亚里士多德论数学 mathematics (Henry Mendell)
首次发表于 2004 年 3 月 26 日
亚里士多德在他的论文中以三种重要的方式使用数学和数学科学。当代数学作为他的科学哲学的模型，并提供一些重要的技术，例如在他的逻辑中使用的技术。在整个作品集中，他为各种论题构建数学论证，尤其是在物理学、生物学和伦理学中。最后，亚里士多德的数学哲学提供了柏拉图主义的重要替代方案。在这方面，近年来由于其与物理主义和基于物理主义的虚构主义的亲和性，人们对其产生了复兴的兴趣。然而，他的数学哲学更好地被理解为一种精确或数学科学的哲学。
本文将探讨数学科学对亚里士多德的形而上学和科学哲学的影响，并说明他对数学的运用。
1. 引言
公元前五世纪和四世纪末，希腊数学发生了许多重要的发展，包括基本论文或元素的组织，以及在证明概念、数论、比例论、构造的复杂应用（包括球面螺旋和圆锥曲线），以及几何和算术在其他科学形成中的应用，尤其是天文学、力学、光学和谐波学。这些论文的作者还开始了创造有效的方法来构思和呈现技术工作的过程，包括使用字母来标识图表的部分，使用字母标记的抽象数量来证明，而不是实际数值，以及使用证明。我们无法知道亚里士多德是否影响了技术论文的作者，还是仅仅反映了当前的趋势。
在这种背景下，柏拉图的学院成为关于我们如何了解数学（原则的类型、证明的性质等）以及如果科学要真实而不是空洞，所知道的对象必须是什么的争议的肥沃土壤。亚里士多德对数学的处理反映了这种多样性。尽管如此，亚里士多德作为数学家和数学科学哲学家的声誉经常有起伏。
实际上，亚里士多德的论文展示了希腊罗马时代之前任何哲学家中最难的技术数学。他的技术失败涉及概念上困难的领域，包括无限线和非均匀量。
评注者从公元 2 世纪开始对亚里士多德进行解释，倾向于将亚里士多德的数学对象解释为心理对象，这使得亚里士多德更加符合新柏拉图主义。后来，文艺复兴晚期的机械主义运动将亚里士多德视为将数学与物理科学分离，以便在他们的观点与亚里士多德的观点之间形成更深的分歧。因此，很容易将亚里士多德视为订阅心理主义数学的版本。这些倾向有助于形成亚里士多德的数学观点在他的思想中边缘化的普遍观点。然而，最近一些有同情心的读者将亚里士多德视为表达了一种虚构主义的物理主义版本，即数学对象是以物理对象为基础的虚构实体。在这种观点被认为是关于数学的一个合理观点的程度上，亚里士多德已经恢复了他的地位。
有两个重要的意义上，亚里士多德从未提出过数学哲学。亚里士多德认为几何学和算术学，我们可以说构成了古代数学，只是两个最重要的数学科学。他对数学的解释总是包括光学、数学天文学、和声学等。其次，据我们所知，亚里士多德从未专门撰写过关于数学哲学的论文。即使是《形而上学》第十三和第十四卷，这两本主要讨论数学对象的性质的书，实际上是关于消除柏拉图主义立场的，即存在超越感性物质的不变和永恒物质，以及将数字与感性物质等同起来的毕达哥拉斯主义立场。
2. 数学科学的结构：第一原理
亚里士多德在《后分析》中对演绎科学的最佳格式进行的讨论反映了当代数学的实践，这种实践是在柏拉图学院中教授和实践的，讨论了数学科学的性质以及亚里士多德在逻辑学上的发现。亚里士多德有两个独立的关注点。一个是从他的论证中演变出来的，即任何科学都必须有不可证明的首要原则，以避免循环和无限回归。另一个是从他的观点演变而来的，即演绎必须是解释性的。（参见条目《亚里士多德的逻辑学》第 6 节的 A、B 和 C 小节，演绎和演绎科学。）
亚里士多德区分了（《后分析》i.2）演绎的两种起点，即公理和假设。
公理（axiôma）是一种值得接受的陈述，在学习任何事物之前都是必需的。亚里士多德在这里列出了最一般的原则，如非矛盾性和排中律，以及更具体于数学的原则，例如当等于等于时，剩余部分也相等。不清楚亚里士多德为什么认为学习数学公理是学习任何事物的必要条件，除非他的意思是学习数学主题需要学习这些公理，或者公理是如此基础以至于它们应该构成学习的第一部分。
亚里士多德将假设（论点）分为两种类型，即定义和假设：
假设（hupothesis）断言矛盾的一部分，例如，某事物是或不是。
定义（horismos）不断言矛盾的任何一部分（或者可能没有存在或不存在的断言）。
由于定义不断言或否定，亚里士多德可能希望我们将定义理解为规定或与被定义术语在某种程度上等效的定义表达式。将单位定义为“在数量上不可分割”并不预设单位的存在与否。因此，如果将三段论前提“单位在数量上不可分割”视为预设单位存在，则在这个意义上它不是一个定义。当然，后来亚里士多德还会允许许多其他类型的定义。
关于亚里士多德的假设有很多观点：（i）存在性主张，（ii）科学中的任何真实假设，以及（iii）希腊数学证明中的对象规定。例如，“设 A 为单位”（其中规定对象为单位）或更具希腊数学特色的是，“设有一条线段 AB”（其中规定存在一条线段，即 AB）。实际上，所有这些解释可能都有亚里士多德的意思的一部分。在这种情况下，亚里士多德暗示任何科学中断言或否定某事物的假设都是假设。然而，他特别强调存在性主张。在亚里士多德对科学的概念中，存在性主张是如何起作用的？从《物理学》第四卷中，我们有诸如“有位置”和“没有虚空”的主张。然而，亚里士多德在《后分析学》中使用的例子是诸如属的存在，或者具体地说有单位存在，或者有点和线存在。亚里士多德还指出，有时属的假设被省略，因为太过明显。只有通过将这些一般性主张与其在亚里士多德数学中的使用进行比较，我们才能理解亚里士多德的意思。亚里士多德希望我们理解，在科学论文的证明之前，论文应该陈述起始命题。这些包括比科学更广泛的一般性主张，以规定而非断言的定义，以及基本实体“存在”的主张。什么样的存在性主张被视为可接受是相对于实际科学而言的。证明的开头，“设有一条线段 AB”，是科学的基本假设的应用。由于亚里士多德将这样的证明视为一般性证明，开头的主张实际上应被理解为代表存在线段的一般性主张。这就是假设作为前提的使用方式。 “让三角形 ABC 存在”这个规定在这种解释下不会成为一个假设，因为他认为三角形的存在需要被证明，所以这个规定实例化了一个派生命题。
