边界 boundary (Achille Varzi)

首次发表于 2004 年 2 月 9 日星期一；实质性修订于 2023 年 7 月 5 日星期三

我们每当想到一个与周围环境分隔开来的实体时，就会想到一个边界。边界（一条线）分隔着马里兰州和宾夕法尼亚州。边界（一个圆圈）隔离了圆盘的内部和外部。边界（一个表面）围绕着这个苹果的大部分。有时边界的确切位置不清楚或存在争议（例如，当您尝试勾勒出沙漠的边界、山脉的边缘，甚至是您自己身体的边界时）。有时边界与任何物理不连续性或质的差异都不一致（例如怀俄明州的边界，或均匀球体的上半部分和下半部分之间的边界）。但无论是清晰还是模糊，自然还是人为，对于每个物体似乎都有一个边界将其与世界其他部分区分开来。事件也有边界——至少有时间边界。我们的生命被出生和死亡所限制；足球比赛在下午 3 点准时开始，并在下午 4 点 45 分裁判的最后哨响结束。有时甚至暗示即使抽象实体，如概念或集合，也有自己的边界（例如通过简单封闭曲线来包围其内容来表示后者的流行方法，如欧拉圆和文氏图），维特根斯坦曾坚定地宣称我们语言的边界就是我们世界的边界（1921 年：命题 5.6）。然而，所有这些关于边界的讨论是否连贯，以及它是否反映了世界的结构，还是仅仅反映了我们的思维活动，或者我们的集体实践和惯例，这些都是深层哲学争议的问题。

1. 问题

欧几里得将边界定义为“任何事物的极限”（《几何原本》，I，定义 13）。亚里士多德将事物的极限定义为“超越它不可能找到任何部分的第一件事物，以及每个部分都在其中的第一件事物”（《形而上学》，V，1022a4–5）。这两个定义共同构成了关于边界的经典解释，这一解释既直观又全面，为进一步探讨边界概念提供了自然的起点。事实上，尽管亚里士多德的定义主要涉及空间实体的极限，但它同样适用于时间领域。正如梅森-迪克逊线标志着马里兰州和宾夕法尼亚州之间的边界，因为在该线的北侧找不到马里兰州的任何部分，在其南侧找不到宾夕法尼亚州的任何部分，所以“现在是过去的极限（未来的任何部分都不在它的这一侧），再次是未来的极限（过去的任何部分都不在它的那一侧）”（《物理学》，VI，233b35–234a2）。对于具体的对象和事件也是如此：正如苹果的表面标志着其空间边界，因为苹果仅延伸到它，裁判的哨子标志着比赛的时间边界，因为比赛仅延伸到它。对于抽象实体，如概念和集合，这种解释或许只是比喻性地足够。然而，值得注意的是，希腊语中“边界”的一个词 ὅρος 也是“定义”的一个词：正如达马斯科的约翰所说，“定义是指土地边界的设定，这是一个比喻性的说法”（《知识之源》，I，8）。同样，在点集拓扑学中，对集合边界的标准定义（来自豪斯多夫 1914 年，§7.2）基本上反映了相同的直觉：集合_A_的边界或前沿是那些所有邻域既与_A_又与_A_的补集相交的点的集合（其中点_p_的邻域直观上是完全“围绕”_p_的点的集合）。因此，可以说欧几里得-亚里士多德的表征捕捉了一个普遍适用的关于边界的直觉。然而，正是这种直觉性的表征引发了几个问题，这些问题证明了哲学上的关注是正当的。

1.1 拥有 vs. 未拥有的边界

第一类谜团涉及到边界_分隔_两个实体，或同一实体的两个部分，然后被说成是_接触_彼此。根据史密斯（1997a: 534）的观点，想象我们从马里兰州去宾夕法尼亚州。当我们穿过梅森-迪克逊线时会发生什么？当我们穿过马里兰州的最后一个点_p_和宾夕法尼亚州的第一个点_q_时会发生什么？显然不会，考虑到连续体的密度。正如亚里士多德所说，没有两个点可以“相继”地位于彼此之间（物理学，VI，231b6–9），因此我们必须承认在_p_和_q_之间有无限多的进一步点，因此在两个州之间，与它们接触相反。但同样明显的是，我们几乎无法承认只有一个_p_或_q_的存在，这是标准数学对连续体的处理所要求的；任何一种选择都将导致对一个州优先于另一个州的奇怪偏袒，这是一种不可接受的任意不对称。而且我们似乎也不能将_p_等同于_q_，因为我们谈论的是两个_相邻_的州；它们的领土不能有任何共同的部分，甚至没有尖锐的部分。那么，梅森-迪克逊线在_哪里_，它如何与它分隔的两个相邻实体相关联？

这个谜团可以被概括。考虑达·芬奇在他的_笔记本_（1938: 75–76）中提出的困境：是什么将大气与水分开？是空气还是水？或者考虑苏亚雷斯在_争论_（40，V，§58）中的担忧，皮尔斯反复引用（1892: 546; 1893: 7.127）：黑点与其白色背景之间的分界线是什么颜色？也许在第二种情况下可以通过图形/背景考虑来提供答案，基于边界始终属于图形的原则 — 背景在拓扑上是“开放”的（杰克恩多夫 1987，附录 B）。但是当涉及到同一黑点的两个相邻半部时，什么是图形，什么是背景？当涉及到马里兰州和宾夕法尼亚州时，什么是图形，什么是背景？当海鸟潜入水中会发生什么？的确，自然而然地会认为所有同类实体的行为都是相似的 — 例如，所有物质体都是图形实体，每个都有自己的边界。但是，那么，除非可以穿透，任何两个实体如何才能或_进入_接触？（在这种最后形式中，这个问题可以追溯到塞克斯都·艾米留斯，反对自然哲学家，I，258–266，并在最近的文献中广泛讨论；例如，见克莱恩和马瑟森 1987，戈弗雷 1990，哈森 1990，齐默曼 1996b，兰格 2002，§1.3，哈德森 2005，§3.1，基尔伯恩 2007，谢里 2015。）

考虑一下柏拉图在时间边界方面的经典难题（巴门尼德, 156c–e）：当一个物体开始运动，或者一个运动的物体停下来时，它是在运动还是静止？正如亚里士多德后来所说，这个问题之所以出现，是因为“同时即是两个时间的极限”，因为“如果每个极限都不同，那么一个就不能接续另一个”（物理学, VI, 234a5–6）。当然，有人可能主张在瞬间内没有运动，只有在一段时间内才有，就像亚里士多德本人所认为的那样（231b18–232a18, 234a24–b9）。然而问题仍然存在：过渡时刻属于运动间隔还是休息间隔？（关于这个难题的版本，请参见 Medlin 1963, Hamblin 1969, Strang 1974, Kretzmann 1976, Sorabji 和 Kretzmann 1976, Sorabji 1983, ch. 26, Mortensen 1985。）

此外，这个问题并不仅限于运动和静止之间的过渡，并且存在几种变体，似乎抵制亚里士多德的解决方案。例如，盖利乌斯告诉我们，中期柏拉图学派非常关注一个平行问题，即一个垂死的人是在已经被死亡所控制时死去，还是在他们仍然活着时死去（雅典夜谭, VI, xiii, 5–6）。人们认为这是一个真正的无解之谜，除非承认没有人会永远死去的荒谬（塞克斯都的经验主义者, 反对自然哲学家, I, 269），后来的柏拉图学派、中世纪和现代哲学家讨论的许多变体也可以这样说（请参见 Strobach 1998 和 Goubier 和 Roques 2018）。归根结底，这个难题不仅仅是瞬时变化悖论性质的一个主要例证（关于这一点，请参见变化和矛盾性条目）。

1.2 自然边界与人为边界

一个与之相关的第二类难题涉及亚里士多德的仅部分（基于部分的）定义，以及它所捕捉到的常识直觉似乎只适用于连续实体的领域。除了上述困难之外，认为马里兰州和宾夕法尼亚州被梅森-迪克逊边界所界定是相当合理的。但是，可以观察到，普通的物质对象并非真正连续，谈论一个物体的边界就像谈论一个行刑者钉床的“平顶”（Simons 1991: 91）。经过更仔细的检查，物理对象的空间边界是围绕着亚原子粒子群的想象实体，它们的确切形状和位置涉及到与通过“连接点”获得的图纸一样程度的理想化，与从分散和不精确数据中平滑出的任何数学图形一样程度的任意性，与塞尚画作中的图形轮廓一样程度的抽象性。同样，经过更仔细的检查，一个物体的运动意味着无数不安分的粒子的运动矢量和时间平均值的矢量和不为零，因此谈论物体停止运动的“瞬间”是毫无意义的（Galton 1994: 4）。所有这些都可以看作是对第 1.1 节的广义难题的好消息，这些难题甚至无法启动（至少在上述形式中；请参阅 Smith 2007 和 Wilson 2008 以获取相关资格）。但随之而来的问题是：我们的边界讨论只是一种“说法”吗？即使涉及梅森-迪克逊边界 —— 更一般地说，那些划分连续流形相邻部分的边界，就像一个个体认知主体将一个黑点概念化为由两半组成时 —— 人们也可以提出它们的本体论地位的问题。这些边界是令人困惑的；但它们是真实的吗？毕竟，它们完全源自我们的社会实践和我们智力的组织活动。因此可以争辩说，对它们客观性的信仰体现了一种需要理由的形式的形而上学实在论。这些边界真的存在吗？

我们可以在这方面引入一个概念上的区别，即“自然”或_真实_边界，这些边界在某种程度上是客观的，因为它们根植于实体与其周围环境之间的某种物理不连续性或质的异质性，以及“人为”或_法定_边界，这些边界并非根植于自主的、独立于心智的世界（Smith 1995，基于 Curzon 1907）。英国的海岸线，或将黑点与白色背景分隔开的边界，可能是前者的例子，但地缘政治边界如梅森-迪克逊线，或将黑点的上半部分与下半部分分隔开的边界，显然属于后者。此外，正如_法定_边界可能涉及将较大整体划分为适当部分一样，当我们将许多较小实体围绕成较大整体时，它们通常也在起作用：想想 Benelux 或波利尼西亚，但也想想我们如何轻松地将世界描绘为由森林、蜂群、星座组成，或者将我们的行动分组为棒球比赛、选举活动、战争等（Smith 1999b）。现在，因为它们并非真正连续，即使是普通物体的表面——因此个体树木、个体蜜蜂、个体星星的边界——也可以说涉及与同类的_法定_划分。（参见 Goodman：“我们制造星星的方式与我们制造星座的方式相同，即将其部分组合在一起并标记其边界”；1980：213。）仔细检查，甚至我们个体行动的边界也可以从这个角度看待，事实上，甚至一个人的出生和死亡在某种程度上也反映了传统决定和规定，见证了有关堕胎和安乐死的争议（参见生命和死亡定义条目）。仔细检查，即使是备受推崇的英国海岸线在某种程度上也是由我们确定的，见证了其客观长度和位置的传说般难以捉摸（Mandelbrot 1967）。因此，问题出现了：是否存在任何自然的、独立于心智的、真正的_真实_边界？自然/人为的区别在直觉上是清晰的；但它有多牢固？是否有任何概念真正地“在关节处”切割世界，如柏拉图的屠宰指南所述（《斐德罗》265e）？如果没有，我们对边界谈话的_法定_性质是否足以证明我们对边界持一种反现实主义的态度？

问题具有深远的影响。一旦_fiat/bona fide_对立被认可，就清楚地表明，它不仅可以与边界相关联，还可以与那些可能被认为_有_边界的实体相关联（Smith and Varzi 2000; Smith 2001, 2019; Tahko 2012; Davies 2019）。如果它们的边界（部分）是人为的——如果它们反映了通过人类认知和社会实践实现的现实表达——那么这些实体本身可以被视为概念建构，是我们创造世界的产物，因此_fiat_边界的本体论地位问题与普通对象和事件的约定地位问题密切相关。这并不意味着我们最终得到了虚构或其他不真实的整体：正如弗雷格所写，北海的客观性“并不受到这样一个事实的影响，即我们任意选择地球表面所有水中的哪一部分并决定称之为‘北海’”（1884，§26）。或者如詹姆斯所写，回应米开朗基罗：“心灵对接收到的数据进行处理，就像雕塑家对他的石块进行雕刻一样；在某种意义上，雕像从永恒中就立在那里”（1890: I/188）。然而，这意味着所讨论的实体只有在我们的选择性干预下才能享有个体性：它们的客观性独立于我们，但它们的个体性——它们是什么样的事物，甚至它们具有的身份和持续条件——将取决于我们的选择以及我们的识别和重新识别标准（Sidelle 1989; Heller 1990; Zerubavel 1991; Jubien 1993; Varzi 2011, 2016; Azzouni 2017; Piras 2020）。

这些影响远不止于形而上学的关切；它们横跨各个领域，特别是因为我们倾向于将最符合我们狭隘利益的那些边界称为“自然”。例如，在地缘政治领域，某些边界被声称是由自然之手，甚至是上帝之手划定的修辞，这已经导致了我们历史上一些最悲惨的变迁，即使是柯尔宗勋爵——英国帝国主义的典范——也承认这一点（1907: 54）。关于这个话题，现在已经有大量文献，主要源自 Reclus（1905–1908）、Febvre（1922）和 Ancel（1938）的经典著作（参见 Broek 1941，以及最近的综述，Rankin 和 Schofield 2004 以及 2010 年秋季）。但类似的考虑也适用于我们在各种领域犯下并继续犯下的各种暴行。每当我们欺诈和偷偷地援引柏拉图的雕刻准则，每当我们谴责持有与我们不同观点或实践的人为“恶劣的屠夫”，好像他们是“违背自然”的时候，这种修辞就在起作用。这并不意味着这些准则本身是腐败的；现实主义者仍然可以谨慎地认真对待它们。但有没有一种可行的方式来实施它们，而不考虑我们的意识形态、文化和个人偏见？我们几乎不可能在一个明显由我们划定的边界上赋予“法定”地位；但谁能审查自然接合的客观性？最近在女性主义形而上学和认识论、种族哲学和社会学领域的研究已经将这些问题提到前台（参见 feminist metaphysics、feminist epistemology and philosophy of science、race，以及 critical philosophy of race 的条目）。任何边界理论都不能忽视这些问题。

1.3 锐利边界与模糊边界

第三个担忧与模糊性有关。亚里士多德的定义（以及标准拓扑学）表明，事物的内部和外部之间总是有明显的边界。然而，可以观察到普通物体和事件，以及许多普通概念的延伸，可能在某种意义上具有模糊或不确定的边界。云，沙漠，山脉，更不用说印象派绘画的形象，似乎都逃避了一个清晰边界实体的理想化概念。同样，许多事件的时间边界，更不用说它们的空间边界，似乎是不确定的。工业革命究竟是什么时候开始的？它什么时候结束？它发生在哪里？而且，许多普通谓词对应的概念，如“秃头”或“一堆”，也没有明确的边界。正如弗雷格所说，对于这样的概念似乎对应着“一个区域，它的边界并不完全清晰，而在某些地方只是模糊地褪色到背景中”（1903 年：§56）。如何解释这种模糊性呢？

