斯科伦悖论 Skolem’s (Timothy Bays)

首次发表于 2009 年 1 月 12 日；实质性修订于 2014 年 11 月 11 日。

斯科伦悖论涉及经典逻辑中两个定理之间的表面冲突。勒文海姆-斯科伦定理说，如果一个一阶理论有无穷模型，那么它有模型的域只能是可数的。康托尔定理说，有些集合是不可数的。当我们注意到康托尔集合论的基本原理——即用来证明康托尔关于不可数集存在的定理的原理——本身可以被表述为一组一阶句子时，斯科伦悖论就出现了。那么，用来证明不可数集存在的原理怎么能被一个只能是可数的模型满足呢？一个可数的模型怎么能满足那个说有不可数个数学对象的一阶句子——例如，不可数个实数？

对这个悖论的哲学讨论主要集中在三个主要问题上。首先，有一个纯粹的数学问题：为什么斯科伦悖论没有在集合论中引入明显的矛盾？其次，有一个历史问题。斯科伦本人对为什么斯科伦悖论不构成一个直接的数学矛盾给出了一个相当好的解释；那么，为什么斯科伦和他的同时代人继续认为这个悖论在哲学上如此令人困扰呢？最后，有一个纯粹的哲学问题：斯科伦悖论对我们对集合论的理解和/或集合论语言的语义有什么启示（如果有的话）？

1. 背景

要理解斯科伦悖论，我们需要首先回顾一下古典逻辑中的两个定理。[1] 第一个定理来自 19 世纪末。1873 年，Georg Cantor 提出了一种衡量集合对象大小（或基数）的新技术。Cantor 的想法是，如果两个集合的成员可以一一对应，那么它们应该具有相同的基数。例如，集合{1, 2, … , 26}可以通过自然映射与集合{A, B, … , Z}一一对应，其中 1 对应 A，2 对应 B，3 对应 C，依此类推；同样，自然数集合可以通过映射 x 2x 与偶数集合一一对应。

当康托将基数的概念应用于无限集合时，他最初得出了一个令人惊讶的结论，即存在不同种类的无穷。有相对较小的无限集合，如偶数集、整数集或有理数集。这些集合都可以与自然数进行一一对应；它们被称为可数无穷。相反，还有更“大”的无限集合，如实数集、复数集或自然数的所有子集。这些集合太大了，无法与自然数进行一一对应；它们被称为不可数无穷。康托的定理就是声称存在不可数无穷集合，这些集合可以说是太大而无法计数。[2]

我们的第二个定理来自 20 世纪初。1915 年，勒奥波德·勒文海姆证明了如果一个一阶句子有一个模型，那么它有一个域是可数的模型。1922 年，斯科伦推广了这个结果到整个句子集。他证明了如果一个可数的一阶句子集有一个无限模型，那么它有一个域只是可数的模型。这个结果通常被称为勒文海姆-斯科伦定理。在继续之前，有必要提到这个定理的三个稍微更精细的版本。[4]

令 T 为一个可数的一阶句子集合，A 为一个无限集合。向上的 Löwenheim-Skolem 定理表明，如果 T 有任何无限模型，那么 T 有一个与 A 大小相同的模型（实际上，我们可以假设这个第二个模型的域就是 A）[5]。向下的 Löwenheim-Skolem 定理表明，如果 N 是一个基数为 κ 的（无限）模型，λ 是一个小于 κ 的无限基数，那么 N 有一个基数为 λ 的子模型，该子模型与 N 本身满足完全相同的句子[6]。最后，传递子模型定理通过说如果我们的初始 N 恰好是所谓的集合论语言的传递模型，那么由向下定理生成的子模型也可以选择为传递的[7]。

现在回到 Löwenheim-Skolem 定理的原始版本，即任何具有无限模型的理论也具有一个可数无限模型。当我们注意到集合论的标准公理本身可以被表述为（可数）一阶句子的集合时，斯科伦悖论就出现了。因此，如果这些公理有一个模型，那么 Löwenheim-Skolem 定理确保它们有一个具有可数域的模型[8]。但这似乎相当令人困惑。一个只有可数个元素的模型如何满足证明康托尔存在无可数集的公理？一个可数模型如何满足“说”存在无可数多个事物的一阶句子？

这些问题可以通过考虑一个具体案例来更加具体化。设 T 是集合论的一个标准的一阶公理化。（为方便起见，本条目将重点讨论 T 为 ZFC 的情况，但任何标准的集合论公理化都同样适用。）在假设 T 有一个模型的前提下，Löwenheim-Skolem 定理确保它有一个可数模型。将这个模型称为 M。现在，由于 T ⊢ ∃x “x 是不可数的”，必然存在 M 中的某个 mˆ 使得 M ⊨ “mˆ 是不可数的”。但是，由于 M 本身只是可数的，只有可数多个 m ∈ M 使得 M ⊨ m ∈ mˆ。因此，表面上看，我们似乎有一个明显的矛盾：从一个角度来看，mˆ 看起来是不可数的，而从另一个角度来看，mˆ 显然是可数的。

这样，我们就得到了斯科伦悖论的一个相当简单的表述。在转向讨论这个悖论的解决方案之前，或许有必要谈一下动机的问题。从某种角度来看，一个特定的模型无法准确地捕捉到它所模拟的现实的每一个特征并不令人特别惊讶。例如，一个物理理论的数学模型可能只包含实数和实数集，即使该理论本身涉及亚原子粒子和时空区域。同样，一个桌面模型的太阳系在某些方面可能是正确的，而在其他方面可能是错误的。例如，它可能在相对大小上是正确的，但在绝对大小（甚至比例大小）上是错误的；或者它可能在行星绕太阳运动这一事实上是正确的，但在这种运动的机制上是错误的（例如，行星实际上并不是绕太阳运动，因为有人转动了一个曲柄！）。鉴于这一切，我们甚至可能不清楚为什么我们应该期望一阶集合论模型能够准确地捕捉到可数集和不可数集之间的区别。因此，我们甚至可能不清楚为什么我们应该认为斯科伦悖论在第一次看起来就是悖论。

虽然我们稍后会更详细地讨论这种问题（尤其是第 2.1 节和第 3.1 节），但在这里适当地进行一些初步的说明。首先，重要的是要注意，有一些集合论概念在一阶模型中确实能够准确地捕捉到。正如我们将在第 3.1 节中看到的那样，一阶模型能够很好地捕捉有限基数的概念，例如“x 是空的”，“x 有两个成员”，“x 有十七个成员”等等。如果我们允许自己使用无限多个公式，那么我们也可以捕捉到更一般的概念“x 是无限的”。最后，如果我们确定了成员关系的理解方式，即如果我们将注意力限制在使用实际成员关系来解释符号“∈”的模型上，那么我们也可以捕捉到一般的概念“x 是有限的”。

鉴于这一切，斯科伦悖论表明，在可数集和不可数集之间的界线是我们的模型理论在某种程度上失去了捕捉基数概念的能力的第一个地方。这个事实有助于解释为什么即使在我们吸收了倒数第二段中介绍的关于模型和模型理论的一般观点之后，斯科伦悖论仍然可能看起来是悖论的。简而言之：正是我们能够捕捉到许多基数概念，这些基数概念位于可数/不可数区别之下，才使得我们突然无法捕捉到可数/不可数区别本身，从而一开始就显得令人惊讶。

其次，斯科伦悖论并不依赖于我们所使用的集合论特定的公理化。任何集合论的一阶公理化都可以应用洛文海姆-斯科伦定理，因此每个这样的公理化都受到斯科伦悖论的影响。这意味着，特别是我们不能通过简单地选择一个新的集合论公理化（或者在我们已经使用的公理化中添加一些新的公理）来解决这个悖论。斯科伦悖论之所以在这种方式上是一阶背景下的内在特征——即它是关于集合论一阶公理化的一个无法逃避的事实——这是斯科伦悖论一开始可能看起来如此令人困惑的另一个原因。

因此，这给我们提供了对斯科伦悖论的初步阐述。在下一节中，我们将解释为什么这个简单版本的悖论并不构成一个真正的矛盾，并且我们将看一下几个更精细的悖论表述。在第 3 节中，我们转向历史和哲学问题。第 3.1 节探讨了斯科伦对他自己悖论的理解。第 3.2-3.4 节探讨了一些最近的尝试，试图证明，尽管这个悖论并不构成一个真正的数学矛盾，但它仍然告诉我们一些关于我们对集合论本质的哲学重要性的东西。