一门科学由一个类别（genos）和一系列属性组成，类别是科学所研究的对象，属性是科学对于类别的陈述。类别或种类既被定义又被假设存在。从他的例子（几何学中的点和线）来看，类别可以宽泛地理解为科学中的基本实体。属性被定义但不被假设存在。必须证明这些属性属于类别的各个成员。例如，必须证明三角形存在，即某些（可构造的）图形是三角形。
如果我们非常认真地接受亚里士多德声称每个演绎的直接前提都表达了关于一个现存实体的某种内容的普遍观点，那么人们可能会想知道演绎的原理，即公理和假设，如何成为演绎的前提。存在性主张和规定并不表达关于一个现存实体的某种内容。由于亚里士多德称公理为“演绎的起点”，一些人认为公理单独构成了科学的前提，并且在任何科学中，证明是通过将属类术语及其定义放入公理中，然后在证明中出现时用“三角形”之类的术语替换它们的定义来实现的。然而，除了指出公理在这方面的不足之外，还可以提出异议，即亚里士多德还将演绎的原理称为直接陈述（protaseis），即公理和假设。另一种可能性是，他将规定和存在性主张以及其他假设都视为前提，但将公理视为更基本地证明的来源。在这种情况下，他对什么算作前提的概念比许多读者预期的要宽松得多。无论如何，如果他的证明理论要起作用，他必须允许比古希腊数学标准教材的引言中找到的更多的直接前提。
有关更多信息，请参阅以下补充文件：
3. 证明中的三个概念：“每个”，“自身”，“普遍”
在《后分析学》第一章第四节中，亚里士多德还发展了三个对他的科学主张理论至关重要的概念：“每个”，“自身”（kath' hauto）或“本身”（以四种方式）和“普遍”（katholou）。尽管他对这些概念的阐述是为了他的证明理论而量身定制的，但这些概念也被设计用来表征任何科学主张的基本特征，其中主要的例子大多来自数学。（参见《亚里士多德逻辑学条目》中的第 6 节“证明和证明科学”。）
如果 A 对每个 B 都成立，那么 A 对 B 总是成立。请注意，这个条件比《先分析学》中的“A 属于所有 B”所指的条件更强。数学例子：点在每条线上（即每条线上都有点）。
A 对于 B 而言是自身的，当且仅当“A”在给出 B 本质的解释/原理中。请注意，亚里士多德并没有说 A 属于所有的 B（例如，“头发”出现在“秃头”的定义中，但“有头发”不属于秃头的人），但这是亚里士多德对其使用的前提。亚里士多德允许存在形如“A 不属于任何 B”的直接陈述。数学例子：在三角形的定义中，“线”是其中之一，“点”是线的定义中的一部分。
A 对于 B 而言是自身的，当且仅当“B”在给出 A 本质的解释/原理中，并且 A 属于 B。数学例子：直线和圆弧属于线，奇数和偶数属于数字。一些评论者认为是并列关系自身属于（例如，直线或圆弧自身属于所有线）；而其他人认为例子是每个谓词自身属于主语（例如，直线自身属于（某些）线）。然而，亚里士多德应该知道并非所有线都是直线或圆弧。
A 是自身的，当且仅当“A”指示“一个这个”（tode ti），即“A”指的就是 A 本身。在《后分析》第一章第 22 节，亚里士多德将自身的与实质等同起来，作为推理链的基础。然而，人们可能会问，在科学中是否必须存在类似的概念。如果是这样，那么在给定科学中，A 将是自身的，如果 A 是该科学研究的基本实体，是科学研究的对象之一。如果是这样，在算术中，自身的项目将是单位。
A 对于 B 而言是自身的，当且仅当 A 因为 A 而属于 B。要么没有给出数学例子，要么例子是（取决于我们如何阅读文本）：直线或曲线属于线，奇数或偶数属于数字，但这些可能是自身的情况。非数学的例子是：它因为喉咙被割而死亡。
A 普遍属于 B，当且仅当 A 属于所有 B，A 自身属于 B（因为 B），并且作为自身属于 B（作为 B）。这里的“自身”概念似乎与之前提到的略有不同（有人建议是自身的意义是 per se4），但无论如何，它被认为等同于“作为自身”。也许我们需要第五个 per se 的概念。
B 具有/是自身的 A（即，因为 B 而属于 B），当且仅当 A 作为 B 属于 B，即没有更高的属于 B 的属类或种类 C，使得 A 属于 C 并因此属于 B，因为属于 C。再次，亚里士多德没有将 per se5 作为一个单独的概念，因此该概念可以归入 per se4 之下。请注意，与 per se1 和 per se2 不同，per se5 是基于谓词的主语。
这里的想法似乎是：
A 普遍属于 B，当且仅当 A 属于所有 B，并且 A 本质上属于 B。
另一种（更强烈？）解释是：
A 属于 B 普遍地当且仅当 A 自身属于所有 B 且 B 属于所有 A。在这种情况下，A 和 B 在现代讨论中被称为相称的普遍性（commensurate universals）。（参见《分析后书》，B 16-17）
亚里士多德将三角形具有角度等于两个直角的属性描述为自身属性（per se5 = per se4）和普遍属性，但也将“具有内角等于两个直角”的属性描述为三角形的自身偶然属性（kath' hauto sembebêkôs）。人们普遍认为这些是某种基本偶然属性。由于这些属性必然地由自身属性推导出来，将它们称为偶然属性似乎有些奇怪。然而，有时将偶然属性视为伴随物更为恰当，它们是不同演绎链的结果。或者，亚里士多德经常使用同一个词来表示结果。在这种情况下，它们应该被称为自身结果。
值得注意的是，亚里士多德的证明理论要求演绎中的所有谓词要么是自身属性 1，要么是自身属性 2。既不是自身属性 1 也不是自身属性 2 的就是偶然属性。因此，无论如何，自身属性 4（如果它是一个单独的概念）和自身偶然属性都应该可以归结为这些概念。