一个激进的选择是完全摒弃这个问题。例如，维特根斯坦敦促说，“一个不明确的边界实际上根本不是边界”（1953: 45e）。或者，人们可能坚持认为问题纯粹是认识论的：模糊性完全在于我们对相关边界的确切位置的无知，而这些边界本身将是完全清晰的（Sorensen 1988; Williamson 1994）。然而，从表面意义上看，这个问题是极具争议的。人们可以广义地区分_de re_解释和_de dicto_解释。在_de re_解释中，模糊性确实是本体论的。因此，与 Evans（1978）相反，例如，珠穆朗玛峰的边界会是模糊的，因为关于哪些土地位于哪一侧没有客观、确定的事实（Tye 1990; Copeland 1995; Morreau 2002; Hyde 2008）。同样，诸如“秃头”的谓词会是模糊的，因为它代表一个模糊的集合，一个真正具有模糊边界的集合（Zadeh 1965; Goguen 1969）。因此，一个开放的问题是，这种边界的模糊性是否会导致相关有界实体的身份条件的相应不确定性（例如，参见 Noonan 2008 与 Paganini 2017），就像它是否会导致某些（其他）实体的存在条件的客观不确定性一样，比如珠穆朗玛峰与其明确部分的整体差异（例如，参见 Hawley 2002 和 Donnelly 2009）。相比之下，_de dicto_解释将对应于模糊性的纯粹语言或概念概念。在这种观点中，没有模糊的边界划定珠穆朗玛峰；相反，有许多不同的土地，每个都有明确的边界、明确的存在和身份条件，但我们的语言实践并没有强制选择其中任何一个作为“珠穆朗玛峰”一词的官方指称（Mehlberg 1958; Lewis 1986; McGee 1997）。同样，在这种观点中，没有模糊划定的秃头人群；相反，我们的语言规定并没有准确指定哪个人群，从众多存在的人群中，对应于“秃头”的外延（Fine 1975; Keefe 2000）。

无论给定边界的模糊性应该被解释为_de re_还是_de dicto_可能是一个案例-by-case 的问题。没有人认为所有的不确定性都是世俗不稳定的问题，相反的说法是，边界的不确定性总是语义或表征不精确的产物，尽管它有着卓越的渊源（Russell 1923），这一说法引起了高度争议。此外，还有第三种中间立场，根据这种立场，存在着真正的本体不确定性，但它并不在于边界本身；它更可能在于边界属性的可确定性/确定性结构（Wilson 20123），或者在于确切边界是哪些事物具有的本体不确定性（Akiba 2004；Barnes 2010；Abasnezhad 和 Hosseini 2014）。然而，一般来说，_de re/de dicto_的选择似乎与_bona fide/fiat_的对立密切相关。对于_fiat_类型的模糊边界，_de dicto_的解释自然而然地显现出来：由于导致边界定义的过程可能不精确，关于某物是否在边界内或外的问题可能在语义上是不确定的。另一方面，这种解释并不适用于_bona fide_类型的边界。如果任何这样的边界是模糊的，那么它将独立于我们的认知或社会表达，因此_de re_的解释似乎是不可避免的；边界的模糊性将在世界存在（或不存在）的方式中。因此，似乎边界只有在_fiat_类型的情况下才会遭受_de dicto_的模糊性，只有在_bona fide_类型的情况下才会遭受_de re_的模糊性。

无论如何，为模糊边界留出空间将为每当模糊现象被直接接受时出现的许多困难打开大门。特别是，_de re_和_de dicto_的解释都必须应对提供摆脱索拉特悖论的挑战：如果没有任何单一步骤能够产生差异，我们如何能够跨越模糊边界？并且这两种解释都必须提供一种容纳高阶模糊现象的方法：不仅可能不确定某物是否位于模糊边界的一侧或另一侧；还可能不确定是否不确定它是位于一侧还是另一侧 — 等等。（关于这些问题，请参阅 Sorites paradox 和 vagueness 的条目。）一些作者认为这些挑战是不可逾越的，并且_de re_和_de dicto_的概念同样是错误的。不会有具有模糊边界的词语或实体；每当我们认为有时，我们实际上是在通过严格来说是“无边界”的概念来表征世界（Sainsbury 1990）。

1.4 无体边界 vs. 体积边界

第四个令人担忧的来源与亚里士多德和欧几里得的定义中隐含的直觉有关，即边界是低维实体，即至少比它们所界定的实体少一维。例如，一个（连续的）球体的表面是二维的（它没有“物质”或“可分割的体积”），梅森-迪克逊线是一维的（它有“长度”但没有“宽度”），而诸如锥体的顶点这样的边界点是零维的（它在任何方向上都没有延伸）。这种直觉已经通过约翰逊（1922 年：168；1924 年：163-164）在当代哲学中变得司空见惯，并且与我们通常对边界所说的大部分内容相关。然而，这种直觉在某种程度上是有问题的，因为它与几个独立的直觉相矛盾，这些直觉与常识和哲学理论化是一致的。例如，在认识论中存在一种持续的传统（从摩尔 1925 年到杰克逊 1977 年和吉布森 1979 年），根据这种传统，边界在感知中起着至关重要的作用：我们间接地通过看到它们的表面来看到（不透明的）物体。然而，如何仅仅通过看到部分就能看到整体并不清楚（奇索姆 1957；克拉克 1965），更不用说如何能够字面上_看到_根本没有物理体积的部分（斯特罗尔 1986a，1986b）。同样，我们经常谈论表面，比如可能是有坑洞的、潮湿的，或者可以被刮擦、抛光、打磨等，不清楚这些谓词是否能够应用于非物质实体。在这种情况下，似乎表面（以及边界更普遍地说；参见杰克伦多夫 1991）应被解释为“薄层”，这些“薄层”被_模式化_为比它们所适用的整体更少的维度。在地缘政治领域，我们在普通地图和地图集中找到的边界线实际上可能对应于各种宽度和种类的边界“带”或“区域”（普雷斯科特 1965）。地理学中自然边界的概念经常以河流、峡谷、山脉等为例，这表明了这种倾向。正如拉策尔所说：“边界区域是现实，边界线是其抽象”（1897 年：448）。

可以说，边界被理解为低维实体和被理解为薄层或区域之间的概念张力，反映了日常语言中不可归约的模糊性（Stroll 1977, 1979）。可以说，仅有第一个概念才引发了前述部分中概述的难题；庞大的边界和边界区域可以被视为身体和区域的普通、延伸的适当部分。然而，边界的一般理论应该对第二个概念也有所涉及 —— 更一般地，应该对前一个概念相关的数学理想化与后一个概念的物理、认知和哲学意义之间的相互作用有所阐述（Stroll 1988; Simons 1991; Galton 2007）。

问题还涉及是否存在可延伸的部分整体。古代的原子论者毫不怀疑，德谟克利特（Democritus）著名地认为，现实的最终构成要素虽然不可分割，但却以“大小和形状不同”的无限多样性存在（亚里士多德，《形而上学》，III，203b2）。如今更普遍的假设是，一物的部分整体结构总是完全匹配其时空容器的结构（Varzi 2007 所称的“镜像”和 Uzquiano 2011 所称的“和谐”），这将意味着相反的答案。然而，近年来，有几位作者拒绝了这一假设，认真地重新提出了占据空间和/或时间延伸区域的部分整体的假设（例如 Markosian 1998，Parsons 2000，Simons 2004，Braddon-Mitchell 和 Miller 2006，以及 McDaniel 2007，以及关于位置和部分整体论的条目）。就边界的低维性而言，可以将其解释为在一个或多个维度上是“不可分割的”，而不是在这些维度上是“无延伸的”（这种观念也受到一些中世纪哲学家的鼓励，例如伊本·西那（Ibn Sīnā），《治疗之书》的《神性篇》（Ilāhiyyāt），II，ii，4–6），这种观点将暗示边界的时空延伸可能超越其部分整体结构；边界将缺乏可分割的体积，但仍可能具有可分割的范围。例如，边界点将是尖锐的，因为它没有适当的部分，尽管它可能延伸到一个（小）一维、二维，甚至三维区域。同样，这种延伸的边界将是令人耳目一新的不具问题性的。与其可分割的厚重表亲一样，我们可以轻松解释我们如何看到它们，例如，擦拭它们，划伤它们等。然而，它们也会引发自己的问题。首先：这样的边界如何连接到它们所界定的事物？是否会有进一步的、无延伸的边界分隔两者（并匹配相应容器之间的无延伸边界）？对于具有可分割体积的边界，后一个问题的答案显然是肯定的。然而，对于延伸的不可分割边界是否应该适用相同的答案，这是一个悬而未决的问题。

2. 理论

2.1 现实主义理论

关于边界的大多数现实主义理论将其解释为低维实体，认为这些实体是本体寄生物：点、线和表面不能被分开，也不能孤立存在于它们所界定的实体之外（_见_苏亚雷斯，他认为上帝有能力创造这样的奇迹；参见《争论》40，V，§41）。这种观点公正地反映了这样一种直觉，即如果边界是真实的，那么它们比它们所界定的实体“更不真实”，因此它可以追溯到亚里士多德（《形而上学》，XI，1060b12–16），并且已经被博伊修斯（《第二评论》I，xi，14–21）所捍卫，由阿贝拉尔重新提出（《波菲利的注释》8.1–4），最终得到布伦塔诺（1976）及其弟子的支持，尤其是胡塞尔在他的第三篇《逻辑研究》（1901）中。当然，本体依赖的概念本身可以有多种解释（参见科斯利基 2014 年和本体依赖词条）。在边界的情况下，人们普遍认为相关关系是一种严格的存在依赖关系：如果_x_是_y_的边界，则_x_存在的前提是_y_存在（奇索姆 1984，1994）。然而，关于这种严格依赖的低维实体如何与它们所界定的扩展实体相关联，现实主义理论可能存在显著差异。

为了说明，再次考虑第 1 节的第一个难题（拥有 vs. 未拥有的边界）。让_A_和_B_是由共同边界分隔的任意两个扩展实体，例如马里兰州和宾夕法尼亚州。然后我们可以区分四种主要观点（瓦尔齐 1997；施特罗巴赫 1998，第 II 部分）。

(1) 边界可能既不属于 A 也不属于 B。这最终是莱昂纳多的观点（1938: 76），在最近的哲学家中可能是最不受欢迎的（尽管参见例如 Hestevold 1986 和 Schmolze 1996）。这意味着即使 A 和 B 都是拓扑开放的，它们之间也可能存在接触，只要除了它们的共同外部边界之外没有任何东西位于它们之间 — 即，只要 A 的闭包（A 加上其边界）与 B 的闭包（B 加上其边界）重叠。因此，在这个观点下，马里兰州没有最后一个点 p，正如宾夕法尼亚州没有第一个点 q：联邦州严格来说并没有占用整个领土。在时间领域中，这个观点略受欢迎一些（Sorensen 1986），因为它可以被视为提供了一个安静主义者的解决方案，以摆脱第 1.1 节中提到的过渡难题。参见伊壁鸠鲁： “死对我们来说不是什么，因为只要我们存在，死就不在我们身边；但当死来临时，我们就不存在了”（《致墨尼科斯书》，1926: 85）。另一方面，正是基于这样的理由，一些早期的伊斯兰哲学家，例如穆拉·萨德拉，认为实质性变化永远不可能是瞬间的，因此必须是渐进的：因为“无形”的物质是不可能存在的，所以永远不可能有一个东西失去了先前的形态而尚未获得新形态的瞬间（《阿斯法尔》，IV，274）。

(2) 边界要么属于 A 要么属于 B，尽管可能不确定属于 A 和 B 中的哪一个。这一观点建立在波尔查诺对连续体的经典分析之上（1851 年：§66），而这又反映了点集拓扑的标准描述（参见 Kelley 1955）。这意味着只有当 A 或 B 中的一个在相关接触区域内是拓扑闭合的（即包含其自身的边界），而另一个是拓扑开放的时，才可能发生接触，尽管对不确定性的诉诸使得问题仍未解决。这种不确定性，反过来可以被解释为语义的、认识论的，如果不是形而上学的，这取决于相关边界是属于 fiat 类型，如梅森-迪克逊线，还是属于 bona fide 类型。（类似地，在时间领域中；参见例如 Kamp 1980，Le Poidevin 2000，Pickup 2022。）所有这些都可以在不诉诸抽象集合论的情况下加以解释；一个仅有部分整体的拓扑学描述，其中相关的拓扑学区别是通过部分-整体关系来阐明的，提供了一个可行的替代方案（Smith 1996；Casati 和 Varzi 1999，第 5 章；Varzi 2007，§2.4.1），并且可以适当调整以适应甚至是最自由的时空容器观点（Hudson 2001）。然而，这一观点也有其代价。从一个天真的角度来看，开放和（半）闭合实体之间的区别可能看起来是没有根据的，甚至是“怪诞的”（如 Brentano 1976：146 所说）。从形而上学的角度来看，它引入了可能被认为令人不安的不对称性，例如在解释为什么只有不同类型的实体之间才可能发生接触（Zimmerman 1996b），或者为什么每种类型都会具有不同的部分-整体基础特性（Smid 2015；Calosi 2018）。

(3) 边界可能属于_A_和_B_，但相关的重叠之处将是独特的，因为它涉及较低维度的部分。除了第 1.4 节提到的“扩展简单体”观点外，边界并不占据时空，因此在这个观点上，说梅森-迪克逊线既属于马里兰州又属于宾夕法尼亚州并不是不合理的。这可能是亚里士多德自己的立场，根据他的观点，“当每个接触的极限变为一个时，事物被称为连续”，即“在定义上是两个，但在数量上是一个”（《物理学》，V，227a11，VIII，262a20）。然而，在某些情况下，这个理论可能需要对排中律原则进行明确的拒绝（Priest 2006，第 11 章以后；Cotnoir 和 Weber 2015；Weber 2021，§1.3）。例如，关于苏亚雷斯-皮尔斯谜题，如果黑点与其白色背景之间的分界线属于两者，那么它必须既是白色又是黑色。一个解决方法是否认边界作为较低维度的实体能够享有表现在扩展体上的那种性质，颜色性质就是其中之一（Galton 2003：167–168）。然而，目前尚不清楚这种保守策略是否可以概括。例如，关于柏拉图的谜题及其在时间领域中的变体（Priest 1982，1985；Tanaka 1998）：当一个（均匀的）物体从静止转为运动时，它必须既是静止的又是运动的；当某人死亡时，同一个人必须既是活着的又是死的；等等。因此，乍看之下，这实际上是一种理论，会直接引领我们到黑格尔：“极限是中介，凭借它，某物和其他每个都既是又不是”（1833：99）。