2. 数学问题

在 Jean van Heijenoort 对 Thoralf Skolem 首次提出斯科伦悖论的 1922 年论文的引言中，他写道这个悖论“并不是一个反论的悖论...它是形式系统的一个新颖且意外的特征。”[12] 这个评论反映了数学界对斯科伦悖论的普遍共识。无论这个悖论被认为引发了哪些哲学问题，它对数学来说并不构成问题。

要理解为什么这个悖论对数学来说并不构成问题，我们需要提出两个问题。在上面给出的悖论的简单表述中，我们注意到存在一个特定的 mˆ ∈ M，使得 M ⊨ “mˆ 是不可数的”。当然，从字面上来说，这并不完全正确。我们在这里真正的意思是，在形式集合论语言中存在一个相当复杂的公式，数学家有时候方便地用英文表达“x 是不可数的”来缩写这个公式，并且 M 在 mˆ 处满足这个特定的公式。为了方便起见，让我们用“Ω(x)”来表示相关的公式。然后，我们可以通过说 M ⊨ Ω[mˆ]来重新表述上面提到的事实。[13] 那么我们的两个问题是：

为什么用“x 是不可数的”来缩写 Ω(x)是如此自然？为什么，特别地，任何人会认为 M ⊨ Ω[mˆ]意味着 mˆ 是不可数的？
为什么事实 M ⊨ Ω[mˆ]并不真正意味着 mˆ 是不可数的？

实际上，这些问题中的第一个问题是在问斯科伦悖论是否只是我们缩写的产物，如果斯科伦悖论更加仔细和明晰地表述，这个产物将会消失。假设它不会消失，第二个问题要求对悖论如何真正被解决进行更详细的解释。

2.1 悖论的出现

有两种方法来回答第一个问题。一方面，我们可以从公式 Ω(x)开始，并给这个公式一个我们可以称之为“普通英语”的解释。这个解释让“∈”指的是真实的集合论成员关系，让“∀”和“∃”范围覆盖整个（真实的）集合论宇宙，并以通常的方式解释“=”和命题连接词。[14]那么对于任何集合 m，只有当 m 是不可数的时候，Ω(m)才会为真。[15]这表明，在至少一种解释下，Ω(x)确实从外延的角度捕捉到了普通数学中不可数的概念。因此，至少有一种解释下，Ω(mˆ)确实表达了 mˆ 是不可数的。

另一方面，我们可以从普通的英语句子“x 是不可数的”开始，而不是从公式 Ω(x)开始。如果被问及这个句子的意思，一个集合论者会说一些关于 x 和自然数之间没有双射的事情[16]。如果被问及“是一个双射”的短语，她会继续谈论满足某些良好性质的有序对的集合，如果被问及“有序对”这个术语，她会说一些关于如何将有序对与特定集合进行标识的方法。如果她将这个过程进行到足够远的地方，并且通过使用 ¬ 和 ∃y 这样的符号作为“不”和“存在一个集合 y 使得”的缩写来节省一些时间，那么她最终将得到一个详细的“x 是不可数的”的解释，这个解释看起来就像公式 Ω(x)。也就是说，如果我们仅仅比较她对“x 是不可数的”的解释的语法与 Ω(x)的语法，我们将发现这两个表达式包含完全相同的符号，而且顺序也完全相同[17]。因此，我们再次发现，Ω(x)和“x 是不可数的”之间存在着一个真实的，尽管有些肤浅的相似性，即使我们停止将“x 是不可数的”作为 Ω(x)的简单缩写使用，这种相似性仍然存在，这也解释了为什么即使斯科伦悖论的一个明确表述版本可能仍然看起来有些令人困惑。

因此，这些是关于 Ω(x)和“x 是不可数的”之间关系的两种思考方式。它们共同解释了为什么数学家使用“x 是不可数的”作为 Ω(x)的缩写是如此自然，以及为什么有人可能倾向于认为 M ⊨ Ω[mˆ]这个事实应该意味着 mˆ 是不可数的。它们也让我们回到了我们的第二个问题：为什么 M ⊨ Ω[mˆ]这个事实并不真正意味着 mˆ 是不可数的。

2.2 一个通用解决方案

要回答这个第二个问题，有必要先比较 Ω(x)的普通英语解释——即三段前介绍的那个解释，确实蕴含了 x 是不可数的——和由 M 和 ⊨ 给出的 Ω(x)的模型论解释。显然，这后者的模型论解释对于理解 M ⊨ Ω[mˆ]成立的事实最为相关。此外，只有当这个模型论解释与普通英语解释——因此，派生地与普通英语表达“x 是不可数”的解释——非常密切相关时，我们才有真正的理由相信 M ⊨ Ω[mˆ]成立应该蕴含 mˆ 是不可数的事实。

幸运的是，即使对模型论解释进行粗略描述，也足以表明不存在这样的“密切联系”。模型论解释是通过让“∈”的意义由 M 的解释函数确定，让 Ω(x)中的量词在 M 的定义域上变动，让“=”和命题连接词的意义由一阶满足性定义中的递归子句确定而得到的。这个描述突出了模型论解释和普通英语解释之间的两个直接差异。

首先，模型论解释将“∈”理解为 M 的解释函数所涵盖的 M 上的任何二元关系；相反，Ω(x)的普通英语解释将“∈”理解为真实的集合论成员关系。但没有理由认为这两种理解是一致的。我们可以找到这样的情况，即使 m1 和 m2 都不是集合（事实上，就模型论而言，m1 和 m2 都可以是猫、兔子、刺猬等等），仍然有 M ⊨ m1 ∈ m2。此外，即使 M 中的所有元素都是集合，也不能保证模型论对“∈”的理解与普通英语理解一致。我们可以找到这样的情况，m1 和 m2 是真正的集合，但 M ⊨ m1 ∈ m2，尽管 m1 实际上不是 m2 的成员；同样，我们可以找到这样的情况，M ⊨ m1 ∉ m2，尽管 m1 实际上是 m2 的成员（而且 m1 和 m2 都是真正的集合）。

其次，模型论解释理解“∃x”和“∀x”仅在 M 的域范围内，而普通的英语解释理解这些量词在整个集合论宇宙中范围。显然，这两种理解是相当不同的。此外，这些差异与斯科伦悖论涉及的集合类型密切相关。例如，假设 M ⊨ “mˆ 是实数集”。那么一个简单的基数论证表明，存在 2ℵ0 个实数不属于 M 的域（因此，特别是不属于{m | M ⊨ m ∈ mˆ }）。因此，真正的不可数集 ℜ 和仅仅可数集{m | M ⊨ m ∈ mˆ }之间存在实质性的差异，即实数集和 M 仅仅认为是实数集的东西之间的差异。在 Ω(x)的模型论解释中，量词仅在后者较小的集合范围内变动，而在普通的英语解释中，它们在整个较大的集合范围内变动。同样，假设 M ⊨ “m 是无限的”。然后我们可以证明，存在恰好 2ℵ0 个双射 f : ω → {m′ ∈ M | M ⊨ m′ ∈ m }。然而，其中至多可数多个双射属于 M 的域。因此，在 Ω(x)的模型论解释下，只有可数多个双射被 ∃x 和 ∀x“看到”，而在普通的英语解释下，所有 2ℵ0 个双射都被“看到”。

综合起来，这些结果表明斯科伦悖论可能只是在 Ω(x)的两种不同解释之间进行了一个秘密的滑动。给定一个可数的 ZFC 模型，Ω(x)的模型论解释使我们能够找到一个属于 M 的元素 mˆ，使得 M ⊨ Ω[mˆ]。但只有普通英语解释才能为我们提供任何真正的理由认为 Ω(mˆ)意味着 mˆ 是不可数的。此外，正如我们刚刚看到的，模型论解释和普通英语解释之间有足够的差异，使我们对两者之间的轻松滑动持怀疑态度（即使我们不知道这种滑动最终会导致我们陷入斯科伦悖论）。特别是，我们应该抵制任何试图直接从 M ⊨ Ω[mˆ]这个事实推断 mˆ 是不可数的主张。

实际上，这种分析将斯科伦悖论视为一个明显的意义模糊的情况。在 Ω(mˆ)的一个解释下，这个公式确实意味着 mˆ 是一个不可数集合；在另一个完全不同的解释下，确保 M ⊨ Ω[mˆ]；斯科伦悖论依赖于混淆这两种解释。原则上，我们对于发现这种混淆导致我们误入歧途不应该感到更惊讶，就像我们发现我们的直接存款没有埋在当地的河岸一样。实际上，模型论的情况可能比银行业务的情况更糟糕：你可能会幸运地在挖河岸时发现埋藏的财宝，但是一个直接的定理是，如果 M 是可数的，那么{m | M ⊨ m ∈ mˆ }也是可数的。