4. 演示和数学
由于他的逻辑理论的形式成功，亚里士多德也认为大多数数学证明具有普遍肯定三段论的形式，即巴巴拉（Barbara）。 （请参阅有关亚里士多德逻辑的条目中关于三段论的部分。）这意味着大多数数学定理是关于另一个 C 的一件事 A，并且每个数学演示都有一个中间项 B，解释了 A 和 C 之间的联系。亚里士多德在数学中提供了几个这样的三项术语的例子，例如，两个直角-绕点的角-三角形，或者直角-半个两个直角-半圆中的角。评论者们早就注意到，数学证明通过普遍实例化（ekthesis）使用特定案例，然后普遍化到一般性主张，并且并非所有命题都具有形式：A 是关于 B 的，例如，Elements 1 1，“在给定线上构造等边三角形。”一个更现代的反对意见是，正如在《先验分析》1 1, 3-7 中所呈现的三段论的形式理论对于表达涉及条件和多对多关系的理论是极其不足的，就像所有古代数学一样。尽管如此，亚里士多德确实认为大多数数学证明实际上具有这种形式。那些不会的肯定是否定命题，可能是存在命题。（我们对亚里士多德如何构想存在命题的逻辑形式知之甚少。）通过仔细阅读《先验分析》的其余部分，可以清楚地看出亚里士多德对“一件事关于另一件事说”的灵活概念，并且他认为标准数学证明实际上是以普遍形式存在的，我们为了理解的目的将其表达为特定形式。
5. 不同科学之间的关系：自治和从属关系
科学的定义是通过它所研究的属或种类以及属于该种类的一组可指定的属性来确定的。其次，科学研究中所研究的属性是根据科学的属（本身）来定义的。因此，通常情况下，用一种不同的科学来证明一件事是不可能的。因为要证明一个属于一个属的属性适用于一个完全不同的属，这是不可能的。因此，每个科学都是自主的。亚里士多德提出了这个观点，然而，他是在拒绝柏拉图的观点，即科学是从属于对善的认识。他实际上提出的要求要谦虚得多。如果一个属属于另一个属，那么有时候可以通过使用另一种科学的定理来证明一个属性属于一个属，这种情况下，一种科学被称为是另一种科学的下位科学（或亚科学）。
这里是亚里士多德在《分析学》中提到的科学及其关系：
| Geometry | 立体测量学（立体几何学） | Arithmetic | |
|---|---|---|---|
评注者 | |||
光学 （数学） | 天文学 (数学) | Mechanics | 谐波 (数学) |
关于彩虹 | 航海天文学 现象 经验主义 | 声学科学 |
亚里士多德将科学分为不同层次，将彩虹、天文现象和声学谐波等描述性的科学视为描述性的，提供了某种情况的事实，但没有提供解释，解释由更高级的科学提供。可以很容易地推测亚里士多德会如何填写表格中的关系；例如，他是否会像柏拉图在《理想国》第七卷中那样将立体测量学放在几何学之下？同样，数学光学与几何学之间的解释关系与光学与经验光学之间的关系不同。这个彩虹的例子似乎是指《气象学》第三章第五节中的论证，其中观察到的事实是彩虹永远不会超过半圆（在平坦的土地上是真实的），这一事实通过一个完全几何化的光学证明得到解释。一旦提供了基本的设置和反射原理，剩下的就是几何学。
当一门科学不受另一门科学支配，但其中一些属性来自另一门科学时，情况就不同了。亚里士多德的例子是圆形伤口愈合得比刀砍伤口慢。医学属性取决于伤口的面积和周长。
亚里士多德关于自主性的观点是，算术中的一个定理（甚至是谐波学中的一个定理）不能用来证明几何学中的某个命题。在这里，算术可能被理解为欧几里得在《几何原本》第七至九卷中发现的数论，而不仅仅是数字的计算，当然，数字的计算在几何学中也有应用。这就允许反对柏拉图主义观点，即关于美和数学的定理彼此无关，即使有些定理是美丽的。
在其他地方（尤其是《物理学》第二卷第二章和《形而上学》第十三卷第三章），亚里士多德提供了不同的数学科学之间的关系解释。
6. 数学科学研究的内容：谜题
亚里士多德在讨论数学本体论问题时的主要关注点是避免各种形式的柏拉图主义。亚里士多德与柏拉图一样认为，理解的对象存在，这些对象必须是普遍的而不是特定的，并且它们必须满足某些“巴门尼德式”的条件，比如不变和永恒。然而，亚里士多德反对柏拉图的观点，即理解的对象与个体是分离的。这是亚里士多德形而上学的一个普遍问题。然而，在数学对象的情况下，存在三个重要的困难。首先，如果物理对象是数学理解的对象，并且满足线、圆等标准定义，那么可以争论它们在两个方面明显失败（参见《形而上学》第三卷第 2 章 997b25-8a19）：
我们画的物理直线并不是直的；物理的切线实际上并不在一个点上接触圆。换句话说，物理对象没有我们研究的数学属性。这就是精确性的问题。
物理数学对象缺乏我们对理解对象所要求的属性。它们并不是与物质分离或独立的。因此，它们不是永恒或不变的。这是可分离性的问题。
虽然这两个问题是不同的，但亚里士多德可能认为这种失败至少在一定程度上导致了数学对象无法具有我们研究的数学属性。柏拉图的形式以第三种方式失败。
假设每种三角形都有一个形式。每种三角形仍然只有一个形式。关于矩形对角线的数学定理可能会提到两个相等且相似但仍然不同的三角形。数学科学需要许多相同类型的对象。这是多样性的问题（参见《形而上学》第三卷第 2 章和第三卷第 1-2 章）。
第四个问题虽然亚里士多德没有明确提出，但显然是他讨论的前提。
数学的解释不应该影响数学实践，使其变得不连贯或不可能。如果数学家谈论三角形、数字等，数学对象的解释至少应该解释这种论述。这就是非修正主义（有时也称为自然主义）的问题。因此，亚里士多德在他自己对数学的解释中说：“对于数学对象来说，它们存在并且是它们自己的这种说法是绝对正确的”（参见《形而上学》第 13 卷第 3 章 1077b31-33；《物理学》第 3 卷第 7 章 207b27-34 是该原则的应用）。