(4) 确实存在两个边界，一个属于 A，另一个属于 B，这两个边界是共位的 — 也就是说，它们在空间上重合而没有 mereologically 重叠。这种观点可以追溯到苏亚雷斯，《Disputation》40（但请参见 Schmaltz 2019 和 2020 年，第 3 章，与 Zimmerman 1996a 相对），明显得到布伦塔诺（1976）的认可，并且近年来已经有许多追随者，从里斯（1938）到桑福德（1967）再到奇索姆（1984，1993，1996），史密斯（1997a，1999a），以及鲍曼等人（2014，2016）。这也可能是亚里士多德构想的另一个方面，因为他认为事物可以接触或相邻，而不必像（3）中提到的那种连续：在这种情况下，亚里士多德写道，“它们的边缘是在一起的”，即“在一个主要位置”（Physics，V，226b22–23；详见 Bartha 2001，Pfeiffer 2018，第 7 章，Shatalov 2020，Sattler 2020，第 7 章，以及 Katz 2022 进行广泛讨论）。然而，除了亚里士多德的特殊区分之外，这种观点的主要动机是消除“怪诞”的本体论区分，同时保留接触和重叠之间的重要区别。边界的空间重合当然会违反洛克的不可渗透性原则，即任何时候任何地方存在的东西“排斥所有相同的东西”（Essay，II-xxvii-1）。然而，再次强调，违反将是 sui generis，因为所涉及的实体不占据任何空间，因此人们无需像贝尔那样认为它听起来很荒谬（请参见 Dictionary，art. Zeno，备注 G）。事实上，可以争辩说，基于巧合的解释在建模一些拓扑问题的现象时具有几个派生优势，比如碰撞的可能性或物质体的融合和分裂（Cotnoir 2019）。然而，是否这些考虑足以消除其他担忧，还有待确定。例如，到了线条可以着色的程度，就会得出 — 正如布伦塔诺（1976: 41）明确承认的那样 — 在白色背景上有黑点的存在将产生两个重合的边界，一个黑色一个白色。这会导致灰色吗？（有关讨论，请参见 Massin 2018 和 Nuñez Erices 2019；另请参见奇索姆 1980 和 Strobach 1998，第 II.2 章，关于时间领域中类似的担忧。）

这四种观点是互斥的，但它们不一定是穷尽的，可以进一步阐明或整合，以解决第 1 节中其他难题提出的问题。例如，关于第二个难题（第 1.2 节），史密斯和瓦尔齐（2000）考虑了一种双重理论，对于真实边界属于第（2）类，对于虚构边界属于第（4）类（因此真实边界并不重合，只是虚构表述的重合）。类似地，由第（2）类理论提倡的不确定性假设可以被视为与边界模糊现象（第 1.3 节）中涉及的不确定性相一致。例如，对于虚构边界，可以在两种情况下应用一种逻辑解释：关于这些边界的陈述只有在它们是超真实时才为真，即，在精确化相关虚构表述的每种可接受方式下都为真（瓦尔齐 2001 及引用文献）。还有其他选择。例如，哈德森（2001；2005 年，第 3 章）提供了一个关于边界的解释，允许（1）、（2）和（3）的实例（而不违背非矛盾原则）。也可以拒绝导致上述分类法的基本部分整体关系学设置，以及在（1）-（4）之间进行选择的必要性。例如，布雷斯和德格拉斯（2007）提出了一个形式上的建议，而加尔顿（1996 年，2004 年）、唐纳利和史密斯（2003）以及唐纳利（2003 年，2004 年）提出了处理不同维度边界（例如点与线或表面）的理论，导致“分层”部分整体关系系统。最后，参见克劳斯（2016）提出了一种理论，完全摒弃了边界必须是依赖部分的假设。

2.2 非现实主义理论

非现实主义理论有许多不同种类，特别是在边界的消除可以成为更广泛项目的一部分，这些项目关注社会和认知对日常现实的建构。也许最激进的观点是，边界不应该被实体化，因为它们的特性纯粹是定性的，无论是自然的还是人为的。正如 H. H. Price 曾经说过，“表面_并不存在；只有这样或那样的固体东西被_表面化”（1932: 106）。由此推论，实际上并不存在边界，只有这样或那样被限定的实体。这是直接的本体论消除主义，就像当有人说没有孔洞，只有这样或那样被打洞的物体（Lewis 和 Lewis 1970: 206），或者没有颜色，只有这样或那样被着色的东西（Quine 1948: 29–30）。那么，主要挑战在于超越非正式的建议，系统地处理每一个似乎需要真正实体化的普通句子。每一个涉及边界的名词短语都可以这样去名词化吗？每一个关于边界的量化都可以被重新解释为对被限定对象的量化吗？等等。

然而，大多数情况下，非现实主义的观点集中在重新解释在几何和拓扑理论背景下的普通边界讨论这一更有限的任务上。一般来说，这些观点并不一定表达了一种消除主义的本体论。它们更确切地说是无边界的。更准确地说，它们摆脱了对边界的真正承诺，这些边界被现实主义理论在第 2.1 节中概述的低维实体所认可。这里的共同观念是，从根本上讲，所有这类讨论都涉及某种“抽象”——这个想法早已出现在中世纪和现代反不可分论的辩论中（Zupko 1993；Zimmerman 1996a；Holden 2004；Shapiro 和 Hellman 2021），并通过 Lobačevskij 的《新原理》（1835–1938）进入当代形式理论。最近，这个想法在与宇宙可能由“无原子垃圾”组成的假设相关的讨论中重新引起了人们的关注，正如 Lewis（1991: 20）所称的，即空间和时间或物质，或两者都永远分裂成越来越小的部分（Zimmerman 1996b；McDaniel 2006；Hudson 2007；Russell 2008）。在这里会涉及什么样的抽象？如果这些边界被看作纯粹的抽象，那么我们如何解释我们关于边界的普通和数学讨论呢？

特别涉及时空个体的边界，我们可以区分两种主要方法。（这里我们的分类将会比较粗略；有关更全面的情况，请参见 Vakarelov 2007，Hahmann 和 Grüninger 2012，以及 Gorzka 2003 和 Gruszczyński 2016 的专著。）

(A) 关于时空的实体主义者可能认为，这种抽象是源于特定事物与其时空容器之间的关系，依赖于时空的拓扑结构来解释我们在特定情况下的边界论述。例如，有人认为物质体是空间的开放区域的物质内容，更具体地说是规则开放区域，物体之间的边界接触是通过它们容器的封闭体之间的重叠来解释的。（如果一个开放区域等于其自身封闭体的内部，则该开放区域是规则的。例如，缺乏通常被描述为单个内部点的区域，或者具有内部边界“裂缝”的区域被排除在外。）这种观点可以追溯到笛卡尔（Principles II.15），并且已经被卡特赖特（1975）明确表达过。当然，这确实产生了一种混合解释，一种只消除物质体（以及由此延伸的事件）的边界的解释；它们的容器通常受到标准拓扑结构的约束，其中边界被视为理论（2）中所述。然而，这种观点足以避开第 1 节（特别是 1.1）中的难题，因为假设时空具有标准拓扑结构以及开放和封闭区域之间的区别并没有什么紧迫的问题。对于这一理论来说，主要问题在于证明只有_一些_区域（例如规则开放区域）是容器。（参见 Hudson 2002 对这一观点的挑战，以及 Uzquiano 2006 对其的辩护。）另一方面，还有更激进的非混合理论，也取消了关于时空结构的边界。这类拓扑理论可以在 Johanson（1981）、Randell、Cui 和 Cohn（1992）、Asher 和 Vieu（1995）、Forrest（1996）、Roeper（1997）、Pratt-Hartmann（2007）以及 Hellman 和 Shapiro（2018）等人的作品中找到，但也可以参考 Gerla（1990）的几何学解释，Skyrms（1993）和 Arntzenius（2008）的测度论替代方案，以及 Lando 和 Scott（2019）的结合拓扑和测度论的强有力方法。在时间领域，相同的方法启发了所谓的时态逻辑的区间语义的大量研究，始于 Hamblin（1971）和 Humberstone（1979）。

(B) 如果一个人对空间和/或时间不是实体论者，那么抽象主义方法会更具诱惑力。因为如果空间和/或时间本身是从物质实体和/或事件之间的具体关系中产生的抽象，那么，正如怀特海德所说，假定边界元素属于后者似乎是“sub silentio”（1919 年：5）是不合法的。特别是，似乎自然地将它们视为仅仅是从我们直接熟悉的有界实体的越来越薄的层次的渐进思考中产生的“概念限制”（1916 年：730）。这种想法的最佳表述是怀特海德自己的“广泛抽象”理论，最初纯粹在部分整体论术语中发展，后来在德拉古纳（1921 年，1922 年）和尼科德（1924 年：I.4）的建议下在部分整体拓扑术语中得到完善（参见怀特海德 1929 年，第四部分），并分别得到布罗德（1923 年：第 1 章），罗素（1927 年：第 28 章），斯泰宾（1930 年：第 23 章）以及最终蒙格尔（1940 年）等人的认可。根据这一观点，边界元素不再被视为低维实体；相反，它们是_高阶_构造，即等价类，收敛于嵌套体系列的收敛系列“像中国玩具的盒子一样一个套着一个”（怀特海德 1920 年：61），但没有最小的盒子。例如，在给定球体中包含的所有同心球体的系列收敛于中心的_点_，在给定圆柱体中包含的所有同心右圆柱体的系列收敛于轴线，依此类推。如果一个这种系列是一个_抽象类_，当且仅当它没有底部时，即当且仅当没有对象是该类的每个成员的一部分时。如果两个共同收敛的抽象类_等价_，当且仅当第一个类的每个成员都有第二个类的一个成员作为部分，反之亦然。例如，一个球体的抽象类等价于所有内接于球体中的立方体的类，它们收敛于中心的同一点，依此类推。然后，每个边界元素可以被视为适当定义的收敛抽象类的等价类，如果事情做得当，最终可以重建关于低维边界的普通讨论，作为关于这种高阶实体的讨论。（有关详细信息，请参见 Clarke 1985 和 Varzi 2021。）这种方法在时间领域也有类似之处，瞬间可以更直接地被构想为嵌套时间间隔的收敛类，而时间间隔又可以被构想为重叠事件的集合。（直接受怀特海德思想启发的经典之地是罗素 1914 年，但也请参阅 Walker 1947，Kamp 1979，van Benthem 1983 和 Vakarelov 2015。）此外，这种方法本身可以根据所假设的基本元素的确切内容而有几种变体。白海德最终确定了一个基于拓扑连接的原始二元关系的框架；一种流行的替代表述，遵循塔斯基（1929），则使用部分性以及一个特殊的一元原始概念‘x 是一个球体’，例如定义几何点为所有同心球体的类 — 在一个适当定义的意义下 — 与给定的球体。（有关这种替代方法的详细信息和发展，请参见 Bennett 2001，Gruszczyński 和 Pietruszczak 2008，Betti 和 Loeb 2012 以及 Clay 2017；有关扩展和进一步变体，请参见 Borgo 和 Masolo 2010，Borgo 2013 以及 Gerla 和 Gruszczyński 2017。）另一个有影响力的变体，尽管是独立发展的，是 Grzegorczyk（1960）的无点拓扑，它基于部分性以及一个‘空间体’的原始概念和一个分离的二元关系，即连接的相反。这个理论与白海德的理论密切相关（请参见 Biacino 和 Gerla 1996），最近由 Gruszczyński 和 Pietruszczak（2018，2019）详细阐述。（无点拓扑最初被称为_pointless_拓扑，遵循 Johnstone 1983，但术语已经得到恰当更新。）)

从技术角度来看，这两种方法在许多方面往往有重叠。特别是，白海德的技术经常在实体论理论的背景下使用，例如 Randell 等人的“区域连接演算法”（1992 年），这在处理无边界空间推理方面已被证明具有很高的影响力。此外，当涉及指定它们所依赖的本体论假设时，这两种理论都面临一些共同的问题。形式上它们都是无边界的，这意味着在逻辑设置中，它们的变量仅限于扩展区域或实体。然而，并非所有这些事物都是相等的；是否有足够的空间来进行有趣的区分？例如，这些理论是否应该容纳标准拓扑学中开放和闭合实体之间的区别？它们是否应该保留正规实体和不规则实体之间的区别？一些作者认为，从无边界的角度来看，这些区别是无法理解的。例如，Randell 等人（1992 年）从一开始就排除了它们，而 Bostock（2010 年）则通过论证排除了它们。然而，其他人持不同意见，从 Clarke（1981 年）开始，他实际上提供了如何在白海德理论框架内检索所有标准拓扑学区别的详细说明。（有关其他理论，请参见 Cohn 和 Varzi 2003。）当然，形式上检索它们并不意味着太多；这些区别仍然可能会消失。但它们会消失吗 — 或者应该消失吗？

其他问题可能更或更少紧迫，这取决于一个人的一般哲学关注点。例如，对于 B 型理论的常见反对意见是，边界的抽象性似乎会违反集合论结构的抽象性。人们可以看到并涂抹桌子的表面，原则上甚至可以看到并涂抹无限系列的越来越薄的桌子部分；但是人们无法看到或涂抹这些部分的集合，更不用说这些集合的等价类了（Simons 1991: 96）。即使是德·拉古纳，作为怀特海德方法的最早支持者之一，也指出将点和其他边界与抽象集合等同起来容易被严重误解：“虽然我们感知到固体，但我们并没有感知到固体的抽象集合[...]接受抽象集合时，我们实际上是在超越经验，就像接受零长度的固体一样”（1922: 460）。这不是一个正式的反对意见。事实上，有些哲学家，比如 Maddy（1980），认为集合是可以被感知的，至少是像桌子这样的物体的集合。然而，无限等价类的可感知性仍然存在问题。特别是如果像怀特海德的情况那样，去除边界的动机是基于广义经验主义认识论。

最后，关于除了 A 型和 B 型理论之外可能考虑的不同非现实主义策略，存在一些推测的空间。目前，文献中受到一些关注的主要选择似乎是由 Adams（1984，1996）提倡的“操作主义”解释，其中解释了通过将边界元素从具体可观测事物中构建出来的抽象过程，这是通过“操作测试”来解释的。这样的解释可能会缓解德·拉古纳的担忧。然而，可以说最好将其视为一个平行故事。它可能提供了关于我们对边界的经验知识的解释，但最终在它们的本体论地位方面保持中立。

3.其他主题

上述所概述的问题和理论界定了自古以来哲学关注的边界性质的主要坐标。此外，我们可以补充说，近年来关注的范围显著扩大，其影响超出了形式上的形而上学理论化的范围。

3.1 边界研究

在这方面，我们已经提到了人们对地缘政治领域中边界概念的使用和滥用日益增长的兴趣，特别是涉及传统上所谓的自然边界和人工边界之间的对立（第 1.2 节）。地缘政治边界是非常复杂的互动模式的空间记录 — 通过政治协议、单方面规定或战争 — 邻近社区之间的。正如 Foucher（2007 年：28）所说，“时间的痕迹刻在空间中”，在分裂和联合之间始终不断变化，介于历史的“伤疤”（Mozer 1973 年：14）和地理学的“接缝”（Cinalli 和 Jacobson 2020 年：43）之间。即使在和平时期，也有整个行业（房地产法律、土地登记、土地测量）以及大量行政机构（护照管制、海关和移民检查等）致力于维护这些痕迹（Crawford 2022）。古罗马人实际上有一个神，特米努斯（Terminus），主持所有边界标志，每年在他们历法的最后一天庆祝一次重要的“特米努斯节”（Dionysius，《罗马古物》，II，74；奥维德，《快节》，II，639–684；普鲁塔克，《罗马问题》，XV，《努玛》，XVI）。