这样，我们就得到了斯科伦悖论的一个相当简单的解决方案。这个解决方案解释了为什么大多数数学家并不认为这个悖论很令人困扰，而且在哲学文献中也是一个相当流行的解决方案。例如，斯科伦自己在 1922 年提出的解决方案基本上就是这个解决方案（斯科伦 1922 年），而这个解决方案的变体也出现在对这个悖论的最近讨论中（Resnik 1966; Myhill 1967; Hart 1970; McIntosh 1979; Benacerraf 1985; Shapiro 1991; Giaquinto 2002）。它还出现在一些最近的入门教材中（Shoenfield 1967; Kleene 1967; Fraenkel et al. 1984; Ebbinghaus et al. 1994; van Dalen 1997）。

2.3 可传递子模型

在转向讨论斯科伦悖论的一些更纯粹的哲学问题之前，有几点关于悖论的数学问题需要说明。首先，为了更好地了解模型论解释和普通英语解释之间 Ω(x)的差异如何导致斯科伦悖论，值得通过一个稍微精细一些的悖论版本来追踪这些差异。我们说一个集合 X 是可传递的，如果 X 的每个成员都是一个集合，并且 X 的每个成员的成员也是 X 的成员（即，y ∈ x ∈ X ⇒ y ∈ X）。我们说集合论语言的一个模型是可传递的，如果模型的域是一个可传递集合，并且模型的“成员关系”就是实际的成员关系限制在模型的域上（即，对于任意的 m1，m2 ∈ M，m1 ∈ m2 ⇔ M ⊨ m1 ∈ m2）。然后，正如第 1 节中所指出的，可传递子模型定理说，如果我们从任何可传递的 ZFC 模型开始，那么我们可以找到一个可传递的模型，其域是可数的（实际上，我们可以假设这个可数模型是我们开始的模型的子模型）。

假设 M 是 ZFC 的可数传递模型。这对上一节中对斯科伦悖论的分析产生了两个影响。首先，它确保了模型论和普通英语对 Ω(x)中“∈”的解释是一致的：对于 m1，m2 ∈ M，当且仅当 m1 真的是 m2 的成员时，M ⊨ m1 ∈ m2。因此，在这种情况下，斯科伦悖论的解释必须涉及量词的解释。其次，M 是传递的事实确保了 M 不仅仅具有成员关系。特别地，如果 f 和 m 属于 M 的域，那么当且仅当 f 真的是自然数和 m 之间的双射时，M ⊨ “f : ω → m 是一个双射”。

综上所述，这些事实帮助我们分离出斯科伦悖论的传递子模型版本中真正发生的事情。再次考虑我们一直称为 Ω(x)的公式。这个公式的形式为：

Ω(x) ≡ ¬∃f “f : ω → x 是一个双射”

在其普通的英文解释下，这个公式表明集合论宇宙不包含任何自然数和 x 之间的双射。特别地，Ω(mˆ)表明自然数和 mˆ 之间不存在双射。相比之下，Ω(mˆ)的模型论解释——与 M ⊨ Ω[mˆ]相关的解释——仅表示 M 的域不包含任何自然数和 mˆ 之间的双射。[23]显然，这两种解释有可能产生分歧。

在斯科伦悖论的情况下，它们实际上是不一致的。由于 M 是可数的，集合 mˆ = {m | M ⊨ m ∈ mˆ }也必须是可数的。因此，确实存在一个双射（事实上，有 2ℵ0 个双射），f : ω → mˆ。在 Ω(mˆ)的普通英文解释中，量词“看到”这些双射，因此 Ω(mˆ)为假。斯科伦悖论表明 M 本身不包含任何这样的双射。因此，Ω(mˆ)的模型论解释中的量词不会看到 ω 和 mˆ 之间的任何双射，因此 Ω(mˆ)为真。在这种情况下，模型论解释和普通英文解释中 Ω(x)处理量词的方式的差异为斯科伦悖论中发生的事情提供了一个完全自然的解释。

这个悖论的传递子模型版本在文献中被广泛讨论（McIntosh 1979; Benacerraf 1985; Wright 1985; Tennant and McCarty 1987）。事实上，一些作者提出传递性可能是表述这个悖论的哲学上重要版本所必需的（Benacerraf 1985; Wright 1985）。请参阅 Tennant and McCarty 1987 以了解对后一种观点的一些反对意见。

2.4 ZFC，幂集和实数

第 2.2 节至 2.3 节的分析以一般性的术语解释了可数模型如何在特定元素上满足 Ω(x)这样的公式。但它可能仍然留下一个明显的问题未解答：一个可数的 ZFC 模型如何满足这样的公式？假设任意模型可以以一种奇特的方式解释 Ω(x)这样的公式，那么一个模型如何同时满足集合论公理并保持这种奇特的解释呢？M 满足 ZFC 难道不应该确保 M 也正确理解可数和不可数等基本集合论概念吗？

对于这些问题的简短回答是：可数模型“误解”集合论公理的程度与它们误解 Ω(x)这个公式的程度一样严重。暂时假设 M 是传递的，并考虑幂集公理：[24]

∀ x ∃ y ∀ z [z ⊆ x ↔ z ∈ y ]

在其普通英文解释中，这个公理表示每个集合都有一个幂集——一个包含了与我们开始的集合的所有子集的集合。[25] 然而，在模型论解释中，这个公理表示的是一种更弱的情况。对于任意的 X ∈ M，这个公理确保我们可以找到一个 Y ∈ M，它恰好包含了那些也属于 M 的 X 的子集（即，Y = { Z | Z ⊆ X ∧ Z ∈ M }）。但是，如果 X 是无限的，那么大多数 X 的子集都不会存在于 M 的域中（因为，毕竟，X 有 2ℵ0 个子集，而 M 的域只是可数的）。因此，由幂集公理的模型论解释生成的 Y 将比 X 的真正幂集要小得多（Fraenkel 等，1984 年；Tennant 和 McCarty，1987 年；Shapiro，1991 年；Hallett，1994 年；Giaquinto，2002 年；Bays，2007a 年）。

在这种情况下，模型论和普通英文解释对幂集公理中初始的 ∀z 量词处理方式的差异——特别是关于哪些 X 的子集被这个量词“看到”的差异——解释了为什么一个可数模型可以满足一个“应该”生成一个不可数集合的公理。这种现象是相当普遍的。在 Resnik 1966 年的文章中，Michael Resnik 通过实数的情况追踪了这种现象。与之前一样，假设 M 是 ZFC 的一个可数传递模型。[26] 那么将会有一个特定的 R ∈ M，使得在一些缩写的情况下，

M ⊨ “R 是实数集。”

Resnik 指出，尽管 M 满足这个公式，但 R 并不真正包含所有的实数——它只包含那些恰好存在于 M 的域中的实数。[27]因此，仅仅因为 R 是可数的，并没有以任何有趣的方式产生一个悖论的情况，即所有实数的集合也是可数的。

综上所述，这些例子突显了一个关键事实：解释了可数模型如何满足像 Ω(mˆ )这样的句子的“误解”实际上是相当系统的。它们还解释了这些模型如何满足像“R 是实数集”或“Y 是 ω 的幂集”这样的句子；它们甚至解释了这些模型如何满足集合论公理（例如，幂集公理）。当足够多的这些误解被放在一起时，它们共同解释了一个可数模型如何既满足集合论公理，同时又保持我们在 2.2-2.3 节中讨论的 Ω(x)的奇特解释。因此，尽管 Löwenheim-Skolem 定理可能仍然是一个有趣的技术事实——用 van Heijenoort 的话来说，“形式系统的一个新颖而意外的特征”——斯科伦悖论本身不再显得非常悖论。

2.5 四个最终要点

我们在斯科伦悖论的数学方面的讨论中，以四个最终要点作为结束。首先，2.3-2.4 的讨论集中在斯科伦悖论的传递子模型情况上。这种情况相对容易分析，并且在文献中得到了广泛讨论。但是它也可能有些误导性。2.3-2.4 的大部分分析都基于传递模型在集合论宇宙（成员关系、双射、实数等）方面的“正确性”。最重要的是，如果 M 是传递的且 m ∈ M，则 m = {m′ ∈ M | M ⊨ m′ ∈ m }。

