A>B。面对这个悖论，有各种选择：否认析取引入，否认传递性，或者确实否认 OI 的有效性。Stalnaker（1975）为之辩护 OI 的无效性，认为 OI 是一个实用上合理的原则，但推理是与语境相关的。

The principle OI is intuitively plausible, but as noted by C. I. Lewis, assuming it leads to one of the paradoxes of the material conditional. For assuming that A entails A∨B (disjunction introduction), and that the latter entails ¬A>B, by transitivity it should follow that A entails ¬A>B. Various options exist in the face of the paradox: to deny disjunction introduction, to deny transitivity, or indeed to deny the validity of OI. Stalnaker (1975) for one defends the invalidity of OI, arguing that OI is a pragmatically reasonable principle, but that the inference is context-sensitive.

一个类似的崩溃结果涉及到 IE 原则。Gibbard（1980）表明，只要我们有 Modus Ponens、IE、LLE 和 Supraclassicality 原则（即如果 A 在经典意义上蕴含 C，则必须成立 A>C），那么如果条件蕴含物质条件，逆反关系也成立。McGee（1989）以一种方式修改了 Stalnaker 的语义，使得 IE 成立，但 MP 不再成立。McGee 对 MP 的拒绝是基于自然语言例子的独立动机，特别是基于 1980 年美国选举的著名例子，其中里根作为共和党人领先于民意调查，卡特作为民主党人排在第二位，然后是安德森作为遥远的第三位，但也是共和党人。在这种情况下，McGee 认为以下 MP 的实例存在问题：

(3)

共和党人将会获胜。如果共和党人获胜，那么如果里根不获胜，安德森将获胜。因此，如果里根不获胜，安德森将获胜。

在这里，结论是有问题的，因为直观上，如果里根不获胜，卡特似乎更有可能获胜。最近 Mandelkern（2020）提出了 IE 不应该被视为无限制地有效的观点。Mandelkern 的论证部分基于逻辑考虑，部分基于自然语言例子。Mandelkern 指出，在一个情境中（改编自 McGee 的反例），里根领先于卡特和安德森，但安德森和卡特的相对情况未知，存在以下对比：

(4)

如果一个共和党人将赢得选举，并且如果里根不赢，安德森将赢得选举，那么目前两个共和党人比卡特更有可能赢得选举。

(5)

如果一个共和党人将赢得选举，那么如果里根不赢，安德森将赢得选举，那么目前两个共和党人比卡特更有可能赢得选举。

根据曼德尔克恩的说法，后者比前者更不可接受，因为第二个条件前提“如果里根不赢，安德森将赢得选举”在语境上等同于“一个共和党人将赢得选举”。然而，如果嵌套前提限制为非条件句，曼德尔克恩认为 IE 是可以接受的。

另一个反对 IE 的论据是 Adams（1975）提出的，涉及到 A>(B>A)和(A∧B)>A 的等价性。而后者是明显的逻辑真理，前者则不是。因此，Kaufmann（2005）认为 IE 的有效性或无效性取决于将结果和前提之间的具体因果假设。

SDA 的情况也是理论家之间争议的焦点。Chellas（1975）和 Fine（1975）首先指出 SDA 在直觉上是有效的，与 Lewis 和 Stalnaker 的理论相悖。然而，正如 Ellis、Jackson 和 Pargetter（1977）所指出的，SDA 和 LLE 共同暗示了单调性：从 A>C，根据 LLE，可以得出((A∧B)∨(A∧¬B))>C，因此根据 SDA，(A∧B)>C。

自那时以来，各种理论家提出放弃 LLE（即 Nute 1980; Fine 2012; Ciardelli, Zhang, & Champollion 2018; Santorio 2018），以支持没有单调性的 SDA。特别是 Santorio（2018）提供了一种基于 SDA 可能基于类似标量蕴涵的机制的实用解释和基于逻辑上等价前提可以直接生成不同替代方案的语义解释之间的系统比较。Santorio 的提议简而言之是，A>C 为真当且仅当作为 A 为真的方式的替代命题 A1,...,An 中最接近的世界是 C 世界。

重要的是，桑托里奥的解释放弃了 LLE，但仍然使 SDA 只有在可选情况下才有效。Lassiter（2018）最近提出，麦凯和因瓦根（1977）提出的一些经典反例，最初被认为是无法确定的，现在可以加强。例如，假设吉姆喜欢奇数但对它们无所谓，并且实际上下注了 5，那么可以接受以下观点：

(6)

如果吉姆下注了 1 或 3，那么他下注 3 的概率恰好为 50%。

SDA 将预测：

(7)

a.

如果吉姆下注 1，那么他下注 3 的概率恰好为 50%。

b.

如果吉姆下注了 3，那么他下注 3 的概率恰好是 50%。

在至少一种解读下，这两个结论都存在问题。然而，我们注意到，如果对机会的评估先于吉姆的下注，也有一种解读可以使它们成立。

总之，我们看到，虽然 OI、IE 和 SDA 在直觉上是有效的，但接受它们涉及对其他基本原则的实质性权衡。

4. 前提语义学

4.1 动机

一些早期的条件理论认为，如果且仅当其前提与进一步的“可共存”前提一起蕴含其结论时，虚拟语气句子才是真实的或可断言的（Ramsey 1931 评论 Mill；Chisholm 1946；Goodman 1947, 1955；Mackie 1962）。D. Lewis 将这样的理论称为元语言的，其想法是“如果 A，那么 C”是真实的，只要存在一种从句子 A 和额外前提到 C 的论证。根据这些观点，虚拟语气句子要么是意味着存在支持它的适当论证的句子，要么（如 Mackie 的版本）它本身是这样一个论证的省略表达。任何这种理论的主要问题是确定哪些“额外前提”适合与给定的前提连接，哪些不适合。Goodman（1955）将额外前提视为一般法则，辅以相关的事实条件，但问题在于确定应该假设哪些事实，以及应该撤回哪些事实。Rescher（1964）将额外潜在前提按照它们在“模态范畴”系统中的位置进行排序。