这很难仅仅把这一切看作是关于某种抽象的_façon de parler_。但同样难的是找到它在我们的政治和社会生活中巨大重要性的_source_，解开神话与科学、文化与自然、权力与政府之间的纠葛。作为一个广泛跨学科研究领域的“边界研究”的出现证明了人们对这些困难及其实践和理论重要性的日益认识（详见 Wastl-Walter 2011 和 Wilson 和 Donnan 2012 的综合手册）。虽然该领域的跨学科性主要涵盖地理学、人类学、社会学、环境心理学、经济学、政治学和法学，但问题的根源实际上属于政治哲学的核心，并提供了更多视角来评估边界、前沿和边界的哲学意义（例如，参见 Cooper 和 Tinning 2019 的最新出版物）。

3.2 生命科学中的边界

类似的考虑也适用于生命科学及其哲学中与边界相关问题日益增长的兴趣。单单第 1.2 节关于自然/人造对立的评论就足以暗示许多关于生物学基础的当代辩论可以采用基于边界的阅读。生物分类学是将个体生物“划定范围”并分类为不同等级的分类单元（种、属、科等）的结果，因此，任何现实主义者与反现实主义者、本质主义者与习惯主义者，甚至单一主义者与多元主义者之间的争议，在某种程度上都可以看作是源自对相关分类边界的本体论地位评估方式的不同（参见 Hull 1974，Dupré 1993，Kitcher 2001，Ereshefsky 2001）。在古代神话（Ebbesen 1986）以及当代遗传学（Bonnicksen 2009，Hyun 和 De Los Angeles 2019）中，嵌合体的变迁也许是科学不断探讨此类边界地位的最佳例证，以及在伦理和科学层面上所涉及的一切，特别是定义人类物种的边界的特例（参见关于人类/非人类嵌合体的条目）。

然而，这只是边界在生物学领域发挥作用并开放给哲学理论的一种方式。另一种同样重要的方式出现在研究有机体-环境关系中，这对于理解进化至关重要。例如，考虑生态环境的划分，这是生物学家所称的“生态位构建”所产生的（Odling-Smee 等人，2003 年；Sultan，2015 年）。有些生态位完全被物理隔离，比如一个蛋、一个封闭的牡蛎壳或一个幼虫室；有些生态位，像袋鼠的育儿袋或熊的洞穴一样，部分由物理边界和部分由标记的非物质边界（或多或少模糊）限定，有机体可以自由离开；有些生态位被物理隔离的程度非常低，比如牛背上的牛鹃取走蜱虫的生态位（由犀牛皮的一部分限定）；最后，有些生态位根本没有物理隔离，完全由_法定_类型的边界限定，比如水下环绕游动的鱼或在天空中盘旋在猎物所在区域上方的猎鹰。

令人惊讶的是，这种各种生态位结构与我们在地缘政治世界中发现的边界结构的多样性如此密切相关（Smith 和 Varzi，1999 年，2002 年）。任何特定生态位的_prima facie_强度和保护功能 —— Gibson（1979 年）所称的“可供性特征” —— 在很大程度上取决于限定它的边界类型。正如地缘政治边界的历史在很大程度上是“刀锋”上悬挂着所有“关乎国家生死的问题”（Curzon，1907 年：7）的历史一样，进化和生物生存的历史在很多方面是“有机体和环境之间不断相互作用的增长复杂性的历史”（Lewontin，1978 年：215）。所谓“自我生成”（Maturana 和 Varela，1972 年）的机制同样可以描述为系统通过调节其组成和保持其边界来维持和更新自身的能力。一旦我们从这个角度看问题，很快就能看到相同的机制也在我们与社会环境的关系结构中发挥作用，从个人空间（Hull，1966 年）到广泛的人类领土性（Sack，1986 年；Taylor，1988 年）。在所有这些情况下，问题不仅在于边界是什么；而是它们如何运作以及它们如何为其所限制的事物提供服务（Ludu，2016 年；Werner，2021 年，2022 年）。

3.3 边界感知

最后，需要强调的是，边界在我们个体认知行为产生的现实映射中也占据着显著的位置。首先，感知的内容往往以图地组织的形式结构化，也就是说，将视野组织成突出于周围环境的物体（Rubin 1915），在这里我们再次发现了一种_真实_和_虚构_表达之间的张力，其哲学意义远远超出了第 1.2 节的评论。

一方面，我们最容易看到和追踪的物体是那些因为拥有自然边界而显著突出的物体。在计算机视觉中用于物体识别的边缘检测技术的使用（参见例如 Davies 2012）恰恰是出于这种考虑，因为在正常情况下，这些边界对应于感知场景深度和亮度的显著不连续性。事实上，人类从婴儿时期开始往往同样容易将非实体（如孔洞和阴影）实体化，就像他们对待物质对象一样（Giralt 和 Bloom 2000；Nelson 和 Palmer 2001），这证明了在视觉场景分割中“自然”不连续性的重要性：拥有真正边界是物体性的标志。

另一方面，有时我们也会根据涉及我们感知设备创造性贡献的边界来解析视觉场景，正如我们从舒曼关于虚幻轮廓的经典作品中所知，即使这些边界“客观上并不存在”（1900: 26）。Kanizsa 的三角形（1955）也许是最能体现这一现象的例子。但同样可以说许多其他_虚构_边界是如何通过格式塔心理学家研究的基本因素（如接近性、连续性、封闭性、颜色和纹理相似性、良好形式等）从图地组织的视野中出现的（Wertheimer 1923；Koffka 1935）。正如我们所说，在塞尚的画作中没有真正的边界，也许只有每个单独的色斑周围；然而，我们看到每个“图像”好像具有规则的轮廓。

在第 1.2 节中，我们注意到这些考虑与是否所有的边界 — 以及随之而来的那些有边界事物的身份和持续条件 — 是否在更仔细的审视下是我们自己世界构建的产物这一形而上学问题相关。这是哲学探讨的一个重要方向。但人们也可能想要了解外表本身的结构。人们可能对知觉组织的机制感兴趣，因为它们可能揭示一些关于我们的东西。这是哲学研究中一个杰出的课题，超越了它对心理学的重要性（参见 Wagemans 2015 年的一部代表性近期作品集）。对于任何对边界在我们对世界的看法中的潜在、普遍、顽固、神秘侵入感兴趣的人来说，这无疑是一个重要的进一步研究课题。

4. 文献摘录

本条目以哲学文献中重要段落的样本结尾，按照近似的时间顺序列出。其中一些摘自前述章节中明确引用的文本；其他则提供了更多关于边界概念被分析和在整个历史上被哲学探讨的多个维度的指示性证据。

庄子，《养生主》2（1994: 26-27）

厨师放下菜刀回答道。[...] 顺应自然纹理，我切割大裂缝，引导刀锋穿过大腔体。遵循其固有结构，即使在静脉和动脉交汇处或韧带和肌腱连接处，更不用说明显的大骨头，我从未遇到丝毫障碍。一个好厨师每年换一次菜刀，因为他是切。一个普通厨师每月换一次菜刀，因为他是砍。现在我已经用了十九年我的菜刀，用它切割了成千上万头牛，但刀锋仍然像刚从磨刀石上拿下来一样锋利。

柏拉图，《斐德洛斯篇》，265e（1997: 542）

[划分方法的目标] 是能够根据其自然关节将每种东西切割开，并尽量不使任何部分破碎，就像一个糟糕的屠夫可能会做的那样。

柏拉图，《巴门尼德》，156c–d（1997: 388）

[一件事物] 不会能够在之前静止后来运动或之前运动后来静止而不改变。[...] 然而，没有任何时刻，某物可以同时既不运动也不静止。[...] 然而，它也不会在不改变的情况下改变。[...] 难道有这种奇怪的东西，它可能在改变的时候存在吗？ — 什么奇怪的东西？ — 瞬间。瞬间似乎表示某种东西，使得从它到两种状态的每一个都发生变化。因为一件事物不会在静止持续时从静止中改变，也不会在运动持续时从运动中改变。相反，这种奇怪的存在，瞬间，潜伏在运动和静止之间。

亚里士多德，《物理学》，VI，234a24–b9（1984：395–396）

[没有] 任何东西可以在当下运动。[…] 也没有任何东西可以静止。[…] 因为属于两个时间[过去和未来]的当下是相同的，一件事物可能在一个时间内运动并在另一个时间内静止，而在整个时间内运动或静止的事物将在其中具有运动或静止特性的任何部分中运动或静止：[将] 推断出同一事物可以同时静止和运动；因为两个时间有相同的极限，即当下。[…] 因此，运动中的事物和静止中的事物的运动必须占据时间。

亚里士多德，《形而上学》，V，1022a4–5（1984：1613）。

我们称之为边界，是每一件事物的最后一点，即超出这一点后不可能找到任何部分的第一点，也是每一部分所在的第一点。【注：这个标准翻译与上文第 1 节中给出的翻译不同，后者没有使用“点”这个词。希腊文本只说“最后”和“第一”，没有伴随分类词，因此在当前语境中，一个泛指词如“事物”似乎比“点”更合适。】

亚里士多德，《形而上学》，第 11 卷，1060b12–17（1984: 1675–1676）

如果我们假设线条或随后出现的东西（我指的是基本表面）是原理，那么至少它们不是可分离的物质，而是部分和划分 — 前者是表面的部分，后者是物体的部分（而点是线条的部分和划分）；而且它们是这些事物的边界；所有这些都存在于其他事物中，没有一个是可分离的。

欧几里得，《几何原本》，I，定义 1-3，5-6，13（1926: 153）

点是没有部分的东西。线是无厚度的长度。线的端点是点。[...] 面是只有长度和宽度的东西。面的边界是线。[...] 边界是任何东西的一个极端。

奥维德，《快诗》，II，657-660（2000: 47）

简单的邻里相聚庆祝盛宴，并高唱你的赞美，圣洁的边界：你限制着人民、城市和伟大的王国；没有你，所有土地都会有争议。你不寻求任何人的青睐，不受金钱贿赂；你用法律的誓言守护着受托的土地。

普鲁塔克，《努玛》，XVI，1-2（1914: 363）

边界意味着 boundary，人们在这位神明的面前进行公开和私人祭祀，他们的土地被边界划定；如今用活祭品，但在古代，祭品是无血的，因为努玛推理认为，边界之神是和平的守护者和公正交易的见证者，因此应当远离杀戮。[...] 他知道，如果遵守边界，就能束缚无法无天的权力；如果不遵守，就会揭露不义。

Aulus Gellius，Noctes Atticae，VI.xiii.5–6（1795：2/32）

有人问道，一个垂死之人何时算是死去；在他实际断气时，还是在他即将断气时？一个起身之人何时算是起身；在他实际站立时，还是在他刚刚坐着时？一个学会任何艺术的人，何时算是成为艺术家；在他真正成为艺术家时，还是在他刚刚不是艺术家时？如果你肯定其中任何一个，那么你所肯定的是荒谬和荒唐的；然而，如果你同时肯定两者或两者都不允许，那么看起来更加荒谬。

Sextus Empiricus，Against the Physicists，I，269（2012：52–53）

苏格拉底在存在或不存在时死去。[…] 好吧，当他存在且活着时，他不会死；毕竟，他还活着；但再次，他死后也不会死，因为那样他将死两次，这是荒谬的。所以苏格拉底不会死。

塞克斯图斯·艾米留斯，《反物理学家》，I，260–264（2012: 51–52）

整体不合理地接触整体；因为如果整体接触整体，那么它将不是接触而是它们两者的统一，而这两个物体将成为一个物体。[…] 再者，部分不可能接触部分。因为部分被认为是部分，是因为它与整体的关系状态，但就其自身的限制而言，它是一个整体。[…] 再者，整体也不会接触部分。因为如果整体要接触部分，那么整体与部分一起缩小，将成为一个部分，而部分与整体一起伸展，将成为一个整体。[…] 同样的论点也适用于相反的情况。[…] 因此，如果既不是整体接触整体，也不是部分接触部分，也不是整体接触部分，也不是反过来，那么什么也不会接触任何东西。

约翰·达马斯库斯，《知识之泉》，I，8（1958: 27）

定义是指土地边界的设定，这是一个比喻意义上的术语。因为，正如边界将属于一个人的东西与属于另一个人的东西分开，定义也将一件事物的本质与其他任何事物的本质区分开来。

博伊西乌斯，《波菲利的《引言》第二评论》，I，xi，14-21（1994: 23-24）

一条线是身体中的一部分。它的存在归功于身体。换句话说，它通过身体保持存在。这可以解释如下。如果它与身体分离，它就无法存在。有谁能以任何感官意识抓住脱离身体的线呢？

彼得·阿伯拉尔，《波菲利的注释》，8.1–4（1994: 26）

有两种非物质存在。其中一些，如上帝和灵魂，可以在感知之外以其非物质形式存在。但另一些，如没有主体身体的线，完全无法存在于它们所在的感知之外。

伊本·西那（Avicenna），《治疗之书-形而上学》，II，ii，4-6（2005：50）

[T]身体是一种物质，你可以从中开始假设任何你想要的维度。[...]正是由于身体具有这种描述，人们才称身体为长、宽、深，就像有人说身体是可以从各个维度来划分的东西。

伊本·西那（Avicenna），《治疗之书-物理学》，III，ii，8-10（2009：269-271）

连续是一个模棱两可的术语，以三种方式被说道 [...] 其中一种 [...] 是指当一个量与另一个量连续时，当它的极限与另一个的极限相等时。 [...] 第二种 [...] 是指当连续物体的一侧向远离另一侧的方向移动时，另一侧会跟随移动。 [...] 当某物本身连续时，意味着你可以为它确定部分，这些部分之间存在第一种意义上的连续性。

伊本·鲁什德（阿维森纳），《亚里士多德形而上学论》，I，7（2010: 36）

[在] 民众的语言中，“一” 通常仅表示这些事物与其他事物隔离并因其本质而分开 [...] 有些事物被包围它们的位置隔离（这是被隔离的最常见含义），另一些则仅被它们的边界隔离（这适用于相邻的事物），还有一些仅被想象力隔离（这是数字与连续物体相关联的方式）。

约翰·邓斯·斯科特，《Ordinatio》，II，d. 2/2，q. 5，ad 2（1973：323–324；由彼得·辛普森翻译）

如果一个点仅仅是一种缺乏，那么线也将仅仅是一种缺乏，表面和固体也是如此；因为一个被称为的东西是由终结它的东西来定义的，而某种积极的东西本质上不包括一种缺乏。[...] 从这里进一步推断出了一些令人无法接受的东西，即如果一个表面仅仅是深度的缺乏，那么一个点将如何成为一种缺乏的缺乏？[...] 此外，在一个表面上有许多物质或可感知的品质，似乎如此。因此，一个表面不仅仅是一种缺乏。

奥卡姆的威廉，《Quodlibetal Questions》，I，q. 9，ad 2（1991：53）

[T]球体主要不是通过部分与平面体接触，这部分是这样的，即它的每个部分都接触平面体。因此，它不是通过一些部分与所有其他接触部分先前接触。相反，任何给定的接触部分仍然是这样的，即其一半不会立即接触，其一半的一半也不会立即接触，依此类推，无穷无尽。

列奥纳多·达·芬奇，《笔记本》(1938: 76)

是什么[...]将大气与水分开？有必要存在一个共同的边界，既不是空气也不是水，但没有实质，因为介于两个物体之间的物体会阻止它们接触，在水中与空气中不会发生这种情况。[...]因此，表面是两个不连续的物体的共同边界，并且不是其中任何一个的一部分，因为如果表面是其中的一部分，它将具有可分割的体积，然而，它是不可分割的，虚空将这些物体相互分开。