为了解决分离和精确性的问题，像斯佩西普斯和可能的柏拉图这样的当代哲学家假设了一个数学实体的宇宙，这些实体是数学属性的完美实例，对于我们想要证明的任何定理来说都足够多样化，并且与物理或可感知的世界分离。亚里士多德称它们为数学对象或中介，因为它们介于形式和物理对象之间，既像形式一样完美、永恒和不变，又像物理对象一样多样化（例如，《形而上学》第 1 卷第 6 章 987b14-18，第 3 卷第 2 章，第 13 卷第 1-2 章）。这个解决方案是数学中许多形式主义版本的祖先。
亚里士多德对中介的拒绝涉及展示他们的拥护者致力于一种繁杂的数学宇宙的事实，至少有一个与每个数学科学相对应，无论是运动学、天文学还是几何学。然而，他还试图表明这样的本体论不仅仅是多余的，而且还可以提供一个不涉及所有提到的困难的替代解释。换句话说，亚里士多德的策略最好被视为扩散柏拉图主义的某些版本。
亚里士多德还拒绝了妥协作为仅仅加剧这一困难的观点，即形式或中介存在于事物中（分离但相互包容），因为这些不同的世界现在将不得不捆绑在一起存在。
7. 亚里士多德对数学对象的处理
亚里士多德在数学对象的地位上的论述将围绕着五个概念展开，这些概念在他的讨论中被使用：'抽象'或'去除'或'减法'（aphairesis），'精确'（akribeia），'作为分离的'（hôs kekhôrismenon），'qua'或'在...方面'（hêi），以及'可理解的物质'（noêtikê hylê）。主要的来源是《后分析学》、《灵魂论》第三章第 6-8 节、《形而上学》第三章第 2 节、第六章第 1 节、第七章第 10-11 节、第九章第 9 节、第十章第 1-2 节、第十一章第 2-3 节、第 7 节、第十三章第 1-3 节、《物理学》第二章第 2 节。
7.1 从抽象或'去除'中的对象（ta ex aphaireseôs）
亚里士多德有时将数学对象称为通过去除（在不同的著作中，亚里士多德使用不同的表达方式：ta aphairesei，ta en aphairesei，ta ex aphaireseôs，ta di’ aphaireseôs）得到的事物。显然，这种用法与定义的逻辑讨论有关，在定义的话题中，我们可以谈论在表达式中添加或删除术语，并观察得到的结果。我们的主要任务是解释这种逻辑/心理上的去除是什么，以及它如何解决这四个难题。亚里士多德从可感知或物理大小的类别开始。对这些的研究是物理学的一部分（参见《物理学》第三章第 4 节）。它们的本体论地位并不关系他，但我们可以假设它们构成了数量的范畴：物质的身体、表面、边缘、角落、地点和时间、声音等（《范畴学》第 6 章）。
在分析学中，没有物质概念，亚里士多德从一个特定的几何可感知的图形开始。被去除的是它的特殊性以及随之而来的一切，包括它的可感知性。剩下的是某种普遍性。亚里士多德在这部作品中似乎也不认为多样性问题与将所有术语都视为普遍性的数学推导之间存在任何冲突。然而，由于他允许术语可以是一个非常复杂的表达式，它可以指代一个丰富的复杂性，而在柏拉图理论中可能没有相应的形式。
在其他地方，亚里士多德通常似乎是指那些不属于科学的属性被去除了。剩下的可能是特定的，一种准虚构的实体。这个实体的地位引发了很多争议。它是灵魂中的一种表象，还是以特殊方式处理的可感知对象？古代和中世纪的读者倾向于采取前一种方法来解释亚里士多德，即剩下的对象是一个只具备所需属性的简化表象。（参见穆勒（1990）和新柏拉图主义对这些数学解释的基础，如普罗克鲁斯在他对欧几里得的评论中所述。）
大多数现代读者，可能受到伯克利和休谟对第一立场的批评的影响，对第二种方法更为认同。数学科学研究的对象是可感知的对象，以一种特殊的方式处理，作为感知的表象，无论是沙子中的图表还是想象中的图像。此外，也许作为对弗雷格对心理主义的毁灭性批评和胡塞尔对算术心理学解释的第一次尝试的回应，有人提出亚里士多德不需要特殊的抽象能力。相反，心智能够考虑感知对象，而不考虑其中的某些属性，比如被感知、由沙子、大理石、青铜等制成等。然而，这类似于逻辑上对定义的操纵，通过考虑带有或不带有某些附加内容的术语。因此，亚里士多德有时会通过添加来称呼物质对象，数学对象。为了方便起见，心智将其构想为就是该对象。从这个观点来看，抽象与推理一样，既不多也不少是心理学的范畴。
从概念上来说，我们可以将这个过程看作是心智重新排列对象的本体结构。作为一个实质性的工艺品，沙盒具有某些本质属性。所绘制的图形可能与其本体无关，即偶然性。在将对象视为所绘制的图形时，由沙子制成对它来说是次要的。因此，“通过去除”的概念可能是解释可感知的大小作为长度的一种方式。这个概念在亚里士多德的理论中起着主要作用。
7.2 精确性 (akribeia)
在他对精确性的讨论中，亚里士多德指出那些去除了更多属性的科学更加精确。关于单位的算术比几何更精确，因为一个点是一个具有位置的单位。在所有运动都是均匀运动的运动学科学（运动巨大的几何学）比包括非均匀运动的科学更精确，而不动巨大的科学（几何学）比具有运动巨大的科学更精确。然而，人们可能推断出这里的“精确性”仅仅意味着“清晰度”（或许是“精细度”，带有所有的模糊性）。这个“精确性”的概念是否为解决精确性问题提供了一个框架？
7.3 作为分离的（hôs kekhôrismenon）
亚里士多德通过一种虚构主义来解决可分离性问题。数学家的语言和实践是合法的，因为我们能够以他们无法想象的方式构思可感知的巨大。对于亚里士多德来说，唯一的基本现实是物质，无论我们如何构思它们。物质的一个主要特征是它们是分离的。然而，我们能够谈论一个三角形，一个有限的表面，仅仅是一个身体的界限，因此不是分离的，就好像它是分离的（hôs kekhôrismenon）。它是我们科学中的一个主题（在我们科学的论述中）。我们实现这一点的心理和逻辑机制是亚里士多德在消解柏拉图主义中的策略的核心。
7.4 X Qua（黑）Y
亚里士多德使用的词通常被翻译为英语词“qua”，它本身翻译为拉丁语的关系代词“qua”，但有一个重要的语法差异。英语副词通常后面跟着一个名词短语。