基于可能世界的共同可容性思想的解释在 Veltman（1976）和 Kratzer（1979）的工作中进一步阐述，这被称为前提语义学（D. Lewis 1981 创造的一个表达）。前提语义学可以被描述为提供接受条件或真值条件。它既与认识论解释又与本体论解释条件句相容。前者基于这样的思想，即前提基本上代表了一个主体的基本信念；这是 Veltman（1976）的方法，他受到了 Ramsey 的启发。后者将前提解释为可能世界的基本事实；这是 Kratzer（1979, 1981）的方法，他受到了 Rescher 和 Lewis（D. Lewis 1981）的启发，并为每个可能世界分配了一个前提集合。无论如何，前提语义学的思想是这样的。相对于给定的前提集合 Γ（分配给可能世界 w），如果且仅如果对于 Γ 中与 A 一致的每个最大子集 Γ'，都有 Γ'∪{A}蕴含 B，那么条件句 A>B 被接受（或在 w 上为真）。

4.2 前提框架

更正式地说，前提框架是一个二元组 ⟨W,Γ⟩，其中 W 是一组非空的可能世界，Γ:W→P(P(W))是一个函数，将任何世界 w 映射到一组命题——w 的前提。可以规定，w 属于 Γ(w)中的每个命题，而其他所有世界则不属于 Γ(w)中的任何命题（居中性）。为了简单起见，我们假设 W 是有限的。前提模型是一个三元组 M=⟨W,Γ,V⟩，其中 ⟨W,Γ⟩ 是一个前提框架，V 是一个估值函数。对于任何命题 F，令 Γ(w)⊥F 表示与 F 一致但没有 F 的真超集的 Γ(w)中的所有子集。也就是说，Γ(w)⊥F 是与 F 最大一致的 Γ(w)的子集集合。条件句的真值条件为：

(PS)M,w⊩A>C 当且仅当对于每个 X∈Γ(w)⊥|A|M,⋂(X∪|A|M)⊆|C|M。

这意味着在世界 w 中，如果与 A 最大一致的每组基本信念或事实，连同 A 一起，蕴含 C，则条件（反事实）条件在世界 w 中为真。

Kratzer 展示了这个定义如何灵活地将一些事实“合并”在一起，或者相对于条件前提将事实保持分离。她的一个例子是以下情况。Angelika 和 Regina 必须一个接一个地通过一座桥。Angelika 花一分钟通过桥，Regina 等待一分钟后通过。假设 Angelika 在 40 秒内通过了桥，Regina 是否仍然等待一分钟？让 B 代表“Angelika 一分钟通过”，C 代表“Regina 等待一分钟”，A 代表“Angelika 在 40 秒内通过”，并且 A 和 B 不一致。问题是条件 A>C，“如果 Angelika 在 40 秒内通过，Regina 将等待一分钟”，是真还是假。一种选择是让 Γ(w)={B,C}。Γ(w)∪{A}不一致，但只包含{A,C}作为最大 A 一致集合，而该集合的交集蕴含 C。这预测在假设 Angelika 通过得更快的情况下，Regina 确实会等待一分钟。另一种选择是让 Γ(w)={B∩C}。这次，Γ(w)∪{A}只包含{A}作为唯一的最大 A 一致集合，而该集合未能蕴含 C。尽管两个前提集合具有相同的交集，但在第二个集合中合并前提导致撤回更多的事实，当进行反事实假设时。正如 Kratzer 强调的那样，这种灵活性解释了条件句的上下文敏感性。

显然可以看出前提语义无效化了传递性。例如，如果

Γ(w)={A⊃B,A⊃¬C,¬A∧(B⊃C)},

那么我们得到 A>B 和 B>C 都为真，但是 A>C 在 w 处为假（实际上，A>¬C 为真；见图 2）。对于单调性和逆否命题也有类似的反例。

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图 2：在前提模型中反对传递性的反例 [图 2 的详细描述在补充中。]

4.3 与排序语义的对应关系

David Lewis（1981）证明了前提语义和排序语义的真值条件在根本上是相互对应的。可以从前提模型开始，为 o 模型定义一个严格的偏序关系，从而得到相同的结果：定义 u≺wv，当且仅当在世界 u 中所有前提集合 Γ(w)为真，且该集合是在世界 v 中为真的前提集合的真子集。反过来，可以从基于严格偏序关系的 o 模型开始，定义一个给出相同结果的前提模型：将 Γ(w)定义为所有形式为的命题集合

Xv:={u∈W:u≺wv or u=v},

对于每个 v∈W。

在他的论文中，刘易斯讨论了对应关系的几个细化，这取决于对排序框架施加的条件，并且更多的结果可以在 Chemla（2011）中找到。从哲学和基础的角度来看，可以认为对应关系表明选择先排序方法还是先前提方法并不重要。然而，可以认为前提语义比先排序的语义更具解释性，有两个原因。首先，从认知的角度来看，可以认为前提语义更接近于实施拉姆齐测试的思想，因为排序语义只是隐含地涉及对信念集进行调整的想法。其次，在 o-语义中，确实无法确定什么决定了世界之间的相似性。当然，在前提语义中，接受或拒绝哪些事实也是有问题的，但使用命题作为排序源更清楚地表明世界之间的相似性是相对而不是绝对的问题。近年来，一些作者提出通过研究因果推理模型来进一步澄清反事实条件选择的问题（K. Schulz 2007; Briggs 2012; S. Kaufmann 2013; Santorio 2019）。

基于排序语义和前提语义之间的对应关系，Kratzer（1979）提到 Burgess 的系统 B 对后者是完备且正确的。Veltman（1985: 108–132）证明了通过前提语义解释的平坦条件可以由系统 P 的公理来表征。20 世纪 90 年代获得的结果表明，这样的条件具有一种额外的特殊属性，然而这种属性无法用条件逻辑的公理来表达：[6]

(∗)

如果接受（或在 w 处为真）(A∨B)>C，则存在 D 和 E 使得 D∧E 蕴含 C，并且 A>D 和 B>E 都被接受（或在 w 处为真）。

在最近使用因果模型进行前提语义学修改中，Santorio（2019）的过滤语义学最终放弃了 OR。

5. 概率逻辑

条件句的正确语义可能是概率的这一观点有至少三个吸引人之处。首先，正如 Adams（1965）所指出的，宣称具有假前提的条件句是真还是假是不清楚的。因此，Adams 更倾向于将条件句视为具有可断言条件而非真实条件，并且合理的可断言性自然地用概率来处理。Adams 对条件句的真实条件的怀疑也得到了几位作者的共享，特别是 Gibbard（1980）和 Edgington（1995），并且 Lewis（1976）的琐碎结果进一步加剧了这种怀疑。其次，许多条件句似乎仅表达前提和结论之间的可能推理关系。因此，"如果 a=b，则 a+1=b+1" 表达的是纯粹的演绎关系，"如果你煮这个鸡蛋，它会变硬" 表达的是归纳关系，"如果灯不亮，则灯泡一定坏了" 表达的是诱导关系（Douven＆Verbrugge 2010; Krzyżanowska，Wenmackers，＆Douven 2013; Douven 2016）。但是，与归纳和诱导推理一样，将这些推理放入条件句中似乎要求对相应句子进行概率分配。第三，正如 Stalnaker（1970）所强调的，