穆拉·萨德拉，《四部论》，IV，274（英文翻译自 Rezaei 和 Bozorgi 2001: 34）

如果水和空气之间没有共同的边界，其中水的最温暖实例和空气的最冷实例，那么在一个实例中，也就是当水转化为空气时，_hyle_保持无形，这是不可能的。

米开朗基罗·布奥纳罗蒂，《十四行诗》151，1-4（1996: 195）

最伟大的艺术家并没有任何概念，一个大理石块内部不包含在其过剩中，尽管只有顺从理智的手才能发现它。

弗朗西斯科·苏亚雷斯，《形而上学争论》40，V，§41（1861: 562-563; 由罗伯特·帕斯诺翻译的英文版本）

可以合理地说，上帝可以保留一条线而没有限制点，保留一块表面而没有线，保留一个物体而没有表面。

Francisco Suárez, 形而上学争论 40, V, §58 (1861: 567; Robert Pasnau 翻译)

假设在墙壁的连续表面中，一半是最大程度的白色，另一半是最大程度的黑色，而这些品质各自有其自己的不可分割的边界[termini]，通过这些边界它们被包容和限制。因此，从它们相邻的部分来看，它们必须同时具有各自的边界，这些边界同时存在于连接数量表面的同一条线上。[...] 由此进一步发生的是，在同一不可分割的物质边界中，会同时存在两种特定的实质形式，涉及到在空间中不可分割的某些东西。

René Descartes , 哲学原理, II.15 (1985: 229)

‘表面’ 这里并不是指周围物体的任何部分，而仅仅是周围物体和被包围物体之间的边界，这不过是一种方式。或者更确切地说，所指的只是共同的表面，它既不是一个物体的一部分，也不是另一个物体的一部分，而是始终被认为是相同的，只要它保持相同的大小和形状。

皮埃尔·贝尔，《历史与批判词典》，文章‘泽诺’，注释 G.IV（1734–1738: 5/613）

【有些学院派哲学家】认为，自然已经将数学点与可无限分割的部分混合在一起，以便它们可以连接它们，并组成物体的极端。他们认为通过这种方式也可以回答两个表面的穿透性接触的反对意见：但这种回避是如此荒谬，以至于不值得驳斥。

大卫·休谟，《人性论》，I，ii，4（1978: 44）

[I]f 我们有不可分割的点、线和表面的概念符合定义，它们的存在肯定是可能的：但如果我们没有这样的概念，我们就不可能构想任何图形的终结；没有这种构想，就不可能有几何证明。

玛格丽特·坎文迪许，《对实验哲学的观察》，I，xxxi（2001: 129）

[T]原子的观点，更适合诗意的幻想，而不是严肃的哲学[...]自然界中不可能有原子，否则自然界就会像乞丐的外衣一样布满虱子：她也无法统治那些漫游和游荡的原子，因为[...]每个原子都是独立的个体，彼此之间没有依赖。因此，如果应该有原子的组合，那将不是由部分组成的物体，而是由许多完整的独立个体组成，聚集在一起就像一群蜜蜂。

莱昂哈德·欧拉，《给德国一位公主的信》，CII（1795: 453）

作为一个普遍概念包含无限数量的个体对象，我们可以将其视为一个空间，其中它们都被包含在内。因此，对于“人”的概念，我们形成一个空间[...]，在其中我们构想所有人都被包括在内。对于“凡人”的概念，我们形成另一个[...]，在其中我们构想所有凡人都被包括在内。当我断言“所有人都是凡人”时，这等同于断言第一个图形包含在第二个图形中。

约翰·文恩，《论命题和推理的图解和机械表示》（1880: 1）

我们在这里所代表的，当然是命题中每个术语的范围或范围。我们画两个圆圈，并使它们相互包含或排除或相交，具体取决于术语所表示的类别在这方面彼此之间的关系。

让·雅克·卢梭，《论不平等的起源》（1992: 44）

第一个将一块土地围起来，并自以为是说“这是我的”的人，而且找到足够简单的人来相信他的人，他才是文明社会的真正奠基者。要是有人拔起桩子或填平沟渠，对着他的同胞们大喊：“不要听信这个骗子”，人类将会免去多少罪行、战争、谋杀、痛苦和恐怖啊。

阿方斯·德·拉马丁，《和平的马赛曲》（1841: 796）

我们在天空中看到任何边界的痕迹吗？它的穹顶有墙壁、标记、中心吗？国家！一个用来表达野蛮的浮夸词汇！

伊曼纽尔·康德，《任何未来形而上学的序言》，§57（1783: 94）

在所有的边界中都有一些积极的东西（例如，表面是有形空间的边界，因此本身也是一个空间，一条线是表面的边界，一个点是线的边界，但始终是空间中的一个位置），而限制只包含纯粹的否定。

格奥尔格·威廉·F·黑格尔，《逻辑学》，I，i，1.2.B.b（1833: 98–99）

[在] 边界，某物标志着其他的边界。[…] 某物，作为一种直接的存在，因此是相对于另一物的边界；但它在其中有这个限制，并且通过那个边界的中介而成为某物，这个边界同样是它的非存在。边界是中介，因此某物和其他物体_既是又不是_。

Lobačevskij，《几何学新原理》（1835–1938: 21–22）

表面、线条、点，如几何学所定义，仅存在于我们的想象中。[…] 我们只会将自己附着于那些在我们的头脑中直接与我们的想象习惯的物体的概念相结合的想法。

Bernard Bolzano 《无限的悖论》第 66 节（1851: 167–168）

我将一个物体的极限定义为仍然 属于它 的所有_极端_[äusserst] 以太原子的集合。[...] 更仔细的考虑进一步显示，许多物体在某些地方完全缺乏极限原子；它们的任何原子都不能被描述为仍然属于它并且如果它开始移动会伴随它的_极端_原子之一。[两个物体接触] 当其中一个的极端原子[...] 与另一个的某些原子形成连续的延伸时。

Franz Brentano，“我们对空间的呈现的先天论、经验论和无意识论理论”（1976: 146）

边界中的一条线在分割时会被分成两部分之一，其中一部分会有一个端点，而另一部分则没有起点。这种推论被波尔查诺正确地得出，他由此得出了他的怪诞学说，即会存在有表面和无表面的物体，其中一类包含的数量正好与另一类相同，因为只有表面的物体和没有表面的物体之间才可能接触。他应该更应该注意到这些后果，以及线和其他连续体的整体概念作为点集与接触概念相悖，从而正是这一点构成了连续体本质的要素。

弗朗茨·布伦塔诺，《关于连续性的问题》（1976 年：12 和 41）

因为边界，即使本身是连续的，也永远不会存在，除非作为属于更高维度的连续体的一部分[...]，它本身来看，除了作为一个普遍性之外，没有其他东西，可以与其他普遍性一样，对应于不止一件事物。几何学家的命题，即在两点之间只有_一条_直线是可以想象的，严格来说是错误的。[...]如果一个红色表面和一个蓝色表面彼此接触，那么红色线和蓝色线重合。

Charles S. Peirce, 《数量逻辑》（1893 年：7.127）

一滴墨水落在纸上，我用墙围住了它。现在墙内区域的每个点要么是黑色，要么是白色；没有点是既黑又白。这很明显。然而，黑色全都集中在一个地方或斑点内；它是有界限的。黑色和白色之间有一道分界线。现在我问这条线上的点，它们是黑色还是白色？为什么一个比另一个多？它们是（A）既黑又白还是（B）既不黑也不白？为什么 A 比 B 多，或者 B 比 A 多？[...] 逻辑的结论是[...] 边界的点并不存在。

Ambrose Bierce, 《魔鬼词典》（1881 年：323）

Boundary, n. 在政治地理学中，是两个国家之间的一条想象线，分隔一个国家的想象权利和另一个国家的想象权利。

哥特洛布·弗雷格，《算术的基础》第 26 节（1884 年：35）

人们称赤道为一条想象线，但称其为仅仅被想象出来的线是错误的。赤道并非是由思想创造的，作为心理过程的结果，而是仅仅被思想所理解或把握。如果它被理解是一种产生的过程，那么我们就无法对赤道在这种假定的产生之前的任何时间说出任何肯定的事情。

哥特洛布·弗雷格，《算术基本定律》，第二卷，§56（1903: 159）

一个概念的定义（可能的谓词）必须明确地确定，关于任何对象，它是否属于该概念。我们可以用隐喻的方式表达如下：概念必须有一个清晰的边界。对于没有清晰边界的概念，将对应一个区域，该区域没有清晰的边界线，而是在某些地方模糊地褪色到背景中。排中律实际上只是要求概念应该有一个清晰边界的另一种形式。

乔治·纳撒尼尔·柯尔松，《边界》（1907: 13 和 54）

我已经接受了自然边界和人工边界之间的广泛区分，这两者都是普遍认可的，也是科学上最精确的。[…] 还有一类所谓的自然边界，我不得不省略，因为它们没有合法称号，即那些被国家认为是基于野心、权宜之计或更多是情感而自然的边界。试图实现这种类型边界的努力导致了许多战争，以及历史上一些最悲惨的变迁。

W. E. B. Du Bois，《黑人之魂》（1903 年：vi，13，40）；也在“肤色界限环绕世界”（1906 年：30）中

二十世纪的问题是肤色界限的问题。

卢西安·费夫尔，《地球与人类进化》（1922 年：297）

因为整个问题是关于边界的问题，或者对我们来说是关于边界的问题。在我们内部，有一种深深扎根于我们内心的想法，我们已经不再注意它对我们的控制，即关于大国‘自然界限’的某种想法，这使我们认为它们的边界本身就是一种具有实际价值、一种机械美德和一种强制性同时又具有创造力的事物。[...] 一个关于历史的整体哲学就包含在那个词‘自然’中。

威廉·詹姆斯，《实用主义》（1907 年：247）

因此，即使在感知领域，我们的心灵也会施加一定的任意选择。通过我们的包容和省略，我们勾勒出了领域的范围；通过我们的强调，我们标记了它的前景和背景；通过我们的顺序，我们以这个方向或那个方向阅读它。简言之，我们接收到的是一块大理石，但我们自己雕刻成雕像。

恩斯特·卡西勒，《象征形式哲学》（1923: 280）

思想和言语的开始并非如此：我们并不仅仅抓住并命名感觉或直觉中某些区别；相反，我们主动划定某些分界线，进行某些分离和连接，由此使得独特的个体配置从意识的统一流动中浮现出来。

路德维希·维特根斯坦，《逻辑哲学论》，5.6

我的语言的边界意味着我的世界的边界。

路德维希·维特根斯坦，《哲学研究》，I，§99（1953 年：45e）

一个不确定的边界实际上根本不是边界。在这里，人们或许会想：如果我说‘我已经把那个人牢牢地锁在房间里 — 只剩下一扇门开着’ — 那么我根本没有把他锁在里面；他被锁在里面只是一个假象。

路德维希·维特根斯坦，《心理哲学备注》，II，§626（1980: 108e）

在没有特殊理由的情况下划定概念边界是不自然的，在那里，相似之处会不断地将我们带过任意划定的线。

阿尔弗雷德·N·怀特黑德，《自然知识原理探究》（1919 年：5）

对几何基础的研究必须解释空间是事物之间关系的复合体。它必须描述点是什么，并且必须展示点之间的几何关系是如何从最终事物之间的最终关系中产生的，这些最终事物是知识的直接对象。因此，讨论几何基础的起点是讨论感知的直接数据的特性。数学家现在不能假定_潜在地_认为点是这些数据之一。

威廉·欧内斯特·约翰逊，《逻辑，第三部分：科学的逻辑基础》（1924 年：163-164）

因此，我们被引导去区分整体的部分和这些部分之间的边界。一条线的部分是线，一个区域的部分是区域，一个区域的部分是区域；但是相邻线的边界是一个点，相邻区域的边界是一条线，相邻区域的边界是一个区域或表面。因此，整体的部分彼此之间和整体是同质的；但是[...]两个相邻部分之间的边界始终比部分的维度低一个级别。

苏珊·斯泰宾，《逻辑现代导论》（1930 年：452 和 451）

物理学在处理可感知世界方面的成功是无法解释的，除非“点”、“线”、“瞬间”、“瞬时空间”、“瞬时配置”等表达可以用可感知的方式来表达。[...] 点被证明是一个复杂的结构并不重要，只要它的逻辑关系是简单的并具有必要的形式属性。[...] 推导中唯一重要的是进入推导的术语的纯粹形式或逻辑属性；术语本身的性质并不相关。

罗伯特·穆西尔，《没有特质的人》(1930: 22)

最终，一件事物仅因其边界存在，这意味着对其周围环境的一种或多或少敌对的行为：没有教皇就不会有路德，没有异教徒就没有教皇。

H. H. Price, Perception (1932: 106)

一个表面必须是某物的表面；而且不仅如此，它必须是某个实体物体的表面。事实上，_表面_这种实体并不存在；只有固体物体这样或那样地被表面化。‘表面’在语法中确实是一个名词；但它不是某个特定实体的名称，而是一个属性的名称。

Percy Stanley Fritz, 《科罗拉多，百年州》(1941: 3)

科罗拉多州主要是一个心理概念。这是为了方便而作出的任意政治划分。根本没有自然边界。如果你驾车离开科罗拉多州时，错过了路边写着“科罗拉多-堪萨斯”的标志，你将永远不会知道自己已经从一个州驶入另一个州。[...] 如果一场风暴刮走了州界标志，就需要一名精密仪器的测量员来确定边界在哪里。科罗拉多州只是一个便利的法律虚构。

Jan O. M. Broek，《自然边界的问题》(1941: 8)

一个让边界看起来公正的最有力的论点是将其标记为自然边界。

史蒂芬·琼斯，《划界》（1945 年：3）

边界的优劣取决于总体情况和界线划定及划分的细节一样多。边界像人类的皮肤一样，可能有自身的疾病，也可能反映身体的疾病。

马丁·海德格尔，《建筑·居住·思考》（1952 年：154）

边界并非某物停止的地方，而正如希腊人所认识的那样，边界是某物开始其存在的地方。

约翰·L·奥斯汀，《意义与感性》（1962 年：100）

这是错误的暗示一切都有表面。猫的表面究竟在哪里，是什么？

J. J. Gibson，《视知觉的生态学方法》（1979 年：23）

表面是大部分活动发生的地方。表面是光线反射或吸收的地方，而不是物质的内部。表面是接触动物的部分，而不是内部。表面是化学反应主要发生的地方。表面是物质蒸发或扩散到介质中的地方。表面是物质振动传播到介质中的地方。

乔治·斯宾塞-布朗，《形式的法则》（1969 年：1）

区别是完美的节制。也就是说，通过设置一个具有分开两侧的边界来划分一个区别，以至于一侧的一个点不能越过边界到达另一侧。例如，在平面空间中，一个圆画出了一个区别。

迈克尔·达梅特，《弗雷格。语言哲学》（1973 年：577）

现实的图像是一个无定形的块，尚未被表达为离散的对象，因此只要我们正确使用它，这种图像就被证明是正确的。

纳尔逊·古德曼，《关于精心制作的世界的注释》（1983 年：104）

现在，当我们通过挑选和组合某些星星而不是其他星星来制作星座时，我们也是通过划定某些边界而不是其他边界来制作星星。没有什么规定天空应该被划分为星座或其他对象。我们必须创造我们发现的东西，无论是北斗七星、天狼星、食物、燃料还是立体声系统。