作为一个处于与格的关系副词代词，希腊词汇涵盖了与与格相关的所有可能含义，包括“在哪里”，“以某种方式”，“通过事实”，或“在方面”。有人建议用词“because”来翻译它，尽管可以争论英语词最多与适当的希腊含义相交（也许“just or precisely because”更好）。因此，“X qua Y”应被理解为省略形式：
在 X 是 Y 的意义上的 X
或者
通过 X 是 Y 的事实来说的 X（或者'正因为 X 是 Y'）
这里的‘X’通常是指以任何普通方式指代实体的名词短语，例如，算术研究中的 Leopold qua 单位，这个人 qua 单位，这个音乐家 qua 单位。
在科学主张的背景下，“X 通过事实或在 X 是 Y 的方面是 F”表明“Y 是 F”是一个定理，其中 Y 是 F 的最普遍或适当的主题，并且 X 是 F 是因为 X 是 Y 的事实。例如，ABC qua 三角形的图形具有内角等于两个直角，但 qua 直角三角形的图形具有边 AB2 + BC2 = AB2。
在我们以 X qua Y 或 X 在 X 是 Y 的方面进行检查或研究的情况下，我们研究从某物是 Y 而产生的后果。换句话说，Y 决定了我们研究的逻辑空间。如果 X 是一个青铜三角形（一个可感知的大小），以青铜为基础研究 X 将是研究青铜和作为青铜的属性。以三角形为基础研究 X 将是研究作为三角形的属性。除非从某物是三角形而必须是青铜，否则青铜的属性不会出现在研究中。
注意，并不一定要求“qua”运算符的形式为“qua Y”，其中 Y 是一个名词短语。例如，亚里士多德在《灵魂论》第三篇中说道（429b25-6），两件事情影响并受影响，“qua something in common belongs to both。”同样，作为“qua”在这些情境中并不总是意味着“因为”（通常情境太模糊，无法准确判断它是指“因为”还是“在...方面”），考虑 Nicomachean Ethics i.3.1102b8-9，“Sleep is an inactivity of the soul qua it is called good or bad”，但绝对不是因为它是。
除了可能有一两个例外，似乎亚里士多德每当提到 F(X) qua G(X)时，G(X)必须为真。我们可以研究一个可感知的三角形 qua 三角形，因为它是一个三角形。为了方便起见，我们可以称之为 qua-实在主义。
用“Qua”解释数学对象的原理。我们从可感知的大小开始。它们是体积、表面、边缘和角落。它们在位置和大小上变化。它们由某种材料制成，是物质及其相互作用的数量。体积、表面和边缘具有形状。时间和角落则没有。不同的科学以不同的方式处理不同的可感知大小。
此外，由于存在许多可感知的大小，因此将有足够的线来证明涉及线的任何定理。多样性问题是微不足道的解决。
可分离性问题得到解决，因为如果我们以 Y 的方式检查 X，我们将讨论 Y，就好像它是一个独立的实体，作为一个主体，并且不会关注我们通过描述“X”捕捉 Y 的方式，即只研究 qua 过滤器的残留物。科学将谈论 Y。这也不会干扰数学实践，因此不会违反非修订主义。
在《形而上学》第六章第一节中，亚里士多德认为物理学涉及具有变化但是是实质的事物，而数学所涉及的一些事物不会发生变化，是永恒的，但不是实质的（可能的例外包括数学天文学中的星体和球体以及数学运动学中的物体），而第一哲学或神学则涉及不变且永恒的实质事物。我们现在可以描述数学对象是如何永恒且不变的。也就是说，生成和变化不是几何学或算术所研究的谓词之一。因此，可以正确地说，就 qua 线而言，可感知的线缺乏生成、破坏和变化（对于运动学和数学天文学适当的限定条件）。
解决精确性问题以及如何解决它是更有争议的。根据古代和中世纪的解释，通过允许心理表象可以选择精确度来解决精确性问题。将亚里士多德的数学对象视为以特殊方式处理的物理对象的当代解释面临更困难的任务。亚里士多德可能尝试解决精确性问题的五种方式。
如今，许多学者似乎认为，对于亚里士多德来说，如果可以说 X qua Y，那么 X 必须精确地是 Y。这意味着关于三角形的任何定理只适用于罕见的完美三角形，无论它们在哪里（这是笛卡尔曾经提出的一个命题）。
为了增加本体论中确切三角形实例的数量，一些学者转向《形而上学》第十三章第三节，亚里士多德在其中指出存在有两种方式，一种是实际存在的，另一种是在物质上存在的，他可能指的是数学实体存在于连续体中作为潜在性。因此，完美的线在沙子中潜在存在，即使我画的那条线不是完美的。（一些人还在《形而上学》第九章第九节中找到了对此的支持。）因此，虽然现在可能没有实际的三角形，但至少存在无限多个潜在的三角形。困难在于这个论证并不涉及精确性问题。它涉及到对亚里士多德的反对意见，即作为人的人是不可分割的，但几何学研究的是作为可分割的人。由于人是不可分割的，如果可以研究 X qua Y，那么 X 是 Y 的原则就被违反了。亚里士多德说，人在实际上是不可分割的（你不能把一个人切成两半，然后还有人或人们存在），但在物质上是可分割的。X 在物质上或实际上是 Y，就足以研究 X qua Y。尽管如此，这个谜题的解决可能指向了亚里士多德对精确性问题的解决方案。
或者，可以争论亚里士多德允许“X 是 Y”可能只是不精确地真实。例如，我可以研究一个三角形在图 ABC 中作为三角形，但 ABC 只是一个不精确的三角形。许多涉及应用科学的希腊文著作为了数学操作的目的设立了方便但错误的前提，包括亚里士多德自己对彩虹的描述（《气象学》第三章第五节）。因此，通过潜力来获得更精确的三角形将无法消除这些明显违反 qua-realism 的情况。
在提供他的科学精确度等级时，亚里士多德可能认为通过过滤更多属性可以获得更高的精确度。在几何学中，可以找到比在运动学中更精确的直线。除了位置的模糊性外，不清楚他是否有意这样做（见上文第 7.2 节）。