然而，如果 M 不是传递的，那么几乎所有这些都会崩溃。Bays 认为，斯科伦悖论的某些版本仅仅取决于某些非传递模型对 Ω(x)中的成员关系的特定实例的解释方式（Bays 2007a，第 4-5 节）。类似的观点也适用于我们在第 2.4 节中对幂集和实数的讨论。例如，我们可以找到一个包含整个实数集作为成员的可数 ZFC 模型，但该模型之所以保持可数，仅仅是因为 ℜ ≠ {m | M ⊨ m ∈ ℜ}（Benacerraf 1985；Bays 2007a，第 1 节）。简而言之，尽管在我们转向非传递模型时，2.2 节中给出的斯科伦悖论的一般解释（即简单地注意到模型论和普通英语对 Ω(x)的解释之间存在一些差异，然后将斯科伦悖论归结为这两种解释之间的某种含糊）仍然成立，但 2.3-2.4 的更详细分析都会崩溃。因此，在一般的非传递情况下，第 2.2 节的分析可能是我们在解释斯科伦悖论方面所能做的最好的（这并不意味着我们不能在任何特定的非传递模型的背景下给出更详细的解释）。

这将引出第二个观点。斯科伦悖论在很大程度上取决于我们使用的集合论的一阶公理化。更确切地说，它取决于我们使用的一阶模型论来解释这个公理化。1930 年，策梅洛证明了二阶 ZFC 的（二阶）模型可以正确计算基数和幂集。[28]特别地，如果 M 是二阶 ZFC 的模型，如果 mˆ ∈ M，那么 M ⊨ “mˆ 是不可数的”当且仅当{m | M ⊨ m ∈ mˆ}真的是不可数的。因此，斯科伦悖论在二阶背景下不会出现（策梅洛 1930 年；夏皮罗 1991 年）。

这第二个观点表明，如果我们的逻辑足够强大，斯科伦悖论就会消失。第三个观点表明，削弱我们的逻辑会产生类似的效果。在 Tennant 和 McCarty 1987 年的论文中，Tennant 和 McCarty 展示了构造主义集合论中的 Löwenheim-Skolem 定理的标准证明失败，并且他们认为该定理本身可能在构造主义上是无效的。[29]这意味着没有办法从构造主义数学的框架内产生斯科伦悖论。因此，对于构造主义者来说，以及那些愿意接受集合论的二阶公理化的人来说，斯科伦悖论根本不存在。

这两个观点共同突显了斯科伦悖论与经典一阶逻辑的核心地位。从数学角度来看，这并不令人意外。林德斯特罗姆已经证明了洛文海姆-斯科伦定理在表征一阶逻辑本身方面起着关键作用（Lindström 1966; Lindström 1969; Ebbinghaus 2007）。鉴于此，与这些定理最密切相关的谜题与一阶情境的特殊性息息相关也就不足为奇了。尽管如我们所见，这个悖论并不构成一个直接的数学矛盾，但它确实帮助我们理解经典一阶逻辑的本质和局限性。

这将引导我们到一个最终的观点。上述讨论解释了为什么那些愿意对集合论语言采取天真实在的态度的人——例如，那些对“Ω(x)的普通英语解释”这样的表达毫不犹豫的人——对斯科伦悖论保持无忧无虑。重要的是强调，这种分析也解释了为什么斯科伦悖论不会在各种形式的公理化集合论中引入矛盾，即使这些公理化本身是以形式主义或模型论的方式理解的。例如，从证明论的角度来看，未相对化的量化和已明确相对化到我们语言中的某个公式的量化之间存在差异（其中这个公式从直觉角度来看用于“挑选出”可数模型的域）。因此，没有先验的理由认为一个带有未相对化量词的句子会与该句子的完全相对化对应句发生冲突。[30] 同样，从模型论的角度来看，量词在整个模型的域上范围和量词仅在模型的某个特定成员的“元素”上范围之间存在差异（其中，再次强调，这个成员是较大模型“认为”是 ZFC 模型）。因此，尽管第 2.1-2.4 节的天真实在对于说明目的是有用的，但对斯科伦悖论的基本分析并非必要。

3. 哲学问题

最后一节解释了为什么斯科伦悖论对数学并不构成问题。当然，这并没有阻止哲学家们争论这个悖论对哲学构成问题。在本节中，我们探讨了几种试图从斯科伦悖论所涉及的数学中得出哲学结论的尝试。然而，在此之前，有两点需要注意。首先，关于斯科伦悖论的许多更具挑衅性的讨论都非常简短，仅仅是一些暗示性的评论。因此，对这些评论的讨论大部分将是一些推测性的内容。其次，对斯科伦悖论的许多批评性讨论仅仅集中在仔细研究悖论的数学，并解释为什么这个悖论并不构成真正的数学矛盾。由于这些内容已经在第 2 节中涉及过了，我们在本节中不再多谈这些问题。

3.1 斯科伦的观点

在他最初提出斯科伦悖论的 1922 年的论文中，斯科伦利用这个悖论来论证两个哲学结论：集合论不能作为“数学基础”，以及公理化集合论导致“集合论概念的相对性”（斯科伦 1922 年）。这些主张以及斯科伦为它们提出的论证在文献中引起了相当大的关注。不幸的是，斯科伦的论文非常简洁，因此很难确定这些主张实际上应该达到什么程度。目前，有三种对斯科伦的论文的解释在哲学文献中有一定的流行程度。

让我们从斯科伦的主张开始，即公理化集合论导致集合论概念的相对性。理解这一主张的一种方式是将其置于代数或模型论的公理化观念背景下。在这种观念中，集合论的公理用于表征或甚至隐含定义集合、成员关系和集合论宇宙等基本集合论概念。因此，集合论宇宙只是集合论公理的一个模型，集合只是某个集合论宇宙中的元素，成员关系只是特定宇宙用来解释符号“∈”所使用的二元关系。根据这种公理化观念，集合论的公理不应被视为试图描述或甚至部分描述先验给定的集合论“预期模型”的尝试；相反，集合论的预期模型只是那些恰好满足我们最初的集合论公理集合的模型。[31]

我们应该强调，在这里，斯科伦在他 1922 年的论文中写道，这种代数概念的公理化对于当时从事数学工作的数学家来说是非常熟悉的。斯科伦本人接受了 Schröder 的逻辑代数学派的训练，所以这对他来说是自然的思考公理的方式。但是，即使没有接受 Schröder 学派训练的人也会发现这种概念很熟悉。这是 Hilbert 著名的几何公理化背后的概念（据说 Hilbert 声称，只要后者对象之间具有正确的关系，我们可以用桌子、椅子和啤酒杯来替代点、线和平面）。这也是 19 世纪的结果，即算术和分析可以给出范畴（二阶）公理化。最后，最重要的是，斯科伦在我们目前讨论的论文中将这种公理化概念归因于泽尔梅洛，所以斯科伦主要关注的是批评泽尔梅洛的公理化概念。[32]

鉴于这种代数概念的公理化，斯科伦引用了 Löwenheim-Skolem 定理来论证集合论的公理缺乏确定不可数性的资源。对于任何集合论的一阶公理化和任何假定捕捉不可数性概念的公式 Ω(x)，Löwenheim-Skolem 定理表明我们可以找到一个满足我们公理的可数模型 M。因此，正如第 1 节中所述，我们可以找到一个元素 mˆ ∈ M，使得 M ⊨ Ω(mˆ)，但{m | M ⊨ m ∈ mˆ}只是可数的。因此，只要基本的集合论概念仅通过查看集合论的一阶公理化的模型论来表征，那么许多这些概念，特别是可数性和不可数性的概念，将不可避免地是相对的。[33]

这就提供了斯科伦的主张，即公理化集合论导致集合论概念的相对性的内容。在这里，重要的是要区分这个主张与斯科伦可能被认为是在提出的更琐碎的主张。从一个角度来看，代数化的公理化概念导致了一种明显的相对性：在一个模型中被视为集合的元素在另一个模型中可能不被视为集合，一个模型的成员关系可能与另一个模型的成员关系不同，即使这两个模型恰好共享相同的域，这种成员关系的差异也可能存在。因此，在这种琐碎的相对性概念中，几乎一切都是相对的，甚至包括“x 是空集”或“x 是单元素集”的简单概念。毕竟，在一个模型中，一个对象可以是“单元素集”，而在另一个模型中可以是“双元素集”，或者在一个模型中可以是“空集”，而在另一个模型的域中完全被省略。