Alan Sidelle, “刚性、本体论和语义结构” (1992: 172)

这个世界可以以很多种方式被划分，每当我们考虑这样的划分（某种个体化原则）时，我们正在考虑以那种方式划分的世界，即，被这样表达。一种表达将会指定必须满足的实际条件，以便某物成为（一种）F，并且追踪 Fs 在空间、时间和可能的世界中的身份条件。如果世界的某些部分符合实际条件，那么就会有 Fs。

Roderick Chisholm, “边界作为依赖个体” (1984: 88)

如果连续的对象被切成两半，那么一个边界（用来划分两个相邻部分的）会变成两个边界，一个东西因此变成两个东西吗？[…] 但是一个东西怎么可能 — 即使只是一个边界 — 变成两个东西呢？这是否意味着当两个东西变得连续时，那些原本不同的两个东西会变得相同，两个东西因此变成一个东西？

David K. Lewis，《世界的多元性》（1986: 212）

不清楚边界在哪里的原因不是因为存在着一个有不明确边界的事物，而是因为有许多事物，有着不同的边界，而且没有人愚蠢到试图强制选择其中一个作为“边界”这个词的官方指称。

迈克尔·泰，《模糊对象》（1990 年：535）

没有一条线能够清晰地将组成[珠穆朗玛峰]的物质与外部物质分开。珠峰的边界是模糊的。一些分子在珠峰内部，一些分子在外部。但有些分子具有不确定的状态：关于它们是内部还是外部，没有客观、明确的事实。

马克·桑斯伯里，《没有边界的概念》（1990 年：257）

一个模糊的概念是没有边界的，因为没有边界标志着属于它的事物与不属于它的事物，也没有边界标志着明确属于它的事物与不明确属于它的事物；依此类推。表现形式是知识主体不愿划定任何这种边界，识别这种边界的认知不可能性，以及这种边界的不必要性甚至无用性。

彼得·西蒙斯，《面孔、边界和薄层》（1991 年：91）

如果一个宏观物体由空间分离的粒子组成[...]一个连接的边界需要连接[粒子]之间的间隙，因此它既是一种“虚构”的而非真实的实体（就像说一个苦行僧的钉床有一个平顶）又在某种程度上是任意的（就像科学家在零散和不精确的数据中绘制曲线以得到平滑的图表）。

Eviatar Zerubavel，《边界》（1991 年：5）

我们通过将自然界划分为我们随后视为离散的心理块，并将其完全与周围隔离开来，将其转化为社会世界。我们划定财产岛屿的方式只是我们创造有意义的社会实体的一般过程的一个例子。

Catherine Elgin，《非自然科学》（1995 年：297）

我们的狭隘关注显然影响了我们对宏观对象和种类的选择。[…] 如果一个分类学，在我们区分马和斑马的地方，与适合描述整个宇宙的自然类别完全吻合，但对人类的能力和目的漠不关心，那将是非常了不起的。

Barry Smith，《关于在地图上划线》（1995 年：479）

法定对象的内部是[...]自主现实的自主部分。只有各自的外部边界是我们创造的；正是这些边界是我们心智和语言活动的产物，以及相关的传统法律、规范和习惯。

Barry Smith, “论物质、意外和普遍性” (1997b: 122)

界定是一个极其强大的认知能力；界定的意向性范围，我们可以毫不费力地理解高度复杂的整体 —— 这些整体可能散布在宇宙的边界之内外，无论是在空间还是时间上 —— 只需一个简单的界定行为（“文艺复兴的遗产”，“奥匈帝国及其继任国家”，“英国诗歌”），这种能力令人惊叹，并可与单一意向性的魔力相媲美，凭借一份可能完全随机列出的条目清单，我们可以被引导依次前往西伯利亚的山脉，加拿大哈利法克斯的茶壶，以及莫格星系的黑洞。

Raviel Netz, 2009, 铁丝网 (2009: xi)

定义在地球的二维表面上，横跨其中的运动被阻止的线，你就得到了历史的一个关键主题。通过一条封闭的线（即，围绕一个图形的曲线），以及阻止从线的外部到内部的运动，你得出了财产的概念。通过相同的线，以及阻止从内部到外部的运动，你得出了监狱的概念。通过一条开放的线（即，不围绕图形的曲线），以及阻止任何方向的运动，你得出了边界的概念。财产、监狱、边界：正是通过阻止运动，空间进入了历史。

格洛丽亚·E·安萨尔杜瓦，《边界/边疆》（1987 年：3）

边界被设立来定义安全和危险的地方，区分_我们_和_他们_。边界是一道分隔线，沿着陡峭边缘的狭窄带。边疆是由不自然边界的情感残留所创造的模糊不定之地。它处于不断变化的状态。被禁止和被禁忌者是其居民。_Los atravesados_生活在这里：斜眼的，变态的，古怪的，麻烦的，混血的，混血儿，半死的；简言之，那些越过、穿越或通过“正常”界限的人。

Sally Haslanger, “Feminism in Metaphysics: Negotiating the Natural” (2000: 116; 2012: 148–149)

这里存在一种不可置疑的模式，将女性和有色人种投射为其“本性”或“自然”，而这些特征实际上（如果存在的话）是社会力量的产物。这种投射性错误导致女权主义者对自然类别和客观类型极为怀疑：如果“自然”或“本性”的参照之一是标记社会可能性的边界，从而“正当化”有害的制度，那么我们必须对任何类别是否“自然”的暗示保持警惕。[...] 是否存在任何有意义（且在政治上可行）的自然和社会之间的区别？如果存在，界线在哪里？是否有任何理论化自然的方式不依赖于我们的政治偏见的投射？如果有，那么如何做到？

Sarah Green, “A Sense of Border” (2012: 580)

尽管边界在景观中并不存在作为不言自明实体的事实，但一旦建立起来（其中包括所有各种相关的边界实践，无论是正式的还是非正式的），边界在实践和人们的想象中都可以具有类似物的特质。