一种可能性是亚里士多德认为，如果一个描述中有更多的属性被排除在考虑之外，那么所研究的实体在实际上会有确切地满足 qua-realism 的实例。例如，存在着精确的单位、角或点的实例，使得算术和几何学是精确的，而天文学可能不那么精确，因为行星是不精确的点，但是以点的方式进行研究。
我们的困难在于，虽然亚里士多德提出了精确性的问题，但他并没有明确解释他的解决方案。
7.5 可理解的物质（noêtikê hylê）
可感知的大小具有可感知的物质。青铜球体是一个可感知的大小。为了解决多样性问题，亚里士多德需要有许多具有相同形式的三角形。由于可感知的物质不是所考虑的对象的一部分（在抽象或去除中），他需要有一个物质的概念，这个物质是对象的物质：青铜球体减去青铜（可感知的物质）。由于这个对象必须是一个复合个体，以区别于具有相同形式的其他个体，它将具有物质。他称这样的物质为可理解的或数学的物质。亚里士多德在《形而上学》的中间篇章、《物理学》第四卷和《心灵论》第一卷中至少有四种不同的可理解物质的概念。
一个量的形式是它的极限（《形而上学》第 5.17 章）；因此，物质是在量的极限之间的东西，即它的延伸（《物理学》第 4.2 章）。
物质是种类，例如，对于三角形来说，大小（而不是可感知的大小）是种类（例如，《形而上学》第 5.28 章，第 8.6 章）。
可感知的量的“非可感知”物质，存在于可感知的物质中（《形而上学》第 7.10 章，参见《心灵论》第 1.1 章）。
数学对象的部分不包含在对象的定义中，例如，锐角不在直角的定义中，但是它是直角的一部分，因此是角的一个不可感知的物质部分（《形而上学》第七章第 10、11 节）。
（1）和（3）是兼容的；（2）可能是一个独立的概念，与定义的统一性更相关，并且与（4）不兼容；亚里士多德将（3）和（4）视为相同的概念。由于亚里士多德在讨论（4）时关注的是定义的部分的性质，而不是关于扩展物质的问题，因此不清楚非定义部分是潜在的扩展部分还是仅仅是扩展部分的形式，尽管前者似乎更合理。
8. 通用数学
作为对存在本身和神学的讨论的附属，亚里士多德提出了与数学的类比。如果类比是指存在一个超级科学，涵盖所有连续的大小和离散的数量，比如数字，那么我们应该期望希腊数学家构想了一个通用的数学学科，作为代数的先驱，笛卡尔的 mathesis universalis（通用学习/数学）和数理逻辑。
亚里士多德报道（《后分析学》i.5，参见《形而上学》xiii.2）数学家证明了诸如 a：b = c：d => a：c = b：d（alternando）这样的定理，分别适用于数字、线、平面和立体，现在有一个单一的普遍证明适用于所有情况（见第 3 节）。普遍证明的发现通常与欧多克索斯的比例理论相关。对于亚里士多德来说，这引发了一个问题，因为科学涉及到一个类别或种类，但似乎没有包括数字和大小的种类。一些学者提出，一种关于“量度学”（数量学）的普遍科学以整个数量范畴为其对象。
亚里士多德似乎更加保守，将这些证明描述为涉及线条等，作为具有某种增量的对象（《后分析学》ii.17）。他似乎确定了这样一个超级数学（《形而上学》vi.1，xi.7），但似乎暗示它没有以确定的种类为对象。另一个可能性是，这个通用科学具有适用于不同数学种类的类比定理。
在其他地方（形而上学 xi.4）中，亚里士多德在建立与存在本身相关的科学的类比时，似乎暗示普遍的数量证明（包括数字在内）涉及连续的数量（与形而上学 iv.3 中类似的段落不同）。如果是这样，并且这是亚里士多德的观点，那么它将对应于关于比例的一般理论，正如它传承给我们的那样。人们不禁要想，学者们是否被关于普遍证明的夸张所误导。
具有讽刺意味的是，现存的希腊数学中没有亚里士多德式的普遍数学的痕迹。在欧几里得的《几何原本》第五卷中，关于大小比例的理论与第七卷和第八卷的数字比例处理完全分开，即使几乎所有第五卷的证明都可以直接应用于数字。例如，欧几里得提供了比例的单独定义（第五定义 5 和第七定义 20）。与上面的规则（alternando）进行比较，该规则在第 16 定理中得到证明，而根据乘法的交换性和第七定理 19，该规则对于数字来说是显然成立的：ad = bc ⇔ a : b = c : d。
9. 大小的位置和连续性
在柏拉图的学院中，一些哲学家认为线由不可分割的大小组成，无论是有限数量的（由不可分割的线组成的线）还是无限数量的（由无限点组成的线）。亚里士多德建立了连续性和几何对象的无限可分性理论。亚里士多德否认了这两种观念。然而，他需要对连续大小给出一个解释，同时也要避免这些理论试图避免的悖论。他的解释的要素主要可以在《物理学》第四章 1-5 节和第五章 1 节和第六章中找到。亚里士多德的解释涉及可感知的大小。然而，很明显，他也理解这适用于数学中的大小。
亚里士多德对将线看作由实际点组成（同样，平面由线组成等）有许多异议，包括：
线上的任何一个点都不与另一个点相邻。
如果一条线由实际点组成，那么要移动一个距离，物体将需要完成无限多个任务（正如芝诺对运动的论证所暗示的）
说一条线由无限多个潜在点组成，不过是说一条线可以在任何地方被划分（用切线器、用思维等等），任何潜在点都可以被实际化。一条线的连续性在于线上的任何实际点将连接起线段的两侧。否则，说一个潜在点实际上连接两条潜在线是没有意义的。
假设我有一条线段 AB，并在 C 处切割它。线段 AC 和线段 CB 是不同的。C 是一个点还是两个点？
C 是一个点的数量。 C 在其存在或公式（logos）中是两个点。
这仅仅意味着我们可以根据需要处理它一次、两次或多次。请注意，亚里士多德对于连续比例也是这样说的。在 a：b = b：c 中，b 在存在上是一个量，但被用作两个。
有关更多信息，请参阅以下补充文件：