强调斯科伦自己对相对性的概念比这更复杂。让我们承认，在从一个集合论模型转移到另一个模型时，“空集”作为特定元素将不会保持不变——第一个模型中的空集可能在第二个模型中变成一个单元素集。尽管如此，我们仍然可以使用集合论语言中的一个公式以基本绝对的方式捕捉“x 是空集”的概念。在我们公理的任何模型中，如果元素 mˆ ∈ M 满足开放公式“∀y y ∉ x”，那么集合{m | M ⊨ m ∈ mˆ }就真的是空的。因此，至少在某种意义上，我们仍然可以从代数框架内捕捉到“x 是空集”的概念。这一点更广泛地延伸了——类似的论证也适用于“x 是单元素集”或“x 有十七个成员”等概念。因此，即使在代数化的公理化观念中，我们仍然可以相当准确地确定一些集合论概念。洛文海姆-斯科伦定理表明，无论我们的（一阶）集合论公理有多丰富，我们都无法使用这种技术来确定“x 是不可数的”这种概念。这就是斯科伦所谈论的“相对性”的背后的结果，它突显了代数化的集合论公理化方法的一个真正的弱点。[34]

总结一下，这次讨论的结果是：如果我们对集合论公理采取纯代数的方法，那么许多基本的集合论概念，包括可数性和不可数性的概念，将会是相对的。用斯科伦的话来说：“对集合论进行公理化会导致集合论概念的相对性，而这种相对性与彻底的公理化是密不可分的”（斯科伦，1922 年，第 296 页）。当然，这仍然没有回答这样一个问题：这些概念是否是绝对相对的，是否存在其他非代数和非彻底的方式来理解我们的公理，而不会导致我们刚刚讨论过的相对性。当我们转向这个后一个问题时，斯科伦论文的各种解释开始分歧。

对这篇论文最传统的解释认为斯科伦是在直接攻击集合论。斯科伦在论文开头指出，经典的集合论悖论应该让我们对集合论的非正式理解持怀疑态度，用斯科伦自己的话来说就是对“对集合的天真推理”的怀疑。鉴于此，我们唯一的选择就是回归到某种形式的公理化集合论，而理解我们的公理的唯一可靠方式是代数的（因为直观理解它们将意味着重新陷入我们之前被质疑的天真）。但是斯科伦悖论表明，代数化的公理化观念下集合论概念是相对的。因此，这些概念确实是相对的。简而言之：经典悖论表明代数化的集合论观念是我们所拥有的最好的观念，因此斯科伦悖论表明集合论概念是不可避免地相对的。这种对斯科伦的传统解读在民间非常普遍；它的变体在 Hart 1970、McIntosh 1979、Muller 2005 和 Bellotti 2006 中都有讨论。

第二种解释侧重于斯科伦的观点，即集合论无法为数学提供充分的基础。特别是，斯科伦认为集合论缺乏资源来为普通算术提供基础。在他看来，算术是“清晰、自然且不容置疑的”，而集合论本身则更加问题重重。为了显示集合论的问题，斯科伦通过多种不同的方式解释集合论，如朴素集合论、公理化集合论的证明论解释、公理化集合论的代数解释等，并且他认为这些对集合论的理解都不足以作为基础的目的。因此，斯科伦悖论在斯科伦的整体论证中只起到了较为温和的作用。它用来突显一种特定的集合论观念（代数观念）存在的问题，但在斯科伦对其他集合论观念的论证中并没有起到作用。此外，这些其他论证并没有显示（甚至声称）各种非代数的集合论观念导致任何相对性（尽管它们当然存在其他问题，使它们不适合作为基础主义目的）。[35] 对斯科伦论文的这种基础主义解读的版本可以在 George 1985 和 Benacerraf 1985 中找到；Jané 2001 对这种解读线路提出了一些批评。

斯科伦论证的最终解释出现在伊格纳西奥·哈内（Jané 2001）的一篇论文中。哈内的阐释与传统解释一致，认为斯科伦对集合论进行了相当普遍的攻击，特别是对于绝对不可数集的概念。但它与基础主义解释一致，认为这种攻击是逐步进行的，斯科伦悖论本身只在攻击的一个方面起到了较为温和的作用。大致来说，哈内认为斯科伦试图表明在数学中没有严格的方式来最初引入不可数集的概念。集合论悖论表明我们不应该天真地接受康托尔的定理，因此康托尔的证明本身并不迫使我们接受不可数集。斯科伦悖论表明，采用代数理解集合论公理也不迫使我们接受不可数集，因为我们始终可以将这些公理解释为适用于一个只有可数个元素的模型。

当然，正如 Jané 所指出的，我们可以采用许多策略来规避斯科伦悖论的应用：我们可以使用不可数多个公理来强制我们的模型具有不可数的域，我们可以借助向上 Löwenheim-Skolem 定理来展示泽尔梅洛公理也具有不可数的模型（见第 1 节），或者我们可以转向泽尔梅洛公理的二阶版本，然后证明这些公理只能被具有不可数域的模型满足（见第 2.5 节）。不幸的是，这些策略中的每一个都预设我们已经对不可数集的概念有了先验的把握——例如，最初表征不可数公理集，制定向上 Löwenheim-Skolem 定理，或证明二阶 ZFC 只有不可数模型。因此，这些策略都不能用于首次引入不可数集到数学中。至少，Jané 认为斯科伦是这样论证的。

那么，这些就是文献中对斯科伦的论文的三种主要解释。我们不对这些解释中哪一种最能捕捉到斯科伦自己的意图立场进行评判，但我们注意到，斯科伦的大部分同时代人都将他解释为给出了类似上述“传统”论证的论点，并且他们对斯科伦悖论的回应反映了这种解释。泽尔梅洛本人接受了他公理的代数观念，但他坚持认为这些公理应该以二阶术语进行解释，并且，以这种解释，它们不会陷入斯科伦悖论（泽尔梅洛 1930 年；泰勒 1993 年；埃宾豪斯 2003 年）。同样，塔斯基建议可以通过将“∈”视为某个类型理论版本中的逻辑常量来化解斯科伦悖论（参见斯科伦 1958 年末发表的评论）。但是，尽管这两个建议都可以让数学家避免斯科伦悖论，但它们都依赖于接受一些强大的数学工具，而斯科伦——无论如何解读他的论文——几乎肯定会拒绝这些工具。因此，鉴于斯科伦的哲学目的，对他的悖论的这些当代回应似乎并不具有威胁性（参见斯科伦 1955 年和斯科伦 1958 年，了解斯科伦对这些回应的一些思考）。

3.2 斯科伦怀疑论

多年来，有一小部分哲学家和逻辑学家发现我们所称的斯科伦论文的传统解释在哲学上具有说服力，即作为一个独立的哲学论证，而不仅仅是对斯科伦论文的解释。他们的观点，被迈克尔·雷斯尼克称为“斯科伦派”观点，认为洛文海姆-斯科伦定理确实表明集合论概念是相对的。事实上，斯科伦派常常愿意更进一步，声称，尽管一个给定的集合可能是“相对于公理系统的表达方式而言是不可数的”，但从“绝对”角度来看，每个集合都是可数的（Kneale 和 Kneale 1962; Goodstein 1963; Wang 1964; Fine 1968; Thomas 1968, 1971）。

在本节中，我们将重点介绍一些经典发展斯科伦派主张背后的关键思想，然后考虑一些最近文献中出现的对它们的回应。（在第 3.3 节中，我们考虑了一种有趣的新方法来处理斯科伦派立场。）我们从斯科伦派论证本身开始。粗略地说，这个论证分为三个步骤。首先，它认为代数概念的集合论是当代数学家和哲学家唯一可取的概念。其次，它遵循斯科伦的观点，认为代数概念的集合论导致了集合论概念的相对性。最后，它扩展了斯科伦的论证，以捍卫上一段末尾提到的强相对性形式，即每个集合在从“绝对”角度来看都是可数的。

就我们的目的而言，这个论证中的第二步已经在我们讨论斯科伦的背景下详细考虑过了，所以我们在这里只是简要回顾一下主要观点。在集合论的代数观念中，基本的集合论概念是通过研究集合论的一阶公理化模型论来刻画的。在从模型到模型的转换中保持不变的概念——在上一节中我们讨论的“不变”的意义上——具有“绝对”的意义；在从模型到模型的转换中变化的概念只具有“相对”的意义。基于此，洛文海姆-斯科伦定理表明，可数性和不可数性的概念实际上会随着我们从模型到模型的转换而变化。因此，在集合论的代数观念中，这些概念只是“相对”的。[36]