Jody Azzouni，《Ontology without Borders》（2017 年：143）

所谓的对象之间没有世俗的本体论边界；世界上没有属性，没有关系 —— 也没有构成或等同于对象的世俗个体化条件的任何事物……我们将对象的边界投射到世界上。

Bibliography

Abasnezhad, A., and Hosseini, D., 2014, ‘Vagueness in the World: A Supervaluationist Approach’, in K. Akiba and A. Abasnezhad (eds.), Vague Objects and Vague Identity. New Essays on Ontic Vagueness, Dordrecht: Springer, pp. 239–255.
Abelard, P., Logica ‘ingredientibus’: Glossae super Porphyrium; partial English translation by P. V. Spade, ‘From the “Glosses on Porphyry”’, in P. V. Spade (ed.), Five Texts on the Medieval Problem of Universals, Indianapolis, IN: Hackett, 1994, pp. 26–56.
Adams, E. W., 1984, ‘On the Superficial’, Pacific Philosophical Quarterly, 65: 386–407.
–––, 1996, ‘Topology, Empiricism, and Operationalism’, The Monist, 79: 1–20.
Akiba, K., 2004, ‘Vagueness in the World’, Noûs, 38: 407–429.
Ancel, J., 1938, Géographie des Frontières, Paris: Gallimard.
Anzaldúa, G. E., 1987, Borderlands/La Frontera: The New Mestiza, San Francisco, CA: Aunt Lute Books.
Aristotle, Physics; Eng. trans. by R. P. Hardie and R. K. Gaye, in J. Barnes (ed.), The Complete Works of Aristotle (The Revised Oxford Translation, Volume 1), Princeton, NJ: Princeton University Press, 1984, pp. 315–446.
–––, Metaphysics; Eng. trans. by W. D. Ross, in J. Barnes (ed.), The Complete Works of Aristotle. The Revised Oxford Translation, Volume 2, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1984, pp. 1552–1728.
Arntzenius, F., 2008, ‘Gunk, Topology and Measure’, Oxford Studies in Metaphysics, 4: 225–247.
Asher, N., and Vieu, L., 1995, ‘Toward a Geometry of Common Sense: A Semantics and a Complete Axiomatization of Mereotopology’, in C. S. Mellish (ed.), Proceedings of the 14th International Joint Conference on Artificial Intelligence, San Mateo, CA: Morgan Kaufmann, pp. 846–852.
Austin, J. L., 1962, Sense and Sensibilia (ed. by G. J. Warnock), Oxford: Oxford University Press.
Azzouni, J., 2017, Ontology without Borders, Oxford: Oxford University Press.
Barnes, E., 2010, ‘Ontic Vagueness: A Guide for the Perplexed’, Noûs, 44: 601–627.
Bartha, P., 2001, ‘Monstrous Neighbors or Curious Coincidence: Aristotle on Boundaries and Contact’, History of Philosophy Quarterly, 18: 1–16.
Baumann, R., Loebe, F., and Herre, H., 2014, ‘Axiomatic Theories of the Ontology of Time in GFO’, Applied Ontology, 9: 171–215.
–––, 2016, ‘Towards an Ontology of Space for GFO’, in R. Ferrario and W. Kuhn (eds.), Formal Ontology in Information Systems. Proceedings of the 9th International Conference, Amsterdam: IOS Press, pp. 53–66.
Bayle, P., Dictionnaire historique et critique; English trans. by P. Des Maizeaux, Dictionary, Historical and Critical (5 vols.), London: Knapton et al., 1734–1738.
Bennett, B., 2001, ‘A Categorical Axiomatisation of Region-Based Geometry’, Fundamenta Informaticae, 46: 145–158.
Betti, A., and Loeb, I., 2012, ‘On Tarski’s Foundations of the Geometry of Solids’, The Bulletin of Symbolic Logic, 18: 230–260.
Biacino, L., and Gerla, G., 1996, ‘Connection Structures: Grzegorczyk’s and Whitehead’s Definitions of Point’, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 431–439.
Bierce, A., 1881, ‘The Devil’s Dictionary’ [Bottle–Buddhism], The Wasp, 6(251): 323.
Boethius, In Isagogen Porphyrii commentorum; partial Eng. trans. by P. V. Spade, ‘From His Second Commentary on Porphyry’s Isagoge’, in P. V. Spade (ed.), Five Texts on the Medieval Problem of Universals, Indianapolis, IN: Hackett, 1994, pp. 20–25.
Bolzano, B., 1851, Paradoxien des Unendlichen (ed. by F. Přihonský), Leipzig: Reclam; Eng. trans. by D. A. Steele, Paradoxes of the Infinite, London: Routledge & Kegan Paul, 1950.
Bonnicksen, A. L., 2009, Chimeras, Hybrids, and Interspecies Research Politics and Policymaking, Washington, DC: Georgetown University Press.
Borgo, S., 2013, ‘Spheres, Cubes and Simplexes in Mereogeometry’, Logic and Logical Philosophy, 22: 255–293.
Borgo, S., and Masolo, C., 2010, ‘Full Mereogeometries’, The Review of Symbolic Logic, 3: 521–567.
Bostock, D., 2010, ‘Whitehead and Russell on Points’, Philosophia Mathematica, 18: 1–52.
Braddon-Mitchell, D., and Miller, K., 2006, ‘The Physics of Extended Simples’, Analysis, 66: 222–226.
Brentano, F., 1976, Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum (ed. by S. Körner and R. M. Chisholm), Hamburg: Meiner; Eng. trans. by B. Smith, Philosophical Investigations on Space, Time and the Continuum, London: Croom Helm, 1988.
Breysse, O., and De Glas, M., 2007, ‘A New Approach to the Concepts of Boundary and Contact: Toward an Alternative to Mereotopology’, Fundamenta Informaticae, 78: 217–238.
Broad, C. D., 1923, Scientific Thought, New York: Harcourt.
Broek, J. O. M., 1941, ‘The Problem of Natural Frontiers’, in J. O. M. Broek et al., Frontiers of the Future, Berkeley, CA: University of California Press, pp. 3–20.
Calosi, C., 2018, ‘Solving a Mereological Puzzle’, Thought, 7: 271–277.
Cartwright, R., 1975, ‘Scattered Objects’, in K. Lehrer (ed.), Analysis and Metaphysics, Dordrecht: Reidel, pp. 153–171.
Casati, R., and Varzi, A. C., 1999, Parts and Places. The Structures of Spatial Representation, Cambridge, MA: MIT Press.
Cassirer, E., 1923, Philosophie der symbolischen Formen. Erster Teil: Die Sprache, Berlin: Bruno Cassirer; English translation by R. Manheim, The Philosophy of Symbolic Forms. Volume One: Language, New Haven, CT: Yale University Press, 1955.
Cavendish, M., 2001, Observations upon Experimental Philosophy; ed. by E. O’Neill, Cambridge: Cambridge University Press.
Chisholm, R. M., 1957, Perceiving. A Philosophical Study, Ithaca, NY: Cornell University Press.
–––, 1980, ‘Beginning and Endings’, in P. van Inwagen (ed.), Time and Cause. Essays Presented to Richard Taylor, Dordrecht: Reidel, pp. 17–25.
–––, 1984, ‘Boundaries as Dependent Particulars’, Grazer philosophische Studien, 10: 87–95.
–––, 1993, ‘Spatial Continuity and the Theory of Part and Whole. A Brentano Study’, Brentano Studien, 4: 11–23.
–––, 1994, ‘Ontologically Dependent Entities’, Philosophy and Phenomenological Research, 54: 499–507.
–––, 1996, A Realist Theory of Categories. An Essay in Ontology, Cambridge: Cambridge University Press.
Cinalli, M., and Jacobson, D., 2020, ‘From Borders to Seams: The Role of Citizenship’, in M. Ambrosini et al. (eds.), Migration, Borders and Citizenship: Between Policy and Public Spheres, Basingstoke: Palgrave Macmillan, pp. 27–45.
Clarke, B. L., 1981, ‘A Calculus of Individuals Based on Connection’, Notre Dame Journal of Formal Logic, 22: 204–218.
–––, 1985, ‘Individuals and Points’, Notre Dame Journal of Formal Logic, 26: 61–75.
Clarke, T., 1965, ‘Seeing Surfaces and Physical Objects’, in M. Black (ed.), Philosophy in America, London: Allen & Unwin, pp. 98–114.
Clay, R. E., 2017, ‘Note on the Geometry of Solids’, Logique et Analyse, 60: 449–463.
Cohn, A. G., and Varzi, A. C., 2003, ‘Mereotopological Connection’, Journal of Philosophical Logic, 32: 357–390.
Cooper, A. and Tinning, S. (eds.), 2019, Debating and Defining Borders. Philosophical and Theoretical Perspectives, New York: Routledge.
Copeland, J., 1995, ‘On Vague Objects, Fuzzy Logic and Fractal Boundaries’, Southern Journal of Philosophy (Supplement), 33: 83–96.
Cotnoir, A. J., 2019, ‘Unity, Identity, and Topology: How to Make Donuts and Cut Things in Half’, in C. Başkent and T. M. Ferguson (eds.), Graham Priest on Dialetheism and Paraconsistency, Cham: Springer, pp. 217–229.
Cotnoir, A. J., and Weber, Z., 2015, ‘Inconsistent Boundaries’, Synthese, 192: 1267–1294.
Crawford, J., 2022, The Edge of the Plain. How Borders Make and Break Our World, London: Canongate.
Curzon, G. N., 1907, Frontiers, Oxford: Clarendon Press.
Davies, E. R., 2012, Machine Vision. Theory, Algorithms, Practicalities. Fourth Edition, Amsterdam: Elsevier.
Davies, R. (ed.), 2019, Natural and Artifactual Objects in Contemporary Metaphysics: Exercises in Analytic Ontology, London: Bloomsbury.
De Laguna, T., 1921, ‘Extensive Abstraction: A Suggestion’, The Philosophical Review, 30: 216–218.
–––, 1922, ‘Point, Line, and Surface, as Sets of Solids’, The Journal of Philosophy, 19: 449–461.
Dedekind, R., 1872, Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig: Vieweg; Eng. trans. by W. W. Beman, ‘Continuity and Irrational Numbers’, in R. Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Chicago, IL: Open Court, 1901, pp. 1–27.
Descartes, R., The Principles of Philosophy; Eng. trans. by J. Cottingham, in J. Cottingham, R. Stoothoff, and D. Murdoch (eds.), The Philosophical Writings of Descartes (Volume 1), Cambridge: Cambridge University Press, 1985, pp. 177–291.
Dionysius, Roman Antiquities, Books 1–2; Eng. trans. by E. Cary, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1937.
Donnelly, M., 2003, ‘Layered Mereotopology’, in G. Gottlob and T. Walsh (eds.) Proceedings of the 18th International Joint Conference on Artificial Intelligence, San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, pp. 1269–1274.
–––, 2004, ‘A Formal Theory for Reasoning about Parthood, Connection, and Location’, Artificial Intelligence, 160: 145–172.
–––, 2009, ‘Mereological Vagueness and Existential Vagueness’, Synthese, 168: 53–79.
Donnelly, M., and Smith, B., 2003, ‘Layers: A New Approach to Locating Objects in Space’, in W. Kuhn, M. Worboys, and S. Timpf (eds.), Spatial Information Theory. Foundations of Geographical Information Science, Berlin: Springer, pp. 46–60.
Du Bois, W. E. B., 1903, The Souls of Black Folk: Essays and Sketches, Chicago: McClurg & Co.
–––, 1906, ‘The Color Line Belts the World’, Collier’s The National Weekly, 38(4): 30.
Dummett, M., 1973, Frege. Philosophy of Language, London: Duckworth.
Duns Scotus, J., Ordinatio. Liber Secundus. Distinctiones 1–3, in C. Nalić (ed.), Ioannis Duns Scoti Opera Omnia (Vol. 7), Città del Vaticano: Typis Polyglottis Vaticanis, 1973.
Dupré, J., 1993, The Disorder of Things. Metaphysical Foundations of the Disunity of Science, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Ebbesen, S., 1986, ‘The Chimera’s Diary’, in S. Knuutila and J. Hintikka (eds.), The Logic of Being. Historical Studies, Dordrecht: Reidel, pp. 115–143.
Elgin, C. Z., 1995, ‘Unnatural Science’, The Journal of Philosophy, 92: 289–302.
Epicurus, Letter to Menoeceus; Eng. trans. by C. B. Bailey, in C. B. Bailey (ed.), Epicurus. The Extant Remains, Oxford: Clarendon Press, 1926, pp. 82–93.
Ereshefsky, M., 2001, The Poverty of the Linnaean Hierarchy. A Philosophical Study of Biological Taxonomy, Cambridge: Cambridge University Press.
Euclid, The Elements; Eng. trans. by T. L. Heath, Cambridge: Cambridge University Press, 1908; 2nd edition, 1926.
Euler, L., 1768, Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie (3 vols.), Saint Petersburg: Académie Impériale des Sciences; 2nd edition (ed. by N. De Condorcet and S.-F. Lacroix), Paris: Royez, 1787–1789; English translation by H. Hunter, Letters of Euler to a German Princess, on Different Subjects in Physics and Philosophy (2 vols.), London: Murray, 1795.
Evans, G., 1978, ‘Can There Be Vague Objects?’, Analysis, 38: 208.
Fall, J. J., 2010, ‘Artificial States? On the Enduring Geographical Myth of Natural Borders’, Political Geography, 29: 140–147.
Febvre, L., 1922, La Terre et l’évolution humaine. Introduction géographique à l’histoire, Paris, Albin Michel; English translation by E. G. Mountford and J. H. Paxton, A Geographical Introduction to History, London: Kegan Paul, Trench, Trubner, 1925.
Fine, K., 1975, ‘Vagueness, Truth and Logic’, Synthese, 30: 265–300.
Forrest, P., 1996, ‘From Ontology to Topology in the Theory of Regions’, The Monist, 79: 34–50.
Foucher, M., 2007, L’obsession des frontières, Paris: Librairie Académique Perrin.
Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Köbner; English translation by J. L. Austin, The Foundations of Arithmetic, Oxford: Blackwell, 1950.
–––, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Band II, Jena: Pohle; partial English translation by P. T. Geach, ‘The Fundamental Laws of Arithmetic II’, in P. T. Geach and M. Black (eds.), Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege, Oxford: Blackwell, 1952, pp. 159–181, 234–244.
Fritz, P. S, 1941, Colorado, the Centennial State, New York: Prentice-Hall.
Galton, A. P., 1994, ‘Instantaneous Events’, in H. J. Ohlbach (ed.), Temporal Logic: Proceedings of the ICTL Workshop, Saarbrücken: Max-Planck-Institut für Informatik, Technical Report MPI-I-94-230, pp. 4–11.
–––, 1996, ‘Taking Dimension Seriously in Qualitative Spatial Reasoning’, in W. Wahlster (ed.), Proceedings of the Twelfth European Conference on Artificial Intelligence, Chichester: Wiley, pp. 501–505.
–––, 2003, ‘On the Ontological Status of Geographical Boundaries’, in M. Duckham et al. (eds.), Foundations of Geographic Information Science, London: Taylor & Francis, pp. 151–171.
–––, 2004, ‘Multidimensional Mereotopology’, in D. Dubois, C. Welty, and M.-A. Williams (eds.), Principles of Knowledge Representation and Reasoning. Proceedings of the Ninth International Conference, Menlo Park, CA: AAAI Press, pp. 45–54.
–––, 2007, ‘On the Paradoxical Nature of Surfaces: Ontology at the Physics/Geometry Interface’, The Monist, 90: 379–390.
Gellius, A., The Attic Nights, English translation by V. Beloe (3 vols.), London: Johnson, 1785.
Gerla, G., 1990, ‘Pointless Metric Spaces’, The Journal of Symbolic Logic, 55: 207–219.
Gerla, G., and Gruszczyński, R., 2017, ‘Point-Free Geometry, Ovals, and Half-Planes’, The Review of Symbolic Logic, 10: 237–258.
Gibson, J. J., 1979, The Ecological Approach to Visual Perception, Boston, MA: Houghton Mifflin.
Giralt, N., and Bloom, P., 2000, ‘How Special Are Objects? Children’s Reasoning about Objects, Parts, and Holes’, Psychological Science, 11: 503–507.
Godfrey, R., 1990, ‘Democritus and the Impossibility of Collision’, Philosophy, 65: 212–217.
Goguen, J. A., 1969, ‘The Logic of Inexact Concepts’, Synthese, 19: 325–373.
Goodman, N., 1980, ‘On Starmaking’, Synthese, 45: 210–215.
–––, 1983, ‘Notes on the Well-Made World’, Erkenntnis, 19: 99–107.
Gorzka, C., 2003, Mereologia a topologia i geometria bezpunktowa, Toruń: Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika.
Goubier, F., and Roques, M. (eds.), 2018, The Instant of Change in Medieval Philosophy and Beyond, Leiden: Brill.
Green, S., 2012, ‘A Sense of Border’, in Wilson and Donnan (2012), pp. 573–592.
Gruszczyński, R., 2016, Niestandardowe teorie przestrzeni, Toruń: Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika.
Gruszczyński, R., and Pietruszczak, A., 2008, ‘Full Development of Tarski’s Geometry of Solids’, The Bulletin of Symbolic Logic, 14: 481–540.
–––, 2018, ‘A Study in Grzegorczyk Point-Free Topology, Part I: Separation and Grzegorczyk Structures’, Studia Logica, 106: 1197–1238.
–––, 2019, ‘A Study in Grzegorczyk Point-Free Topology, Part II: Spaces of Points’, Studia Logica, 107: 809–843.
Grzegorczyk, A., 1960, ‘Axiomatizability of Geometry without Points’, Synthese, 12: 228–235.
Hahmann, T., and Grüninger, M., 2012, ‘Region-Based Theories of Space: Mereotopology and Beyond’, in S. M. Hazarika (ed.), Qualitative Spatio-Temporal Representation and Reasoning: Trends and Future Directions, Hershey, PA: IGI Global, pp. 1–62.
Hall, E. T., 1966, The Hidden Dimension, Garden City, NY: Doubleday.
Hamblin, C. L., 1969, ‘Starting and Stopping’, The Monist, 53: 410–425.
–––, 1971, ‘Instants and Intervals’, Studium Generale, 24: 127–134.
Haslanger, S., 2000, ‘Feminism in Metaphysics: Negotiating the Natural’, in M. Fricker and J. Hornsby (eds.), The Cambridge Companion to Feminism in Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 107–126.
–––, 2012, Resisting Reality. Social Construction and Social Critique, Oxford: Oxford University Press.
Hausdorff, F., 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig: Veit.
Hawley, K., 2002, ‘Vagueness and Existence’, Proceedings of the Aristotelian Society, 102: 125–140.
Hazen, A., 1990, ‘The Mathematical Philosophy of Contact’, Philosophy, 65: 205–211.
Hegel, G. W. F., 1833, Wissenschaft der Logik, 2nd edition (ed. by L. von Henning), Berlin: Duncker und Humblot; English translation by G. di Giovanni, The Science of Logic, Cambridge: Cambridge University Press, 2010.
Heidegger, M., 1952, ‘Bauen Wohnen Denken’, in O. Bartning (ed.), 2. Darmstädter Gespräch, Mensch und Raum, Darmstadt: Neue Darmstädter Verlagsanstalt, pp. 72–84; English translation by A. Hofstadter, ‘Building Dwelling Thinking’, in M. Heidegger, Poetry, Language, Thought, New York: Harper Colophon, 1971, pp. 143–163.
Heller, M., 1990, The Ontology of Physical Objects: Four Dimensional Hunks of Matter, Cambridge: Cambridge University Press.