10. 单位（monas）和数字（arithmos）
10.1 背景
希腊数学家倾向于将数字（arithmos）视为单位的多样性。也许一个更好的翻译，不受我们根深蒂固的观念束缚，应该是“计数”。他们的概念包括：
数字是由可计数的实体单位（monas）构成的。
数字更像是单位的连接，而不是集合。为了与现代对数字的处理形成对比，希腊的一对或两个数字既不是三个数字的子集，也不是三个数字的成员。它是三个数字的一部分。如果我说有十头牛饿了，那么我并不是说一个集合饿了。或者再举一个“集合”的用法，我的 12 件茶具套装在柜子里，而不是在一个抽象的宇宙中。同样，这十个单位是这二十个单位的一部分：
一个（一个单位）通常不是一个数字（但亚里士多德在这个问题上持矛盾态度），因为一个数字是多个单位的集合。
至少在关于数字的理论讨论中，一个分数部分不是一个数字。
换句话说，数字是系列的成员：2、3、...，其中 1 被构想为数字的“起点”（archê）或最小的数字。
在早期的希腊数学（公元前 5 世纪），数字是由鹅卵石的排列表示的。后来（至少在公元前 3 世纪），它们被均匀分割的线所代表。
对于亚里士多德及其同时代人来说，理解数字和算术存在几个基本问题：
数学的精确性问题在几何实体和单位的情况下是相似的（见第 6 节）。例如，考虑柏拉图对一个手指的不兼容特征的讨论，它可以呈现给视觉一个或两个事物。亚里士多德在他对测量的讨论中处理了这个问题（见第 10.1 节）。
可分离性问题与几何学相同（见第 6 节）。
数学的多样性问题（第 6 节）在几何实体和单位的情况下是相似的，但也有一些差异。要计算“可感知”的单位，或者更确切地说是从抽象中得到的单位（参见第 7.1 节），需要一些个体化单位的原则，即正在计算的是什么，无论是牛还是谓词的范畴。亚里士多德说，人们总是可以找到一个合适的分类（我们可以假设某些分类可能相当复杂，但这最多只是一个审美问题，而不是逻辑问题）。对于单位，人们将使用允许个体化三角形的相同原则。这就是为什么亚里士多德可以将点描述为具有单位位置的。算术涉及以不可分割的方式研究实体。
数字的统一问题：这个问题困扰着从柏拉图到胡塞尔的数学哲学。是什么使得一组单位成为我们所认定的数字的统一体？它不能仅仅是单位的物理并置。它只是心理规定吗？
亚里士多德似乎并不为此困扰：
重叠问题：当我将这个 3 和这个 5 相加时，如何保证正确的结果不是 5、6 或 7，即这个 3 中的一些单位也不在这个 5 中。
亚里士多德提出了三种学院派对这些问题的解决方案。如果单位可以一起计数（例如田野上的十头牛），则它们是可比较的。如果在概念上不可能将它们一起计数，则它们是不可比较的（这是一个不太直观的概念）。
不可比较的单位：形式数字被构想为序数，单位被构想为被很好地排序。使得这个数字 3 的不是它是三个单位的串联，而是它的单位是这个单位系列中的第三个单位。因此，说前三个单位形成了数字三的统一是完全错误的。普通的串联，例如一群牛，十头牛之所以是十头牛，是因为它们可以按照形式数字的系列进行计数。不可比较数字的概念缺乏将数字构想为单位的串联的基本概念。
可比较/不可比较的单位：形式数字当然是特殊的。每个形式数字都是单位的完整统一体。例如，数字 3 的形式是三个单位的统一体。由于它是一个统一体，这三个单位形成这个统一体并不是偶然的。它们在某种意义上是可比较的，因为它们一起构成了“三本身”，并且可能无法单独构想。因此，它们不能是任何其他形式数字的一部分。我们不能从“三本身”中取出 2 个单位，然后将它们添加到“六本身”的 4 个单位中，以得到“七本身”的形式数字。迈尔斯·伯尼特曾经提出了一个类似于一副扑克牌的序列的类比，比如方块。从 A 到 10 的每张牌上都有相应的方块（从 1 到 10），它们通过在各自的牌上存在而统一。然而，我们不会从二和三中分别数出两个方块，而是将每张牌视为一个完整的统一体。
可比单位：这些是中间或数学数字（见第 6 节）。有无限多个单位（足够进行算术运算），它们被排列等等。可比数字解决了多元性问题，但没有解决统一性问题。
亚里士多德报道称，一些学院派选择了不可比或可比/不可比单位的版本来解决统一性问题，并将可比单位引入数学定理的对象，例如，给定一些可比单位，即使它们可以被分成两半，也可以分成两个对应于（参与）相同形式-数字的连接。
10.2 测量（metron）
10.2.1 背景
希腊人使用了埃及的分数系统。除了 2/3 之外，所有的分数都是适当的部分，现代读者会将其视为单位分数：1/n。例如，2/5 可以表示为 1/3 1/15（即 1/3 和 1/15 的和）。此外，希腊人像我们一样使用度量系统，其中度量单位被分割成更精细的单位。1 英尺等于 16 个手指宽度（英寸）。因此，我们可以通过使用更精细的度量单位（1、1/2、1/4 英尺或 1 英尺 12 英寸）来消除分数。这种度量的特点可能反映在柏拉图的观察中（《理想国》第七卷），即在算术中，我们总是可以消除单位的部分。
10.2.2 亚里士多德的观点
由于亚里士多德（尤其是《形而上学》x.1-2）在讨论单位（因此是数字）时处理了测量问题，因此精确性问题变成了解决精确测量单位的问题。因此，在离散数量（例如牛）的情况下，单位非常精确，即一头牛。在连续数量的情况下，最精确的时间单位是固定星星（宇宙中最快的事物）移动最小可察觉距离所需的时间。但是，一个没有位置的点或不可分割的单位，即数学单位，是精确的。
10.3 时间
亚里士多德对时间的处理（《物理学》iv.10-14）包括一些关于数字的观察，这些观察最接近于对数字的解释。亚里士多德将时间定义为变化的数量或计数，然后进一步区分了数字的两个意义，即被计数的事物（例如，以牛单位测量的十头牛，或以英尺单位测量的十英尺）和我们用来计数的东西。时间是第一种意义上的数字，不是作为这么多变化的数量，而是作为由变化单位测量的这么多变化。亚里士多德澄清了被计数的事物（或可计数的事物）与我们用来计数的事物之间的区别。这五只黑猫（作为被计数的事物）与这五只棕猫不同，但它们的数量（作为我们用来计数的事物）是相同的。