虽然概率的解释存在争议，但抽象的演算是一个相对明确定义和确立的数学理论。

实际上，基于其数学的简洁性，该理论为推理心理学提供了一个通用的框架，其中条件占据了核心地位（Over, Hadjichristidis, Evans, Handley, & Sloman 2007）。我们以亚当斯的条件逻辑开始本节。然后我们解释了刘易斯的琐碎结果以及它们对条件复合概率分配的问题。

5.1 亚当斯的逻辑

概率论条件处理的核心是条件概率的概念。给定一个 L0 的布尔公式 A 和一个可能世界集合 W，我们用 Pr(A)表示 Pr(|A|)，即赋予 A 为真的世界的概率。对于两个布尔公式 A 和 C，条件概率 Pr(C|A)可以通过比率公式来定义：

• （比率公式）Pr(C|A)=Pr(A∧C)Pr(A)，前提是 Pr(A)>0。

现在考虑确定一个公平骰子落地为偶数时，它落在六上的概率的问题。材料条件“它不是偶数，或者它是六”的概率是

Pr(1∨3∨5∨6)=23.

这显然超过了所寻求的概率，而是以假设它是一个偶数的条件概率来捕捉，

Pr(6∣2∨4∨6)=13.

更一般地说，任何物质条件的概率 Pr(A⊃C)永远不会小于条件概率 Pr(C|A)，这一点显然是由 Reichenbach（1949 年，第 437 页）首次强调的。

Adams 的核心假设是对于每个条件句 A>C，其中 A 和 C 是布尔句，并且对于每个概率函数 Pr，条件概率等于相应的条件概率：

• （Adams 的论题）对于每个布尔句 A、C 和每个概率函数 Pr，只要 Pr(A)>0，就有 Pr(A>C)=Pr(C|A)。

亚当斯的论题有两个方面。从亚当斯条件逻辑的内在立场来看，它可以被视为一个定义：条件概率定义了对简单条件的概率程度。从普通英语的外在立场来看，亚当斯的论题提出了一个经验性的主张：即简单条件的可断言性是给定前提的后果的条件概率的函数。

在规定 Pr(A>C)=1 时，亚当斯研究了扁平条件语言 L1 的几个有效性概念。他最初的定义如下：

• （概率有效性）如果对于任何正 ε，存在一个正 δ，使得在任何概率分配下，每个前提的概率都大于 1-δ，那么结论的概率至少为 1-ε，则推理是概率上有效的。

理解这个定义的一种方式是通过对它进行反证：当可以为前提分配任意高的概率，但结论却达不到高概率时，一个论证是无效的。

亚当斯将这个定义与一个更直观的有效性标准进行对比：

• （严格有效性）当且仅当在其前提的每个概率都为 1 的概率分配下，其结论的概率为 1 时，一个推理是严格有效的。

每个概率上有效的推理都是严格有效的，但反之则不然。严格有效与经典有效相一致。在后续的工作中，亚当斯使用了概率有效性的另一种定义，基于不确定性的概念。给定一个概率函数 Pr，句子 A 的不确定性 U(A) 被定义为 1−Pr(A)：

• （p-有效性）当且仅当对于每个概率分配，结论的不确定性不大于前提的不确定性之和时，推理是 p-有效的。

概率有效性和 p-有效性可以被证明是一致的（亚当斯 1975：定理 3.1）。此外，对于布尔公式，亚当斯还证明了这三种有效性定义与经典有效性相一致。然而，对于条件句来说，得到的逻辑较弱，实际上对应于 P 系统。

正如在第 3 和第 4 节中考虑的语义学中，单调性、传递性和对偶性在亚当斯的语义学中都不成立。考虑传递性：很容易构造出这样的模型，其中 Pr(B|A)=1，Pr(C|B)>1-δ，其中 δ 是正的但任意小的数，然而 Pr(C|A)=0（见图 3）。

a diagram link to extended description below

图 3：亚当斯模型中反对传递性的反例【图 3 的详细描述在补充材料中】。

这导致了根据概率有效性的任何定义都存在反例。类似的例子可以用于单调性、对偶性和物质条件的悖论。

5.2 路易斯的琐碎定理

将 Adams 的逻辑视为告诉我们哪些条件是给定一组条件的结果的逻辑，它与 Stalnaker 和 Lewis 的逻辑在它们的共同语言上是一致的。也就是说，对于 L1 的有限前提集合 Γ 和结论 A 的每个论证，当且仅当根据 Stalnaker 的语义 Γ 是 A 的 p-结果时，A 是 Γ 的结果（参见 Gibbard 1980 的证明）。[7] 然而，Adams 的逻辑的主要限制在于它不能解释条件的嵌入（否定条件，条件的析取，右嵌套和左嵌套条件）。尽管如此，由可能世界和概率语义生成的逻辑的巧合表明，Adams 的论点可以扩展到任意复杂条件的语言 L2。这个假设被称为 Stalnaker 的假设，他在他的 1970 年的文章中提出了这个假设。[8]

• （Stalnaker 的假设）对于每个概率函数 Pr 和每个条件 A>C，可能是复杂的：只要 Pr(A)>0，就有 Pr(A>C)=Pr(C|A)。

Stalnaker 的假设的经验充分性取决于对嵌套条件的处理。然而，Lewis（1976）表明，在对嵌套条件的概率进行相当无争议的假设下，该论点导致了平凡性。Lewis 假设了以下的因子化假设（Fitelson 2015）：

• （因子化假设）对于每个概率函数 Pr 和所有的句子 A 和 B，使得 Pr(A∧B)>0：

• Pr(B>C∣A)=Pr(C∣A∧B)。

鉴于斯塔尔内克的假设，分解假设等同于进出法则，即 Pr(A>(B>C))=Pr((A∧B)>C)。

根据分解，刘易斯得出了以下结果，基本上表达了条件概率崩溃为其结果的无条件概率：

• 平凡定理（刘易斯）如果 A 与 C 和 ¬C 都是概率上相容的，即如果 Pr(A∧C)>0 和 Pr(A∧¬C)>0，则 Pr(A>C)=Pr(C)。

证明如下：

Pr(A>C)=Pr(A>C∣C)Pr(C)+Pr(A>C∣¬C)Pr(¬C)(展开)Pr(A>C∣C)=Pr(C∣A∧C)=1(通过分解)Pr(A>C∣¬C)=Pr(C∣A∧¬C)=0(通过分解)Pr(A>C)=1⋅Pr(C)+0⋅Pr(¬C)=Pr(C)