这将我们带到斯科伦论证的第 1 步和第 3 步。第 1 步是这个论证的不同版本中显示出最大变化的地方。在某些情况下，第 1 步只是被假定为已知的，所以很难感受到基本论证的真正走向（Kneale 和 Kneale 1962；Goodstein 1963；Wang 1964）。在其他情况下，有人提出任何对代数观念的拒绝——特别是对于像“所有集合”或“真的不可数”这样的表达式直接接受的任何拒绝——都等同于回到了一种不可接受的天真的“柏拉图主义”形式（Fine 1968；Thomas 1968, 1971；Klenk 1976）。在另一些情况下，斯科伦派追随斯科伦的领导，并诉诸于集合论悖论来支持他们对柏拉图主义的拒绝；然后他们暗示放弃柏拉图主义将使代数公理化观念成为唯一可行的选择（Klenk 1976）。

这里还有另一种可行的策略：一些作者通过使用关于数学语言解释的其他难题（即斯科伦悖论之外的难题）来支持斯科伦派立场，从而推动从形而上学到代数观念的初步转变。例如，克伦克（Klenk）认为我们可以将贝纳塞拉夫（Benacerraf）在 1965 年提出的经典难题转化为这种论证（克伦克，1976 年）。同样，赖特（Wright）引用了维特根斯坦（Wittgenstein）关于意义和使用之间关系的考虑，以推动有限斯科伦派立场（赖特，1985 年）。最后，一些作者认为整个 20 世纪集合论的发展有利于代数方法的采用——毕竟，这门学科的整个历史都是从朴素的集合论方法转向形式公理化（尤其是一阶公理化）。关于这种分析，请参阅克伦克（Klenk），1976 年的论文。

现在转向斯科伦论证的第三步。支撑这第三步的数学定理是清楚的。设 φ(x)是一个被假定为定义唯一集合的公式，例如“x 是 ω 的幂集”或“x 是实数集”[38]。那么我们可以找到一个模型 M ⊨ ZFC 和一个元素 m ∈ M，使得 M ⊨ φ(m)且{m′ ∈ M | M ⊨ m′ ∈ m}只是可数的。因此，如果我们愿意承认，例如，成为 ω 的幂集只需要在集合论的某个模型中满足相关的定义公式，那么我们可以理解至少有一个 ω 的幂集的实例“真正”可数的说法。如果我们愿意进一步假设，只需要一个双射到一个这样的 ω 的幂集实例，就能使幂集本身“绝对”可数，那么我们就能理解斯科伦悖论者关于绝对可数性的强烈主张。当然，这两个最后的推理都不是严格从代数概念的公理化中得出的；但它们都是代数概念的支持者可能会认为合理的推理。

这样，我们就得到了各种斯科伦论证的基本结构。在转向一些最近文献中出现的对这些论证的回应之前，重要的是要明确斯科伦悖论本身在这些论证中可以起到什么样的作用，以及不能起到什么样的作用。有时候，似乎有些斯科伦派认为洛文海姆-斯科伦定理本身就表明我们对集合的普通概念存在问题：因此，这些定理表明集合论概念是相对的，相对性与我们对集合的普通概念不相容，因此我们的普通概念必须被放弃（Kneale 和 Kneale 1962；Goodstein 1963）。然而，从第 2 节可以清楚地看出，这种论证线路没有成功的机会。第 2 节的分析表明，那些愿意对集合论采取天真的现实态度的人，或者那些采取更复杂立场的人（这些立场基于集合的迭代概念和/或某种形式的二阶结构主义），对斯科伦悖论没有问题。因此，悖论本身不能迫使我们放弃我们对集合的普通概念。

相反，成功的斯科伦派需要遵循本节开头所提出的基本方法。他首先提出了一个独立的代数集合论的论证，即一个会导致我们放弃普通集合概念而采用代数集合概念的论证，并且（至关重要的是）这个论证本身不涉及斯科伦悖论的问题。一旦这个初步论证完成，斯科伦派就可以使用代数集合概念（当然还有洛文海姆-斯科伦定理）来捍卫他在论证的第 2 步和第 3 步中所提出的关于集合相对性的主张。

关于这种方法，还有两点需要注意。首先，我们应该注意到，这种方法为斯科伦派提供了对我们在第 2 节中提出的论证的回应。特别是，它使他能够质疑我们对“∈ 的普通英语理解”、“mˆ 的真实成员”、“量词范围涵盖整个集合论宇宙”等表达方式的过于天真的使用。如果对普通集合概念有独立的论证，斯科伦派对于以这些表达方式为基础的“解决斯科伦悖论”的“解决方案”并不会太感兴趣。参见 Thomas 1968, 1971; Klenk 1976。

其次，我们应该注意到，尽管这种方法要求斯科伦派从独立的论证出发反对我们对普通集合概念的理解，但它并不完全使洛文海姆-斯科伦定理变得多余。毕竟，集合论概念如可数性和不可数性在代数概念上是相对的。这并不是所有集合论概念都会发生的情况，例如“x 是空集”或“x 有十七个成员”，也不是仅仅从代数概念的公理化中得出的。

话虽如此，这是斯科伦派必须非常小心的地方。除非他在论证的第一步中提出的考虑与代数概念的细节密切相关，并以一种使该概念真正具有吸引力的方式相关联，否则斯科伦派的更大论证将面临某种程度的修辞琐碎性的威胁。毕竟，一旦斯科伦派拥有将我们推向集合论的代数概念的资源（就像他论证的第一步那样），那么他也有资源直接削弱我们对普通集合概念的理解，而且在讨论中并不涉及斯科伦悖论本身。如果这是正确的，那么斯科伦派的更大论证很可能会批评普通集合论概念在一个修辞语境中的“相对性”，而在为论证的初始步骤辩护的过程中，他已经提出了更强有力的批评。那将会有些尴尬。[39]

为了避免这种尴尬，我们认为斯科伦应该将他的论点框定为对我们普通集合论概念的批评，而更多地作为对代数集合论概念的建设性分析。也就是说，他应该主要集中于捍卫代数集合论概念作为一个独立可行的集合论概念（第一步），然后将集合论相对性仅仅作为这一积极概念的新颖而令人惊讶的结果（第二至第三步）。这种论证策略为勒文海姆-斯科伦定理提供了一些真正的哲学工作的空间，正如前两段所述。它还使第一步具有更紧密和更具建设性的焦点。在这种解读下，第一步主要用于突出代数集合论概念的积极优点；批评普通集合论概念（最多）只是一个次要问题。[40]（有关这种观点的更多信息，请参见第 3.3 节。）

这使我们来到了最近文献中出现的对斯科伦论证的批评。有三种一般形式的批评值得一提。首先，许多作者通过缓慢而仔细地解释勒文海姆-斯科伦定理周围的数学，以显示这些定理本身对于甚至相当天真的集合论理解都没有问题（Resnik 1966; Benacerraf 1985; Bays 2007a）。虽然这种回应对我们六段前讨论的简单版本的斯科伦论证是有效的，但对于我们目前正在考虑的更复杂的论证几乎没有什么作用，即以对这种天真理解的独立批评作为起点的论证。[41]鉴于此，并且我们已经在第 2 节中详细讨论了这种回应，我们在这里不再多说。

其次，一些作者直接批评了集合论的代数观念，并捍卫了更普通和直观的集合论语言理解（Myhill 1967; Resnik 1969; Hart 1970; Benacerraf 1985）。这里有三个问题需要强调。首先，很难看出代数观念如何能够提供数学语言的一般解释，因为代数观念本身似乎预设了一个直观的背景理论，用于制定和证明我们的模型论结果（例如，Löwenheim-Skolem 定理）。当我们关注斯科伦悖论的第三步时，这个问题变得更加严重，因为该步骤似乎需要绝对自然数的解释和绝对枚举的解释，以制定其“绝对可数性”的概念（参见 Resnik 1969; Benacerraf 1985; Shapiro 1991; Thomas 1971; Klenk 1976; Bellotti 2006，对这一论证线索的一些关注）。