但是我们计数的数字是什么呢？亚里士多德没有提到，但我们可以推测，我们计数的五个是使五只黑猫成为五只的单一形式解释，也是使五只棕猫成为五只的单一形式解释。因此，亚里士多德可能订阅了亚里士多德版本的中间数和形式数之间的区别。
亚里士多德对时间的讨论也让我们对统一问题有了一些了解。使五只黑猫统一的是它们可以被视为一个整体。因此，对于亚里士多德来说，没有思维就没有数字。除非存在一个计数器，否则没有什么是可计数的。
11. 数学和假设必然性
通常认为，对于亚里士多德来说，数学解释在自然研究中，特别是生物学中没有任何作用。这种观念主要是晚期文艺复兴时期反学院派的产物，他们试图在自己的机械论和学院派之间拉开最大的鸿沟。数学在两者中都起着至关重要的作用。数学进入生物学解释的主要方式是通过假设的必要性：
如果 X 具有特征 Y（对 X 有益），那么 Z 成为其物质的特征是必然的。
Z 可能是由数学事实决定的约束。例如，动物天生没有奇数只脚。因为如果有奇数只脚，它会走路笨拙，或者脚的长度会不同（《动物行走论》第 9 章）。要理解这一点，想象一个等腰三角形并画出一条高线。
12. 无限（无限）
亚里士多德在数学和物理学中著名地拒绝了无限，但也有一些值得注意的例外。他这样定义它：
无限是那个总是可以拿出一些东西的东西。
在这个概念中，隐含着一个无尽的大小系列，可以通过将一个大小分割（无限的除法）或将一个大小加到它上面（无限的加法）来实现。这就是为什么他将无限看作是与物质解释有关的，因为它是不确定的，并涉及潜在的切割或连接（参见第 7.5 节）。
亚里士多德认为，在大小的情况下，无限大的大小和无限小的大小是不存在的。事实上，他认为宇宙的大小是有限的。他还同意阿那克萨哥拉的观点，即对于任何大小，都可以取一个更小的大小。因此，他允许在不同的意义上存在无限大小。由于总是可以将一个大小分割，所以分割的系列是无尽的，因此是无限的。这是一个潜在的，但从未实际存在的无限。每个分割都潜在地存在。同样，由于总是可以将一个小于整个宇宙的有限大小不断加上比它更小的大小，所以在加法中存在一个潜在的无限。那个系列也永远不需要结束。例如，如果我在某个大小上加上一块脚板，然后再加上不到半英尺，然后再加上不到四分之一，依此类推，所添加的总量永远不会超过两英尺。亚里士多德声称数学家从不需要其他关于无限的概念。
然而，由于亚里士多德认为宇宙没有起源且永恒存在，因此可以推断过去存在着无限多的日子。因此，他对于大小的实际无限的拒绝似乎不适用于时间的概念。
有关更多信息，请参阅以下补充文件：
13. 亚里士多德与数学历史的证据
正如哲学家通常所做的那样，亚里士多德引用了当代数学中的简单或熟悉的例子，尽管我们应该记住，即使是像欧几里得的《几何原本》中所找到的基本几何学也是高级研究。数学的普通教育可能包括基本的算术运算（可能被称为 logistikê）和测量几何学（在给定图形的某些尺寸的情况下，找到其他尺寸），这也是在埃及教授的。亚里士多德偶尔提到这种数学，但他的大部分例子来自我们所熟悉的希腊数学，即根据给定的图形和规则构造图形，并证明图形具有某些属性，以及“发现”具有某些属性的数字或证明某些类别的数字具有某些属性。如果我们仔细注意他的例子，甚至可以看到他所教授的学院的初等几何学的初步图景。在补充中提供了他最喜欢的二十五个命题（列表不是详尽无遗）。
亚里士多德还提出了一些确实有问题的数学论断。他对当代工作一无所知吗？为什么他忽视了他那个时代的一些重大问题？有没有任何理由期望亚里士多德例如提到圆锥曲线？尽管如此，亚里士多德确实从事一些原创和困难的数学工作。在这方面，亚里士多德比他的导师柏拉图更像是一位积极的数学家。
有关更多信息，请参阅以下补充文件：
Glossary
The standard English translation is given first, and, where appropirate, other more idiomatic translations. Greek is in parentheses.
a this (tode ti)
abstraction, by removal, by subtraction, by taking away (aphairesis)
axiom (axiôma)
common notion (koinê ennoia)
definition (horismos), (horos)
hypothesis (hupothesis)
infinite (apeiron)
intelligible matter (noêtikê hulê)
intermediates (ta metaxu); also mathematicals (ta mathêmatika)
of everything (kata pantos)
per se, in virtue of itself (kath hauto)
per se accidens, per se accidents or per se consequences (kath’ hauto sembebêkôs)
posits (thesis)
postulate (aitêma)
qua, in respect that, because of the fact that — also sometime translated as ‘in so far as’ (hêi)
subalternate (hupo)
unit (monas)
universal (katholou)
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