路易斯本人提出了进一步的变体，自那以后还提出了几个概括（Hájek & Hall 1994; Bradley 2000; Milne 2003; Fitelson 2015）。特别是 Bradley (2000)指出，受信念修正理论启发的以下保持条件也导致了平凡性。

• 保持条件（布拉德利）：对于每个概率函数 Pr 和所有的句子 A 和 C，如果 Pr(A)>0 且 Pr(C)=0，则 Pr(A>C)=0。

这个条件比斯塔尔纳克的论点要弱，因此它将平凡性扩展到了更广泛的条件类别。

5.3 基数和成像

路易斯的琐碎结果揭示了 Pr(C|A)和 Pr(A>C)之间的不匹配。为了阐明这一现象，我们询问每个数量在路易斯的结果下代表什么，即使是对于简单的条件。

5.3.1 基数

让我们从 Pr(C|A)开始。即使在有限世界集上有固定的概率分配，条件概率可能不对应于任何世界集的概率。让 W={a,b,c}，让

Pr(a)=Pr(b)=Pr(c)=⅓.

显然,

Pr(a∣a∨b)=½.

然而，在从 W 生成的布尔代数中，没有可能世界的命题在 Pr 下获得 1/2 的概率。事实上，Hájek（1989）表明，对于任何具有至少三个非零概率世界的有限可能世界集 W，存在比不受限制的概率值更多的不同条件概率值。正如 Égré 和 Cozic（2011）所指出的，这个结果与广义量词理论中的不可定义性结果具有结构上的类比。通过将无限制的“most”应用于一阶可定义命题，无法定义“大多数 A 是 C”。同样，在这里，我们可以将这个结果视为表明在像“如果 A，则 C 的概率为 1/2”这样的句子中，嵌入的条件并不表达任何命题。

然而，这个结果与条件从根本上作为限制器的概念是相容的（参见 Lewis 1975 年；Kratzer 2012 年；以及下面的第 8.1 节）。Égré 和 Cozic（2011 年）使用这个结果来证明这个观点，尽管 Charlow（2016 年）认为限制器观点本身并不免于琐碎性。对它的另一种看法涉及三值方法。在三值情况下，命题的可断言性自然被视为该命题具有确定真值的概率（McDermott 1996 年）。假设 De Finetti 的条件方案，A>C 的可断言性等于 A∧C 为真的概率，假设 A 为真，因此等于条件概率。这推导出了亚当斯的简单条件论文。尽管如此，请注意，如果我们将 a，b，c 视为原子命题，并将 Pr 视为它们上的等概率分布，再次没有三值命题的概率为 ½，使得条件 a∨b>a 成立，如果我们将可能世界定义为对原子命题赋予三个值之一的分配（并以强 Kleene 方式处理析取）。相反，如果三值条件表达命题，那么这些命题需要被视为该句子为真的世界与定义该句子的世界之间的关系，因此是比世界集合更复杂的对象（参见 Dubois＆Prade 1994 年，他们将其表示为对）。

5.3.2 成像

现在考虑 Pr(A>C)。假设斯塔尔纳克对 A>C 的语义学；如果不是条件概率，那么该条件概率对应的概率是什么？刘易斯（1976 年）确定了一个他称之为 imaging 的修订规则。给定 Pr，他定义 Pr′A 为在前提下的 imaging，其中如果 w 不是一个 A 世界，则 Pr′A(w)=0；如果 w 是一个 A 世界，则 Pr′A(w)等于根据斯塔尔纳克的选择函数，将 w 与非 A 世界的和最接近的非 A 世界的概率 Pr(w)相加。刘易斯证明了斯塔尔纳克条件概率的概率是在前提下通过 imaging 得到的结果。而在 A 的条件下，将非 A 世界消除并将它们的质量均匀分布在 A 世界上，而在 A 上的 imaging 是一个不同的操作，它根据选择函数将非 A 世界的权重非均匀地转移到 A 世界上（见图 4）。

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(a) 在 A 上的条件化导致后验概率 Pr′(u)=pp+q，Pr′(v)=qp+q 和 Pr′(w)=0。

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(b) 在 A 上的 imaging 导致后验概率 Pr′(u)=p+r，Pr′(v)=q 和 Pr′(w)=0。

图 4：以 W={u,v,w}和先验概率 Pr(u)=p，Pr(v)=q 和 Pr(w)=r 为例。在图中，从 x 到 y 的红色虚线箭头表示 y 是 x 的最接近的 A 世界 [图 4 的详细描述在补充中。]

Edgington（2020）的一个例子可以帮助理解其中的区别。假设有一堆 100 根吸管，其中 90 根长 10 厘米，1 根长 11 厘米，9 根长 20 厘米。考虑条件“如果吸管长于 10 厘米，则它短于 15 厘米”。假设世界之间的相似性由吸管长度的接近程度确定。Stalnaker 的条件为真的世界集合的概率为 91/100，因为 10 厘米吸管的世界和 11 厘米吸管的世界满足吸管长于 10 厘米的最接近世界确实是吸管短于 15 厘米的世界。但条件的条件概率为 1/10，因为只有一根 11 厘米或 20 厘米长的吸管短于 15 厘米。

这些考虑的结果是，从斯塔尔纳克的条件开始，我们可以看到它的概率不是条件概率，而是成像概率（关于成像的更多内容，请参考 Günther 2018）。相反，从给定 A 的条件概率开始，我们已经看到它通常不等于任何可能世界命题的概率。重要的是，亚当斯的论点作为一个简单条件的定义保持一致，因为它规定了条件句的概率是一定的条件概率。然而，作为一个经验论点，斯塔尔纳克的假设陈述了在分别定义的数量之间的实质性等同性，我们现在更清楚为什么它应该失败。关于亚当斯的论点是否作为经验事实以及甚至对于简单条件是否仍在争论中。我们在第 7 节中回顾的最新研究结果表明，相关性考虑也起到了作用（Douven 2016; Skovgaard-Olsen, Singmann, & Klauer 2016）。