注意，在这里，这些初始观点似乎反对使用任何完全一般的数学现实主义批评来推动人们接受代数公理的观念。毕竟，表面上看，对现实主义的任何足够一般的批评都同样适用于斯科伦悖论的模型论，就像它适用于经典集合论一样。因此，值得怀疑的是，斯科伦悖论者是否真的可以诉诸于对“形而上学”或我们对数学对象的认识访问的简单担忧，以激发一个完全成熟的斯科伦悖论立场。简而言之：斯科伦悖论的论证事实上迫使斯科伦悖论者接受数学的某些部分不受斯科伦悖论相对性的限制。（除了上一段中的参考文献外，还可以参见 Bays 2001; Bellotti 2005; Bays 2007b，讨论这种观点在普特南的模型论论证背景下的情况）。

当然，这个第一个论点留下了一个可能性，即集合论是一个特例——即使数论和分析等数学分支应该被绝对理解，集合论仍然应该被代数地理解，就像群论和拓扑学一样。不幸的是，集合论的实践与群论等更明确的代数学科之间存在一些明显的差异。例如，数学家倾向于将集合论的公理看作比群论或拓扑学的公理更不固定。在集合论中，数学家有时会提出一个问题，即 ZFC 公理是否正确——也就是说，他们谈论的方式似乎存在一个直观的集合概念，可以用来检验和发现 ZFC 公理的不足之处。相比之下，在群论和拓扑学中，谈论与相关公理规定的概念不一致的“直观概念”是毫无意义的。同样地，集合论学者有时会辩论我们是否应该在标准的集合论公理中添加新的公理——例如大基数公理，或者像 V=L 这样的公理，甚至只是像 Con(ZFC)这样的公理。相比之下，没有人会想到对群论或拓扑学的公理进行添加。从这个意义上说，对集合论的代数方法对集合论实践进行了修正，而对群论的代数方法则没有。

最后，即使我们接受了集合论的代数概念——也许是因为我们对某种结构主义数学哲学有更大的承诺——我们仍然不清楚为什么这种承诺要求我们限制自己在集合论的一阶公理化上。毕竟，许多最成功的代数化公理化实例——例如，19 世纪的结果表明算术和分析可以给出范畴化的公理化——依赖于使用二阶背景逻辑。正如我们在第 2 节中指出的，ZFC 的二阶版本并不会引发斯科伦悖论。因此，斯科伦派必须不仅为集合论的代数化方法辩护，还需要证明一阶代数化方法是正确的方法。有关这一论证线的发展，请参见 Hart 1970 和 Shapiro 1991。

这么多，对于代数化公理化的一般批评以及它在斯科伦派论证中的作用，我们现在转向对该论证的第三步的更具针对性的反对意见。为了论证的目的，让我们承认斯科伦派已经表明我们的集合论概念是相对的，并且对于我们可以用公式定义的每种集合，都存在一种只能数计的这种集合的实例。因此，存在一个可数的 ω 的幂集的实例，一个可数的实数的实例，等等。[43]然而，不清楚的是，这表明每个集合都是“绝对”可数的。毕竟，正如 Löwenheim-Skolem 定理表明我们可以找到所有这些集合的可数实例一样，上升 Löwenheim-Skolem 定理表明我们也可以找到不可数的实例。

鉴于此，许多批评家认为斯科伦派面临两个解释的负担，并且到目前为止，没有一个斯科伦派能够满足这些负担。首先，斯科伦派需要解释我们如何在不同模型中识别集合，即为什么我们应该将满足“x 是 ω 的幂集”的各种不同对象在集合论的不同模型中视为“同一个集合”。请注意，如果斯科伦派要从这些对象中的一个的可数性证明开始，然后使用这个证明来证明其他所有对象的绝对可数性，那么某种程度的识别是必不可少的（Resnik 1966）。其次，斯科伦派需要解释他对可数集的偏好。即使斯科伦派能够识别给定集合的可数和不可数“实例”，他需要解释为什么这种识别导致结论是所有集合都是“绝对可数”的，而不是所有集合都是“绝对不可数”的（Resnik 1966; Benacerraf 1985）。

这些，然后，是出现在文献中对斯科伦派立场的主要批评。要更全面地对待它们，不幸的是，我们需要深入探讨一些问题，例如我们对集合论语言的非正式理解的地位，二阶量化的合法性，以及与数学对象在结构主义数学哲学中相关的身份条件。探索这些问题将使我们远离斯科伦悖论本身。有关这方面一些相关文献的最新调查，请参阅 Bellotti 2006。

3.3 多元宇宙

在过去的十年中，集合论学家乔尔·哈姆金斯一直在为一种与传统的斯科伦派立场惊人相似的集合论观念辩论（尽管哈姆金斯自己的动机似乎更多来自于集合论本身而不是传统哲学文献）。哈姆金斯指出，随着集合论学家开发出越来越强大的工具来构建和比较不同的集合论模型——强制法、内模理论、大基数嵌入等等——他们越来越不太可能将任何特定的模型视为规范的。相反，集合论越来越多地关注比较不同的集合论模型，而不是将一个模型单独挑选出来作为特权。因此，哈姆金斯主张，集合论学家应该接受他所称之为“多元宇宙”（multiverse）的集合论观念——一种在这种观念中，没有任何一个集合论模型是特权的，而集合论的目的仅仅是探索各种模型之间的关系。

这种多元宇宙观念显然与第 3.1 节至第 3.2 节讨论的代数观念有关。此外，它满足了我们在第 3.2 节中确定的一个关键要求。哈姆金斯将多元宇宙作为一种独立可行的集合论观念进行辩护，并且他认为接受这种观念的动机来自于数学实践。（也就是说，哈姆金斯并不是因为强制扩张是可能的，我们就必须接受集合论的相对性；相反，他认为，因为强制扩张是自然的，我们应该拥抱集合论的相对性。）从这个意义上讲，类似多元宇宙的观念很可能构成了发展代数观念的“正确”方式。

此外，多元宇宙观自然地导致了传统斯科伦派倾向于支持的结论。设 a 是模型 M 中的一个集合（其中 M 存在于多元宇宙中的某处）。那么 M 有一个强制扩张 M[G]，其中 a 只是可数的。这对斯科伦派声称“从某种角度来看，每个集合都是可数的”提供了自然的解释。同样，斯科伦派对可数性的偏好（见第 3.2 节）可以通过以下事实来解释：如果 a 在一个模型 M 中是可数的，那么它在该模型的所有扩张中仍然是可数的。相比之下，通过转向适当的强制扩张，不可数集合总是可以变成可数的。关于多元宇宙的更多信息，请参见 Hamkins 2011 和 Hamkins 2012。有关一些批评，请参见 Koellner 2013（其他互联网资源中）。

3.4 邦纳姆的模型论论证

近年来，斯科伦悖论最广泛讨论的版本出现在希拉里·普特南所谓的“反现实主义的模型论论证”中的一个版本中。普特南在模型论论证中的总体目标是要表明我们的语言在语义上是不确定的，即关于我们语言的术语和谓词指向什么没有确切的事实。因此，在集合论的情况下，他想要表明我们的量词没有一个单一的集合论宇宙可以涵盖，并且没有一个单一的关系可以与“成员关系”一词相关联。用普特南自己的话来说，集合论语言没有一个单一的“预期模型”。

在 1980 年的论文《模型与现实》的前几页中，普特南（Putnam）认为，至少存在一个满足集合论语言的集合论公理 V=L 的预期模型[44]。为了证明这一点，普特南首先假设只有两个因素可以确定集合论语言的预期模型。首先是普特南所称的“理论约束”。这些包括集合论的标准公理，以及其他科学分支的原理和理论。其次是“操作约束”。这些只是我们在科学研究过程中进行的各种经验观察和测量。

在这些假设的基础上，普特南认为，找到一个满足 V=L 的预期模型只需要找到一个满足相关理论和操作约束的 ZF+V=L 模型。他找到这个模型的策略基于以下定理：

定理：ZF 加上 V=L 具有一个 ω-模型，其中包含任意给定的可数实数集。

在这里，这个模型满足 ZFC 的事实被认为能确保它满足来自集合论本身的所有理论约束，而 ZFC 的丰富性则确保该模型也具备编码我们最好的科学理论的资源（从而满足来自自然科学的所有理论约束）。最后，这个模型包含任意一组实数的事实确保它能编码构成我们的“观测约束”的各种观察和测量[45]。因此，只要普特南（Putnam）认为集合论的预期模型仅由我们科学理论的形式结构（包括我们明确的集合论公理）和我们所进行的物理测量所确定，那么这个定理将生成一个预期模型，其中 V=L 为真。

这个模型论论证的版本与斯科伦悖论有三个联系。首先，普特南自己将这个论证作为悖论的自然发展来呈现。在他的论文开头，普特南简要概述了斯科伦悖论，并暗示他对 V=L 的分析是基于对斯科伦的论证的“某种程度上的延伸”(第 1 页)。其次，正如脚注 44 中引用的段落所证明的那样，普特南的总结与最近对斯科伦悖论的理解非常契合，例如他得出的结论是 V=L 没有“确定的真值”(第 5 页)，或者斯科伦的“‘集合论概念的相对性’扩展到了‘V=L’的真值的相对性”(第 8 页)。最后，而且最重要的是，普特南的定理的证明关键地依赖于勒维汉-斯科伦定理。（粗略地说，普特南首先应用了向下的勒维汉-斯科伦定理到 L，以证明他的定理在 L 中成立；然后他利用 Shoenfield 的绝对性将定理反射回 V。）[46]

Putnam 的论证在文献中受到了多种批评。在技术层面上，Bays 认为 Putnam 对下降的 Löwenheim-Skolem 定理的运用是不合法的，因为标准的集合论系统不允许我们将该定理应用于像 L 这样的适当类。实际上，即使我们暂时不考虑 Putnam 证明的细节，哥德尔的考虑也表明 Putnam 的定理根本无法在 ZFC 中证明（因为该定理涉及到 ZFC 的一致性）。当然，如果 Putnam 愿意使用一个更强的背景理论来证明他的定理，例如 ZFC + “存在一个无法达到的基数”，那么他可以避免这些批评。但在这种情况下，不清楚由 Putnam 的定理得出的模型是否仍然被认为满足我们的理论约束。毕竟，接受 Putnam 修订后证明中使用的新公理的人将具有超出 ZFC + V=L 的理论约束，例如他们的理论约束可能包括公理“存在一个无法达到的基数”。请参阅 Bays 2001 以了解 Bays 对此异议的原始表述；请参阅 Velleman 1998 和 Gaifman 2004 以了解一些替代表述；请参阅 Bellotti 2005 和 Bays 2007b 以进行批判性讨论；请参阅 Hafner 2005 的第 3 章（尤其是 § 3.3.3）以讨论有关 Putnam 对传递性的使用的类似观点。

Button（2011）认为，尽管这种技术批评对于明确引用下降的 Löwenheim-Skolem 定理的 Putnam 论证版本具有一定的说服力，但是有一些替代的 Putnam 论证形式可以规避这种批评。特别是，Button 指出，即使是非常弱的理论也可以证明像“如果 ZFC 是一致的，那么 ZFC 有一个可数模型”这样的定理。由于任何 ZFC 的支持者都必须接受 ZFC 是一致的，这些弱理论足以推动 Putnam 的几个变体论证。有关此观点的发展，请参阅 Button 2011。有关类似观点的讨论，请参阅 Bellotti 2005 和 Bays 2007a。

在技术层面上，一些作者指出 Putnam 的论证在处理有限性概念时存在紧张关系。一方面，Putnam 需要使用这个概念来将他的模型刻画为 ω-模型，并且（甚至）理解一阶语言和一阶满足关系的形式定义。另一方面，Putnam 不能允许他的论证的反对者使用这个概念来指定他们认为使模型成为目标的东西。如果他的对手可以使用这个概念，那么他们可以定义模型“良基”的概念，这足以排除 Putnam 定理生成的模型。从这个意义上说，Putnam 的论证似乎依赖于他自己使用的技术机制和他提供给批评者的机制之间的一种不合理的不对称性。有关此观点的发展，请参阅 Bays 2001 和 Bellotti 2005。有关一些批判性反思，请参阅 Hafner 2005 的第 3.4 节。

在更纯粹的哲学方面，许多作者批评普特南的假设，即仅仅满足我们理论约束的一阶形式化就足以使模型“预期”。因此，例如，哈金认为我们应该真正致力于集合论的二阶形式化，并且普特南的关键定理不适用于这种形式化（Hacking 1983）。其他人认为，集合论的预期模型需要是传递的，而且再次强调，没有理由相信普特南定理产生的模型是传递的（Bays 2001）。最后，正如上一段提到的，一些作者建议集合论的预期模型至少应该是良基的，但没有理由认为普特南自己的模型是良基的（Bellotti 2005）。

普特南对这种反对意见的回应很有趣。普特南粗略地建议，其他哲学家可能提出的关于预期模型的任何条件，例如上一段提到的条件，都应该以一阶术语形式化，并被视为新的理论约束。当这些新的约束通过普特南的论证反馈时，他将再次能够生成一个“满足”这些约束的模型。因此，通过简单地采用对“理论约束”这一短语的特别灵活的解读，普特南确保几乎任何关于预期模型的条件都可以简单地纳入他最初的论证中（Putnam 1980; Putnam 1983, vii–xii）[48]。

这个论证通常被称为“只是更多理论”的论证，在文献中引起了极大的关注。对这个论证最常见的回应是区分描述模型特征使其成为预期模型的方式和仅仅添加新的句子以满足该模型的方式。换句话说，这涉及到区分改变我们的公理被解释的语义的方式，例如通过限制作为我们语言模型的结构类别和/或加强将句子与模型联系起来的满足概念，并仅仅添加新的公理以使用相同的旧语义进行解释。然后，回应继续论证，像前两段讨论的那些提议，例如预期模型应该是传递的或良基的或满足二阶 ZFC 的提议，应该被理解为属于这种区分的描述方面，而不是“添加句子”的方面（尽管后者是普特南的“只是更多理论”论证坚决坚持的地方）。

反过来，普特南认为这种回应对他的整体论证是在回避问题。毕竟，普特南的论证关乎我们的数学语言是否具有确定的意义，而我们正在考虑的回应似乎仅仅假设它具有这样的意义，当回应使用“传递”，“良基”或“M 的完全幂集”等短语来描述其“预期模型”的概念时。简而言之：只要数学语言的确定性仍然是一个问题，就在描述集合论的预期模型时自由使用这种语言将是回避问题的。至少普特南试图这样论证。

如上所述，普特南的论点的这一方面已经产生了大量的文献。参见德维特 1984 年第 11 章；刘易斯 1984 年；泰勒 1991 年；范克利夫 1992 年；哈尔和赖特 1997 年；钱伯斯 2000 年；贝斯 2001 年；以及贝斯 2008 年，对普特南的论点进行了一些代表性的批评。参见普特南 1983 年第 vii–xii 页和普特南 1989 年，对普特南的回应。参见安德森 1993 年；杜文 1999 年；豪基奥亚 2001 年；以及克伦 2001 年，对普特南论点的这一方面进行了一些最近的辩护。

4. 结论

我们在本条目中总结了我们试图强调的两个主要观点。首先，从纯数学的角度来看，康托尔定理和勒文海姆-斯科伦定理之间没有冲突。斯科伦悖论有一个技术解决方案，解释了为什么勒文海姆-斯科伦定理对于天真的集合论现实主义形式或公理化集合论的各种形式都没有问题。因此，单独使用勒文海姆-斯科伦定理无法产生实质性的斯科伦悖论结论。当然，在斯科伦悖论的周围仍然存在一些有趣的技术问题。例如，我们可以研究悖论在特定的一阶模型中的表现；我们可以研究各种非一阶逻辑对悖论的敏感程度；我们可以试图确定允许悖论适用于一阶逻辑的确切特征。这些主题与斯科伦悖论明显相关，并引发了关于模型论和集合论之间关系的值得探索的问题。但是，单独考虑斯科伦悖论本身，并不对经典集合论构成威胁。

其次，如果我们对经典集合论存在先前的怀疑——例如，那些在斯科伦最初论证的更复杂重建背后的怀疑，那些在斯科伦悖论的步骤 1 更可信版本背后的怀疑，或者那些在普特南的模型论论证中关于语义确定性的怀疑——那么我们很可能能够将斯科伦悖论转化为某种有趣的哲学结论。当然，在这里仍然存在挑战：我们需要解释在我们证明洛文海姆-斯科伦定理的背景理论的地位，我们需要解释一阶集合论公理化的特殊意义，我们可能需要解释如何在各种集合论模型中识别元素。然而，从技术上讲，这些对斯科伦悖论的复杂运用并不受上一段提到的悖论的技术解决方案的限制。这个事实也不应该令人感到惊讶：如果我们在对斯科伦悖论的分析中加入足够的哲学，那么我们应该至少能得到一些哲学的收获。

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