5.4 复合条件的概率

斯塔尔纳克的论点对于简单条件来说是一致的，但对于任意复杂条件来说则失败了。一个挑战是将斯塔尔纳克的论点扩展到更多或更少扩展的复合条件类。已经提出了几个关于这个目标的建议。然而，相关文献非常技术性，我们在这里只给出一些重要的里程碑。重要的是，所有提到的结果系统都保守地扩展了亚当斯的基本逻辑，即 P 系统（即它们保留了简单条件的相同公理，尽管不一定适用于复合条件）。

Van Fraassen（1976）将 Stalnaker 的论点扩展到形式为 A>(B>C)的右嵌套条件句，其中 A、B、C 是布尔值，并且对于具有相同限制的左嵌套条件句(A>B)>C，他还可以处理特定的条件句的合取和析取。 Van Fraassen 的提议涉及到一个产品空间构造，依赖于所谓的 Stalnaker-Bernoulli 模型，使他能够基于标准的 Stalnaker 模型为无限序列的世界分配概率。该构造在 Stalnaker 和 Jeffrey（1994）中使用，并在 S. Kaufmann（2009）中进行了扩展。该构造的一个值得注意的方面是，形式为 A>(B>C)的右嵌套条件句的概率在所有情况下都不等于(A∧B)>C 的概率。另一方面，McGee（1989）提出了一种不允许左嵌套条件句的独特构造，但旨在为右嵌套条件句确保导入-导出律（通过放弃嵌套条件句的 Modus Ponens）。然而，这两种方法在一些概率原则上是相同的，例如

Pr(A∧(A>B))=Pr(A∧B)

在这两种理论中都成立。此外，对于这两种方法，相关的逻辑可以从 Stalnaker 的可能世界语义进行语义解释。Bradley（2012）在 Jeffrey-Stalnaker 和 McGee 的方法基础上进行了扩展，以证明对于简单条件句，可以通过为一对世界分配概率（而不仅仅是世界）来推导出 Adams 的论点。一对世界（w0，w1）的概率表示 w0 是实际世界的概率，并且在讨论的前提下，w1 是其选择的备选世界的概率（注意，对于所有潜在的前提，都需要这样的概率）。对嵌套条件句的这种属性的一般化概述，强调了条件句的概率不仅取决于单个世界，还取决于世界之间的非事实关系的反事实依赖。

一种与迭代条件相关的方法基于所谓的概率一致性方法，源自德·费内蒂对概率的投注观点（参见 Coletti＆Scozzafava 1999; Gilio 2002; Gilio＆Sanfilippo 2014; 以及 Pfeifer 2014 进行介绍）。其思想是，只要它们不违反对这些赌注（没有确定的损失或“荷兰书”）的某些一致性约束，就可以将概率度附加到条件事件上。在这个框架中，事件的概率是根据预期的技术概念来定义的。与 A>C 相关联的预期 x 对应于以下事实：

对于每个实数 s，根据 A∧C 为真，A∧¬C 为真，或 ¬A 为真（取消赌注），你愿意支付（或接收）sx 的金额，并接收（或支付）s，或 0，或 sx。 （Sanfilippo，Gilio，Over 和 Pfeifer（2020 符号适应））

根据基本命题的独立性假设，预期不仅可以针对条件的连词进行定义，还可以针对各种嵌套条件进行定义。关于该领域的最新结果的概述可参见 Sanfilippo 等人（2020）。

6. 信念修正方法

尽管斯塔尔纳克（Stalnaker）将拉姆齐（Ramsey）关于“如果 A”的作用建议解释为最接近的前提世界，而亚当斯（Adams）则专注于其概率解释，但彼得·格登福斯（Peter Gärdenfors）（1978）引入了一种使用拉姆齐思想的条件语义学，以一种直接且纯粹定性的方式。他的方法坚决是认识论的，或者更准确地说是信念论的，它基于信念或接受的概念。这种方法的前身是威廉·哈珀（William Harper）（1976）和艾萨克·莱维（Isaac Levi）（1977）。

6.1 信念修正模型和拉姆齐测试

一个关于语言 L 的信念集是一组在给定背景逻辑 Cn（即逻辑学家的意义上的理论）下封闭的句子集合。信念修订模型（BRM）是一个由 M=⟨K,∗⟩ 组成的对，其中 K 是关于 L 的信念集合的集合，*：K×L→K 是一个信念修订函数，为每个信念集合 K 和每个句子 A 分配一个修订后的信念集合 K∗A。在信念修订模型中，条件句的接受条件是对 Ramsey 测试的直接形式化：

(RT)M,K⊩accA>B 当且仅当 B∈K∗A。

Gärdenfors（1978, 1988: sects. 7.1–7.2）的最初想法是将在信念集合中被接受的条件句作为信念，即作为该信念集合的元素。让我们称之为 Gärdenfors 的 Ramsey 测试：

(GRT)A>B∈K（在 M 中）当且仅当 B∈K∗A。

对于由 Gärdenfors（1978）和 Alchourrón，Gärdenfors 和 Makinson（“AGM”，1985）引入的信念修正的合理性公设，条件逻辑的原则直接得出。使用缩写 K+A 表示 Cn(K∪{A}），八个 AGM 公设如下：对于所有信念集 K（在所有 BRM M 中）和所有句子 A 和 B，

(∗1)	K∗A 是一个信念集。	(Closure)
(∗2)	A∈K∗A.	(Success)
(∗3)	K∗A⊆K+A.	(Inclusion)
(∗4)	如果 ¬A∉K，则 K+A⊆K∗A。	(Vacuity)
(∗5)	当且仅当 ⊢¬A 时，K∗A=K⊥。	（一致性）
(∗6)	如果 ⊢A≡B，则 K∗A=K∗B。	（外延性）
(∗7)	K∗(A∧B)⊆(K∗A)+B。	(超扩展)
(∗8)	如果 ¬B∉K∗A，则(K∗A)+B⊆K∗(A∧B)	(子扩展，合理单调性)

编号是 AGM 的，名称归功于 Hansson（1999）。前提（∗3）和（∗4）一起表明，如果输入 A 与信念集 K 一致，则仅凭背景逻辑就足以指导信念修正。当（∗1）和（∗2）同时存在且 Cn 是一个单调的推论操作时，（∗4）等价于保全原则，即如果 A 与 K 一致，则 K 中的所有元素都在 K∗A 中保留：

（保全）

如果 ¬A∉K，则 K⊆K∗A。（保全）

AGM 称之为（∗1）-（∗6）基本公设的集合。附加公设（∗7）和（∗8）涉及形式为 K∗（A∧B）的复合信念修订。其思想是，如果要最小程度地改变 K 以包括两个句子 A 和 B，那么可以通过首先相对于 A 修订 K，然后通过 B 扩展 K∗A 来实现这种改变——前提是 B 不与 K∗A 中的信念相矛盾。

条件逻辑与信念修订的逻辑相呼应：（∗1）对应于 RCK，（∗2）对应于 ID，（∗3）对应于 SM，（∗4）的弱化版本（即，如果 A∈K 且 K 一致，则 K⊆K∗A）对应于 CS，（∗6）对应于 LLE，（∗7）对应于 OR，（∗8）对应于 RMon。在建立这个逻辑时，Gärdenfors 使用了以下有效性概念：如果在 BRM M 中不存在一致的 K∈K 使得 ¬A∈K，则句子 A 在 BRM M 中是有效的。句子 A 在每个 BRM 中都是有效的，那么它是有效的。Arló-Costa 和 Levi（1996）将这个概念称为负有效性，并将其与他们认为更可取的正有效性概念进行对比：如果对于每个 K∈K，A∈K，则句子 A 在 BRM M 中是正有效的。

6.2 Gärdenfors 的平凡性定理

Gärdenfors（1986; 1988 sects. 7.4–7.7）很快注意到，将 Ramsey 测试与 AGM 信念修订理论相结合会导致一种平凡化，这在许多方面与 Lewis 的平凡化相似（见第 5.2 节）。

• 平凡性定理（Gärdenfors）： 只有当信念修订模型满足 AGM 公理（∗4）和（∗5）以及 Gärdenfors 的 Ramsey 测试时，它才是平凡的，即不包含与彼此矛盾的三个句子 A、B 和 C 逻辑上相容的任何信念集。

快速而简单的证明如下：假设反证法，我们有一个 BRM M=⟨K,∗⟩，其中 K∈K 是与三个彼此矛盾的句子 A、B 和 C 逻辑上相容的信念集。首先注意到

B∈K+(¬A∧B)=(K+(A∨B))+¬A⊆(K+(A∨B))∗¬A,

通过 (∗4)，同样地 C∈(K+(A∨C))∗¬A。因此根据 GRT，

¬A>B∈K+(A∨B)

和

¬A>C∈K+(A∨C).

由于 A 在逻辑上比 A∨B 和 A∨C 都更强，我们有

K+(A∨B)⊆K+A

和

K+(A∨C)⊆K+A.

但由于 A 与 K 兼容，根据（∗4），K+A⊆K∗A。因此，¬A>B 和 ¬A>C 都在 K∗A 中。再次根据 GRT，这意味着 B 和 C 都在(K∗A)∗¬A 中。由于 B 和 C 彼此不一致，后者的信念集是不一致的，与（∗5）相矛盾。因此，这个假设是不可能的。

Gärdenfors 的平凡性定理被广泛认为是一个意外和有些令人震惊的结果。假设（∗5）几乎不可能是罪魁祸首，因此 Gärdenfors 基本上将平凡性定理解释为（∗4）或保全原则与拉姆齐测试之间的冲突。但对他的结果的反应是不一致的，迄今为止还没有达成共识。

利维采取的第一个立场与那些否认条件句具有真值的人非常一致，即条件句不表达命题，而是表达认知评估，因此不应成为信念和信念集的对象，而只能被接受为句子。这等于拒绝 GRT。

另一组研究人员建议修改或限制拉姆齐测试。这种解决方案在 Rott（1986）、Gärdenfors（1987, 1988）、Levi（1996: 第 2 章）、Lindström 和 Rabinowicz（1998）以及 Nute 和 Cross（2001）等人的讨论中被讨论过。可以说，这些拉姆齐测试的改编都没有保留原始想法的直观吸引力。

其他人认为拉姆齐测试完全没问题。一些作者认为正确的反应是说条件应该不通过 AGM 风格的修订来分析，而是通过 Katsuno 和 Mendelzon（1992）风格的更新来分析。这一派别的成员包括 Ryan 和 Schobbens（1997）、Grahne（1998）以及 Crocco 和 Herzig（2002）。在这个意义上，更新与 Lewis（1976）的想象（见上文 5.3.2 节）密切相关。这些操作违反了 AGM 公设（∗4）和保全原则，但满足以下由 GRT 立即蕴含的单调性条件：

（单调性）如果 K1⊆K2，则 K1∗A⊆K2∗A。

Rott（2011）通过展示 Gärdenfors 的 Ramsey 测试并未对保全原则造成特定问题来进行辩护。它的结果是，事实信念的保全和平坦条件的保全都意味着没有保全深度为 2 的右嵌套条件。如果存在一个迭代信念修订模型（其他条件复合更难理解），GRT 允许右嵌套条件。例如，可以证明，假设存在一个信徒暂停判断的原子 p，条件

(¬A∨p)>((¬A∨¬p)>¬A)

的功能与认知模态“可能 ¬A”完全相同：只有当不相信 A 时，它才被认为是被相信（或接受）。因此，如果我们的语言包括右嵌套条件，就不存在两个信念集 K 和 K'，使得 K 是 K'的严格子集。Rott 认为，将保全从事实语言转移到包含嵌套条件的语言中是一个错误。

从 Gärdenfors 的琐碎定理中产生的情境辩证法的详细分析可以在 Lindström 和 Rabinowicz（1998）、Nute 和 Cross（2001）以及 Arló-Costa（2007）中找到。相关问题的最新讨论是 Boylan＆Schultheis（即将出版）。

7. 相关性和差异制造

自从 MacColl 和 C.I. Lewis 对物质蕴涵的严格限制以来，越来越多的声音认为前提和结论之间的相关连接是条件句意义的一部分。然而，在条件句领域，相关性的概念由不同的传统主张，并且意味着略有不同。[9]

一种传统涉及所谓的相关逻辑学，旨在制定比刘易斯的严格蕴涵更严格的概念（参见 Meyer＆Routley 1973）。相关蕴涵的思想在很大程度上基于这样一个观点，即可接受的条件 A>B 的前提和结论必须在主题上有联系。例如，形式为（p∧¬p）>q 的条件并不一定有效，尽管具有不可能的前提，因为结论与前提没有共同内容。可以对内容共享的观念施加各种限制，从而导致所谓相关蕴涵的各种非经典逻辑学（有关相关逻辑学的概述，请参见 Mares 2020 年的 SEP 条目，以及 Weiss 2019 年关于使用分析蕴涵来处理 Sextus 所谓的第四条件）。

另一种对相关性概念的方法是基于这样一个观点，即条件语句的前提应该对结论的真实性、可断言性或概率产生影响。考虑一个条件语句，如“如果伦敦在英格兰，那么亚里士多德是希腊哲学家”。这个条件语句听起来很奇怪，因为前提的真实性对结论的真实性没有影响。虽然相关逻辑学以主题共享的方式捕捉相关性的概念，但在这里，相关性的概念是通过前提对结论的影响来捕捉的。

影响力本身可以用几种方式来表达。一种方式是由 Douven 提出的，他称之为“证据支持论”（“EST”，Douven [2008, 2016: 108]）。基本上，EST 认为，只要 Pr（C | A）超过足够高的阈值且 Pr（C | A）> Pr（C），就可以相关地断言条件 A> C。 Douven 支持后一条件（这是一个相关性标准）的主要论据是高概率不足以进行断言。他举了以下最小对的例子：

(8)

a.

如果在前 10 次抛掷硬币中至少有 1 次正面朝上，则在前 100,000 次抛掷中至少有 1 次正面朝上。

b.

如果切尔西赢得冠军联赛，那么在前 100,000 次投掷中至少有 1 个正面。

这两个陈述都是这样的，即在给定前提的情况下，结论的概率很高。然而，在（8）-b 中，前提并不增加结论的概率，从这个意义上说，它是无关的，这个条件可以称为“非干扰条件”。Douven（2016）根据 EST 准则将有效性定义为可接受性保持，对于所有阈值 t∈[0.5,1)。所得到的逻辑是弱的，特别是它违反了 Modus Ponens、RW、AND、CMon、Cut、OR 和 Contraposition。Douven 确定了特定原则的有效性和无效性（参见 Douven 2016：定理 5.2.1），但他的逻辑的一个完备的公理化仍然是一个未解决的问题。

最近，Crupi 和 Iacona（即将发表-b）提出了一种替代方法，得到了更强的逻辑。Crupi 和 Iacona 使用 Rips 的确认度量，并将条件 A>C 关联到一个定义为得分的分数。

P(C|A)−P(C)1−P(C)

当 P(C|A)>P(C)时，定义为等于 0；否则等于 0。这产生了一个“不确定性”的修正分数，用于替代亚当斯对 p-有效性定义中的标准不确定性概念。他们所确定的逻辑违反了 RW 和 Cut，但它验证了 AND、CMon、OR、Modus Ponens、亚里士多德和阿贝拉德论文的受限形式（连结逻辑原理），甚至包括对偶。Crupi 和 Iacona（即将出版-a）提出了一个可能世界语义，用于解释似乎是相同逻辑的内容，在这个语义中，对偶起着核心作用。

在最近的研究浪潮之前，Rott（1986）在信念修正框架中开创了另一种相关性度量方法，这种方法被 Spohn（2013）采用，并在各种因果关系解释中独立提出。反对连词充分性（见第 2.2 节），Rott 提出了一个“有差异性”的条件 A>C，只要 C∈K∗A 且 C∉K∗¬A，就被接受。这是 Ramsey 测试的相关化变体，规定只要通过 A 的修正导致相信 C，而通过 ¬A 的修正不导致相信 C，就接受条件。在“有差异性条件”的术语中，Rott（即将出版）称违反 RW 是编码前提与结论积极相关的条件的标志。这产生了一个逻辑，也使 CMon、Cut、Or 和 Contraposition 无效，但验证了 And、亚里士多德的论文、阿贝拉德的受限形式以及诸如

(>1)

如果 A>B∧C，则 A>B 或 A>C。

(>2a)

A>C 当且仅当 (A>A∧C 和 A>A∨C)。

一般来说，具有相关性解读的条件句往往表现出相当不寻常和难以控制的方式。Raidl（2021）开发了一种将更“规范”的假设条件的完备性结果转化为以>定义的相关性表达条件的通用技术。因此，他能够以统一的方式涵盖 Crupi 和 Iacona 的提议以及 Rott 的提议。

Rott 的提议与所谓的“差异度量”或“偶然性分数”有关。

Δ(p)=P(C|A)−P(C|¬A)

在因果心理学中（Shanks 1995; Cheng 1997），特别是（Skovgaard-Olsen et al. 2016）发现，根据这个度量是正数、负数还是零，条件概率的概率可能与条件概率相等，也可能不相等。换句话说，相关性考虑似乎与对条件概率的概率分配相互作用，主要发现是当 Δ(p)为正数时，亚当斯论点似乎只有在这种情况下才成立。然而，当 Δ(p)为零时，即在非干扰条件下，方程则失效。此外，Rooij 和 Schulz（2019）认为，条件句可接受性的更好预测因素是一个归一化的相关性度量，即通过以下度量得出：

Δ∗(p)=P(C|A)−P(C|¬A)1−P(C|¬A)。

无论是在逻辑学还是在推理心理学中，对相关性度量和由此产生的推理的研究，目前是条件研究领域中非常活跃的领域。

8. 情态动词和言语行为

前面的章节已经讨论了条件逻辑，它将布尔逻辑与一个特殊的条件运算符扩展。为了总结，我们简要地看一下一些更丰富的语言，特别是条件与情态动词的相互作用，以及条件与除了断言之外的其他言语行为的相互作用。

8.1 模态性

对条件的可能世界分析使得可以从条件中定义模态性，如下所示（Stalnaker 1968; Nute 1980）：

◊A≡¬(A>¬A)□A≡(¬A>A)

相反地，我们看到严格的条件分析将条件视为可以从模态定义的。这些事实似乎表明模态和条件是可以相互定义的。然而，它们之间的相互作用实际上更加复杂。

关于条件的语言事实表明，在广泛的语言范围内，模态运算符与条件前提是可交换的。

(9)

如果 A，则必然 C≡ 必然如果 A，则 C。

(10)

如果 A，则可能 C≡ 可能如果 A，则 C。

这些事实在很大程度上激发了 Kratzer 对条件句的解释，将其视为模态运算符的限制器（Kratzer（2012 年），受到 D. Lewis 1975 年的启发）。正如 Kratzer（1991 年，第 468-469 页）所说，“如果从句和 must 这样的运算符之间存在非常密切的关系”，更具体地说，“对于每个世界，如果从句的功能是限制从该世界可访问的世界集合”。

Kratzer 通过将模态语义相对化为两个前提集合（所谓的模态基础，即说话者所知道或相信的“硬”事实，以及排序来源，即可修订的“软”事实）来阐述条件句的限制器观点。考虑一个模型 ⟨W,Γ,Δ⟩，其中 Γ 是排序来源的前提函数，Δ 是模态基础的前提函数。让我们假设极限假设，并让 maxΓ(w)(F)是在命题 F 中满足 Γ(w)中一组命题的最大世界集合。Kratzer 对 □ 的语义是：

(克拉策尔的必然性)

M,w,Γ,Δ⊩□C 当且仅当 maxΓ(w)(⋂Δ(w))⊆|C|M,w,Γ,Δ

条件句 "如果 A 则 C" 可以被视为二元模态 □(A,C)，具有以下真值条件，其中 (Δ+A)(w) 等于 Δ(w)∪{|A|M,w,Γ,Δ}:

(受限必须) M,w,Γ,Δ⊩□(A,C) 当且仅当 M,w,Γ,(Δ+A)⊩□C

对于裸条件句，Kratzer 假设前提也限制了一个隐含的情态。这个特定的假设是一个有争议的来源。几位作者指出，虽然 if 从句可能限制运算符，但情态运算符和条件运算符也可以有独立的贡献（von Fintel 1994; M. Kaufmann & S. Kaufmann 2015）。

一个重要问题是当语言中同时逻辑地表示了情态和条件运算符时，情态和条件的相互作用是否可以解释。我们强调两个最近的解释。两者都受到 Yalcin（2007）对情态运算符作为表达设备的概念的启发，以及 Veltman（1996）和 Gillies（2004）对涉及认知情态的话语更新信息状态的强调。

Ciardelli（即将发表）为具有模态运算符和条件运算符的语言陈述了真值条件。他根据两个参数定义了句子的语义值，即状态参数 s（世界集合）和态度参数 a。在 Ciardelli 的方法中，if 子句限制了状态 s，就像 Kratzer 的方法一样，但模态基本上作用于态度参数 a，该参数可以表达各种模态力量（普遍的、存在的或概率的）。该框架使他能够推导出等价性的事实（9）和（10），如下所示：

A>□C≡□(A>C)A>◊C≡◊(A>C)

形式为 A>B 的裸条件与条件 A>□B 等价，但仅在具有普遍力量的默认态度下成立。Ciardelli（即将发表）还推导出条件 A>C 与可能条件 A>◊¬C（即“如果-可能矛盾”，以下简称 IMC）的不相容性。同样的不相容性是 Santorio（即将发表）所谓的条件逻辑路径语义学的核心。Santorio 揭示了这一原则与条件逻辑的另外两个原则（即 CEM 和二重性原则，其中 A>◊C≡¬(A>¬C)）之间的矛盾（D. Lewis 1973 支持，但 Stalnaker 1968 反对）。他的语义学验证了 IMC 并保留了 CEM，但放弃了二重性。Santorio 的语义学还有一些进一步的预测，特别是 OI 变得有效，以及 IE 的受限版本。与 Ciardelli 一样，Santorio 不必将裸条件视为隐含的模态化，并且像 Ciardelli 一样，他可以推导出关于模态性质的交换事实。

除了这些提议之外，Omori（2019）还关注逻辑学框架中否定、情态和条件语句的相互作用。Omori 使用 Odintsov 和 Wansing（2010）的四值模态逻辑框架，展示了可以从条件语句的外部否定中推导出不同强度的 A>B 的条件否定（基于 Égré＆Politzer 2013 中的区分），特别是 A>◊¬B 而不是 A>¬B。他为所得到的条件逻辑提供了完备且合理的公理化。早期的连通系统是 Olkhovikov（2002）的 LImp 逻辑，它有效地将 Cooper 的条件语句与确定真值的三值必然性运算符（将 1 映射为 1，将 ½ 和 0 映射为 0）结合起来。

8.2 超越断言

条件语句不仅出现在陈述句中，还出现在疑问句和命令句中，例如：

(11)

如果约翰来访，玛丽也会来访吗？

(12)

如果约翰来访，请确保带上奶酪！

命令和疑问的语义超出了本条目的范围。然而，我们提到这样的结构，因为它们也可以被视为支持 Kratzer 的限制性分析。特别是，S. Kaufmann 和 Schwager（2011）将命令视为涉及隐含的情态运算符，它可以具有义务或意愿的含义，但基本上像“必须”一样起作用。在问题的情况下，Isaacs 和 Rawlins（2008）将问题视为前缀为隐含言语行为运算符，该运算符带有由 if 子句限制的模态域。在相关的方式中，Ciardelli，Groenendijk 和 Roelofsen（2018）指出，问题的语义可以通过相对于信息状态的解决条件来指定。同样，条件问题可以被视为适当地将信息状态限制为前提世界，以便相对于那些世界解决问题（参见 Ciardelli，即将出版）。对于形式为?M 的极性问题（“玛丽会来访吗？”），信息状态 s 将解决它，如果 s 支持 M 或 s 支持 ¬M。在条件性极性问题的情况下，Ciardelli，Groenendijk 和 Roelofsen（2018）的语义学预测，如果状态 s 支持 J>M 或 s 支持 J>¬M，则状态 s 将解决形式为 J>?M 的问题。

进一步探讨了疑问句的语义与条件句的结构之间的联系。特别是 Starr（2014b）认为所有条件句都具有主题-评论结构，允许将前提视为隐含的问题本身。最后，还应该提到条件短语与言语行为的相互作用的更多方面，包括所谓的饼干条件句（“如果你想要一些饼干，橱柜里有一些”，Austin 1956，Lycan 2001），以及让步条件句（“即使 A，也 B”句子，参见 Lycan 2001，Guerzoni 和 Lim 2007）。对于这两种条件句，允许的推理与常规条件句中的推理有显著差异（特别是两者都蕴含了结论的真实性）。这证明了条件逻辑中的多样性也取决于 if 从句出现的用途和语言环境的多样性。

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Other Internet Resources

• Arlo-Costa, Horacio, “The Logic of Conditionals”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/sum2021/entries/logic-conditionals/. [This was the previous entry on this topic in the Stanford Encyclopedia of Philosophy — see the version history.]

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Acknowledgments

We dedicate our work to the memory of Horacio Arló-Costa. We are grateful to Vincenzo Crupi, Hitoshi Omori, and Paolo Santorio for helpful comments, and to participants of the Dagstuhl Seminar 19032 “Conditional Logics and Conditional Reasoning: New Joint Perspectives” held in Dagstuhl in 2019 for helpful discussions. Thanks to grants ANR-19-CE28-0004-01 (Probasem) and ANR-17-EURE-0017 (FrontCog) for support.

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