Hellman, G., and Shapiro, S., 2018, Varieties of Continua. From Regions to Points and Back, Oxford: Oxford University Press.
Hestevold, H. S., 1986, ‘Boundaries, Surfaces, and Continuous Wholes’, Southern Journal of Philosophy, 24: 235–245.
Holden T., 2004, The Architecture of Matter: Galileo to Kant, Oxford: Clarendon Press.
Hudson, H., 2001, ‘Touching’, Philosophical Perspectives, 15: 119–128.
–––, 2002, ‘The Liberal View of Receptacles’, Australasian Journal of Philosophy, 80: 432–439.
–––, 2005, The Metaphysics of Hyperspace, Oxford: Clarendon Press.
–––, 2007, ‘Simples and Gunk’, Philosophy Compass, 2: 291–302.
Hull, D., 1974, The Philosophy of Biological Science, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
Humberstone, I. L., 1979, ‘Interval Semantics for Tense Logic: Some Remarks’, Journal of Philosophical Logic, 8: 171–196.
Hume, D., A Treatise of Human Nature; ed. by L. A. Selby-Bigge with revisions by P. H. Nidditch, Oxford: Clarendon Press, 1978.
Husserl, E., 1901, Logische Untersuchungen. Zweiter Band. Untersuchungen zur Phänomenologie und Theorie der Erkenntnis, Halle: Niemeyer; 2nd ed. 1913; Eng. trans. by J. N. Findlay: Logical Investigations, Volume Two, London: Routledge & Kegan Paul, 1970.
Hyde, D., 2008, Vagueness, Logic and Ontology, Aldershot: Ashgate.
Hyun, I., and De Los Angeles, A. (eds.), 2019, Chimera Research. Methods and Protocols, New York: Humana Press.
Ibn Rušd (Abū l-Walīd Muḥammad ibn Aḥmad Ibn Rušd, or Averroes), On Aristotle’s Metaphysics; Eng. trans. by R. Arnzen, Berlin: De Gruyter, 2010.
Ibn Sīnā (Abū ʿAlī al-Ḥusain ibn ʿAbd Allāh Ibn Sīnā, or Avicenna), The Book of the Healing – Metaphysics; Eng. trans. by M. E. Marmura, Provo, UT: Brigham Young University Press, 2005.
–––, The Book of the Healing – Physics; Eng. trans. by J. McGinnis (2 vols.), Provo, UT: Brigham Young University Press, 2009.
Jackendoff, R., 1987, Consciousness and the Computational Mind, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 1991, ‘Parts and Boundaries’, Cognition, 41: 9–45.
Jackson, F., 1977, Perception. A Representative Theory, Cambridge: Cambridge University Press.
James, W., 1890, The Principles of Psychology (2 vols), New York: Holt & Co.
–––, 1907, Pragmatism: A New Name for Some Old Ways of Thinking, New York: Longmans, Green & Co.
Johanson, A. A., 1981, ‘Topology without Points’, Quaestiones Mathematicae, 4: 185–200.
John of Damascus, The Fount of Knowledge; Eng. trans. by F. H. Chase, Jr., Washington, DC: Catholic University of America Press, 1958.
Johnson, W. E., 1922, Logic, Part II: Demonstrative Inference, Deductive and Inductive, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1924, Logic, Part III: The Logical Foundations of Science, Cambridge: Cambridge University Press.
Johnstone, P. T., 1983, ‘The Point of Pointless Topology’, Bulletin of the American Mathematical Society (New Series), 8: 41–53.
Jones, S. B., 1945, Boundary-Making: A Handbook for Statesmen, Treaty Editors, and Boundary Commissioners, Washington, DC: Carnegie Endowment for International Peace.
Jubien, M., 1993, Ontology, Modality, and the Fallacy of Reference, Cambridge: Cambridge University Press.
Kamp, H., 1979, ‘Events, Instants, and Temporal Reference’, in R. Bäuerle et al. (eds.), Semantics from Different Points of View, Berlin: Springer, pp. 376–417.
–––, 1980, ‘Some Remarks on the Logic of Change, Part I’, in C. Rohrer (Ed.), Time Tense and Quantifiers. Proceeding of the Stuttgart Conference on the Logic of Tense and Quantification, Tübingen: Niemeyer, pp. 135–179.
Kanizsa, G., 1955, ‘Margini quasi-percettivi in campi con stimolazione omogenea’, Rivista di Psicologia, 49: 7–30; English translation by W. Gerbino, ‘Quasi-Perceptual Margins in Homogeneously Stimulated Fields’, in S. Petry and G. E. Meyer (eds.), The Perception of Illusory Contours, New York: Springer, 1987, pp. 40–49.
Kant, I., 1783, Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, Riga: Hartnoch; English translation by P. Carus, revised by J. W. Ellington, Prolegomena to Any Future Metaphysics, Indianapolis, IN: Hackett, 1977.
Katz, E., 2022, ‘Contact and Continuity: What Happens at the Boundaries?’, Oxford Studies in Ancient Philosophy, 60: 239–270.
Keefe, R., 2000, Theories of Vagueness, Cambridge: Cambridge University Press.
Kelley, J. L., 1955, General Topology, Princeton, NJ: Van Nostrand.
Kilborn, W., 2007, ‘Contact and Continuity’, Oxford Studies in Metaphysics, 3: 267–280.
Kitcher, P., 2001, Science, Truth, and Democracy, Oxford: Oxford University Press.
Kline, D., and Matheson, C. A., 1987, ‘The Impossibility of Collision’, Philosophy, 62: 509–515.
Koffka, K., 1935, Principles of Gestalt Psychology, London: Kegan Paul, Trench, Trubner.
Koslicki, K., 2014, ‘Varieties of Ontological Dependence’, in F. Correia and B. Schnieder (eds.), Metaphysical Grounding: Understanding the Structure of Reality, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 186–213.
Kraus, L. B., 2016, Ontologie der Grenzen ausgedehnter Gegenstände, Berlin: de Gruyter.
Kretzmann, N., 1976, ‘Incipit/Desinit’, in P. Machamer and R. Turnbull (eds.), Motion and Time, Space and Matter, Columbus, OH: Ohio State University Press, pp. 101–136.
Lamartine, A. de, 1841, ‘La Marseillaise de la paix. Réponse à M. Becker’, Revue des Deux Mondes, 26: 794–799.
Lando, T., and Scott, D., 2019, ‘A Calculus of Regions Respecting both Measure and Topology’, Journal of Philosophical Logic, 48: 825–850.
Lange, M., 2015, An Introduction to the Philosophy of Physics. Locality, Fields, Energy, and Mass, Oxford: Blackwell.
Le Poidevin, R., 2000, ‘Continuants and Continuity’, The Monist, 83: 381–398.
Leonardo da Vinci, The Notebooks; selected Eng. trans. by E. MacCurdy, London: Reynal & Hitchock, 1938.
Lewis, D. K., 1986, On the Plurality of Worlds, Oxford: Blackwell.
–––, 1991, Parts of Classes, Oxford: Blackwell.
Lewis, D. K., and Lewis, S. R., 1970, ‘Holes’, Australasian Journal of Philosophy, 48: 206–212.
Lewontin, R. C., 1978, ‘Adaptation’, Scientific American, 239(3): 212–230.
Lobačevskij, N. I., 1835–1938, ‘Novye načala geometrii s polnoĭ teorieĭ parallel’nyh’, Učenye zapiski Kazanskogo Imperatorskogo universiteta, 1835/III: 3–48; 1836/II: 3–98; 1836/III: 3–50; 1837/I: 3–97; 1838/I: 3–124; 1838/III: 3–65. Eng. trans. of the Introduction by G. B. Halsted: New Principles of Geometry with Complete Theory of Parallels, Austin, TX: Neomon, 1897.
Locke, J., An Essay Concerning Human Understanding; ed. by P. H. Nidditch, Oxford: Clarendon Press, 1975.
Ludu, A., 2016, Boundaries of a Complex World, Berlin: Springer; 2nd edition, 2021.
Maddy, P., 1989, ‘Perception and Mathematical Intuition’, The Philosophical Review, 89: 163–196.
Mandelbrot, B. B., 1967, ‘How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension’, Science, 156: 636–638.
Markosian, N., 1998, ‘Simples’, Australasian Journal of Philosophy, 76: 213–226.
Massin, O., 2018, ‘Brentanian Continua’, Brentano Studien, 16: 229–273.
Maturana, H. R., and Varela, F. J., 1972, De máquinas y seres vivos. Una teoría sobre la organización biológica, Santiago de Chile: Editorial Universitaria; English version as ‘Autopoiesis: The Organization of the Living’, in H. R. Maturana and F. J. Varela, Autopoiesis and Cognition. The Realization of the Living, Dordrecht: Reidel, 1980, pp. 73–138.
McDaniel, K., 2006, ‘Gunky Objects in a Simple World’, Philo, 9: 39–46.
–––, 2007, ‘Extended Simples’, Philosophical Studies, 133: 131–141.
McGee, V., 1997, ‘“Kilimanjaro”’, Canadian Journal of Philosophy (Supplement), 23: 141–195.
Medlin, B., 1963, ‘The Origin of Motion’, Mind, 72: 155–175.
Mehlberg, H., 1958, The Reach of Science, Toronto: University of Toronto Press.
Menger, K., 1940, ‘Topology Without Points’, Rice Institute Pamphlets, 27: 80–107.
Michelangelo Buonarroti, The Poems; Eng. trans. ed. by C. Ryan, London: Dent, 1996.
Moore, G. E., 1925, ‘A Defence of Common Sense’, in J. H. Muirhead (ed.), Contemporary British Philosophy (Second Series), London: Allen & Unwin, pp. 193–223.
Morreau, M., 2002, ‘What Vague Objects Are Like’, The Journal of Philosophy, 99: 333–361.
Mortensen C., 1985, ‘The Limits of Change’, Australasian Journal of Philosophy, 63, 1–10.
Mozer, A., 1973, ‘Entwicklungspolitik zu Hause’, in C. Schöndube (ed.), Entwicklungsregionen in der EWG: Ursache un Ausmaß der wirtschaftlichen Benachteiligung, Bad Honnef: Osang, pp. 14–25.
Mullā Ṣadrā (Ṣadr ad-Dīn Muḥammad Shīrāzī), Al-Ḥikma al-Muta‘āliya fī al-Asfār al-Arba‘a al-‘Aqlīya; ed. by S. M. Khaminihi (9 vols.), Tehran: Intisharat‐i bunyad‐i hikmat‐i islami‐yi Sadra, 2001–2005.
Musil, R., 1930, Der Mann ohne Eigenschaften (Erstes Buch), Berlin: Rowohlt; English translation by E. Wilkins and B. Pike, The Man without Qualities (Volume 1), New York: Vintage, 1995.
Nelson, R., and Palmer, S. E., 2001, ‘Of Holes and Wholes: The Perception of Surrounded Regions’, Perception, 30: 1213–1226.
Netz, R., 2009, Barbed Wire: An Ecology of Modernity, Middletown, CT: Wesleyan University Press.
Nicod, J., 1924, La géométrie dans le monde sensible, Paris: Alcan; Eng. trans. by J. Bell and M. Woods, ‘Geometry in the Sensible World’, in Geometry and Induction, Berkeley, CA: University of California Press, 1970.
Noonan, H. W., 2008, ‘Does Ontic Indeterminacy in Boundaries Entail Ontic Indeterminacy in Identity?’, Analysis, 68: 174–176.
Nuñez Erices, G., 2019, ‘Boundaries and Things. A Metaphysical Study of the Brentano-Chisholm Theory’, Kriterion, 33(2): 15–48.
Ockham, W., Quodlibetal Questions; English translation by A. J. Freddoso and F. E. Kelly, New Haven, CT: Yale University Press, 1991.
Odling-Smee, J., Laland, K., and Feldman, M., 2003, Niche Construction: The Neglected Process in Evolution, Princeton, NJ: Princeton University Press.
Ovid, Fasti; Eng. trans. by A. J. Boyle and R. D. Woodard, London: Penguin, 2000.
Paganini, E., 2017, ‘Vague Objects within Classical Logic and Standard Mereology, and without Indeterminate Identity’, Journal of Philosophical Logic, 46: 457–465.
Parsons, J., 2000, ‘Must a Four-Dimensionalist Believe in Temporal Parts?’, The Monist, 83: 399–418.
Peirce, C. S., 1892, ‘The Law of Mind’, The Monist, 2: 533–559.
–––, 1893, ‘The Logic of Quantity’, in C. Hartshorne and P. Weiss (eds.), Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Volume 4, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, pp. 59–131.
Pfeiffer, C., 2018, Aristotle’s Theory of Bodies, Oxford: Oxford University Press
Pickup, M., 2022, ‘Unsettledness in Times of Change’, Synthese, 200(116). doi: 10.1007/s11229-022-03607-z
Piras, N., 2020, ‘Fiat Boundaries: How to Fictionally Carve Nature at its Joints’, Philosophical Inquiries, 8(2): 85–106.
Plato, Parmenides; Eng. trans. by M. L. Gill and P. Ryan, in J. M. Cooper (ed.), Plato. Complete Works, Indianapolis, IN: Hackett, 1997, pp. 359–397.
–––, Phaedrus; Eng. trans. by A. Nehamas and P. Woodruff, in J. M. Cooper (ed.), Plato. Complete Works, Indianapolis, IN: Hackett, 1997, pp. 506–556.
Plutarch, Numa; Eng. trans. by B. Perrin, in Plutarch’s Lives, Volume 1, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1914, pp. 305–381.
–––, The Roman Questions; Eng. trans. by F. C. Babbitt, in Plutarch’s Moralia, Volume 4, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1936, pp. 7–171.
Pratt-Hartmann, I., 2007, ‘First-order Mereotopology’, in M. Aiello et al. (eds.), Handbook of Spatial Logics, Berlin: Springer, pp. 13–97.
Prescott, J. R. V., 1965, The Geography of Frontiers and Boundaries, London: Hutchinson.
Price, H. H., 1932, Perception, London: Methuen.
Priest, G., 1982, ‘To Be and Not to Be: Dialectical Tense Logic’, Studia Logica, 41: 249–268.
–––, 1985, ‘Inconsistencies in Motion’, American Philosophical Quarterly, 22: 339–346.
–––, 2006, In Contradiction. A Study of the Transconsistent, second edition, Oxford: Clarendon Press.
Quine, W. V. O., 1948, ‘On What There Is’, Review of Metaphysics, 2: 21–38.
Randell, D. A., Cui, Z., and Cohn, A. G., 1992, ‘A Spatial Logic Based on Regions and Connection’, in B. Nebel et al. (eds.), Principles of Knowledge Representation and Reasoning. Proceedings of the Third International Conference, Los Altos, CA: Morgan Kaufmann, pp. 165–176.
Rankin, K. J., and Schofield, R. N., 2004, ‘The Troubled Historiography of Classical Boundary Terminology’, Working Papers in British-Irish Studies (No. 41), Dublin: University College.
Ratzel, F., 1897, Politische Geographie, oder die Geographie der Staaten, des Verkehres und des Krieges, Munich: Oldenbourg.
Reclus, É., 1905–1908, L’homme et la terre (5 vols), Paris: Libraire Universelle.
Rezaei, M. J., and Bozorgi, M. D., 2001, ‘Mulla Sadra’s Theory of Substantial Motion’, Journal of Philosophical Theological Research, 13: 23–50.
Rhees, R., 1938, ‘Outer and Inner Surfaces of Bodies’, published in C. Erbacher and T. Schirmer, ‘On Continuity: Rush Rhees on Outer and Inner Surfaces of Bodies’, Philosophical Investigations, 40 (2017): 3–30.
Roeper, P., 1997, ‘Region-based Topology’, Journal of Philosophical Logic, 26: 251–309.
Rousseau, J. J., Discours sur l’origine et les fondements de l’inégalité parmi les hommes; Eng. trans. by D. A. Cress, Discourse on the Origin of Inequality, Indianapolis, IN: Hackett, 1992.
Rubin, E., 1915, Synsoplevede figurer. Studier i psykologisk Analyse, Copenaghen: Gyldendal; abridged Eng. trans. by M. Wertheimer: ‘Figure and ground’, in D. C. Beardslee and M. Wertheimer (eds.), Readings in Perception, Princeton, NJ: Van Nostrand, 1958, pp. 194–203.
Russell, B., 1914, Our Knowledge of the External World, London: Allen & Unwin.
–––, 1923, ‘Vagueness’, Australasian Journal of Philosophy and Psychology, 1: 84–92.
–––, 1927, The Analysis of Matter, London: Allen & Unwin.
Russell, J. T., 2008, ‘The Structure of Gunk: Adventures in the Ontology of Space’, Oxford Studies in Metaphysics, 4: 248–274.
Sack, R. D., 1986, Human Territoriality. Its Theory and History, Cambridge: Cambridge University Press.
Sainsbury, M., 1990, ‘Concepts Without Boundaries’, Inaugural Lecture, Department of Philosophy, King’s College, London; published in R. Keefe and P. Smith (eds.), Vagueness. A Reader, Cambridge, MA: MIT Press, 1996, pp. 251–264.
Sanford, D., 1967, ‘Volume and Solidity’, Australasian Journal of Philosophy, 45: 329–340.
Sattler, B. M., 2020, The Concept of Motion in Ancient Greek Thought: Foundations in Logic, Method, and Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
Schmaltz, T. M., 2019, ‘The Metaphysics of Surfaces in Suárez and Descartes’, Philosophers’ Imprint, 19: 1–20.
–––, 2020, The Metaphysics of the Material World: Suárez, Descartes, Spinoza, Oxford: Oxford University Press.
Schmolze, J. G., 1996, ‘A Topological Account of the Space Occupied by Physical Objects’, The Monist, 79: 128–140.
Schumann, F., 1900, ‘Beiträge zur Analyse der Gesichtswahrnehmungen. Erste Abhandlung. Einige Beobachtungen über die Zusammenfassung von Gesichtseindrücken zu Einheiten’, Zeitschrift für Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane, 23: 1–32; English translation by A. Hogg, ‘Contributions to the Analysis of Visual Perception, First Paper: Some Observations on the Combination of Visual Impressions into Units’, in S. Petry and G. E. Meyer (eds.), The Perception of Illusory Contours, New York: Springer, 1987, pp 21–34.
Sextus Empiricus, Against the Physicists; Eng. trans. by R. Bett, Cambridge: Cambridge University Press, 2012.
Shapiro, S., and Hellman, G. (eds.), 2021, The History of Continua: Philosophical and Mathematical Perspectives, Oxford: Oxford University Press.
Shatalov, K. W., 2020, ‘Continuity and Mathematical Ontology in Aristotle’, Journal of Ancient Philosophy, 14: 30–61.
Sherry, D., 2015, ‘Fields and the Intelligibility of Contact Action’, Philosophy, 90: 457–477.
Sidelle, A., 1989, Necessity, Essence, and Individuation, Ithaca, NY: Cornell University Press.
–––, 1992, ‘Rigidity, Ontology, and Semantic Structure’, The Journal of Philosophy, 89: 410–430.
Simons, P. M., 1991, ‘Faces, Boundaries, and Thin Layers’, in A. P. Martinich and M. J. White (eds.), Certainty and Surface in Epistemology and Philosophical Method. Essays in Honor of Avrum Stroll, Lewiston, NY: Mellen, pp. 87–99.
–––, 2004, ‘Extended Simples: A Third Way Between Atoms and Gunk’, The Monist, 87: 371–384.
Skyrms, B., 1993, ‘Logical Atoms and Combinatorial Possibility’, The Journal of Philosophy, 90: 219–232.
Smid, J., 2015, ‘A Puzzle Concerning Boundaries, Dependence, and Parthood’, Analytic Philosophy, 56: 169–176.
Smith, B., 1995, ‘On Drawing Lines on a Map’, in A. U. Frank and W. Kuhn (eds.), Spatial Information Theory. A Theoretical Basis for GIS, Berlin: Springer, pp. 475–484.
–––, 1996, ‘Mereotopology: A Theory of Parts and Boundaries’, Data & Knowledge Engineering, 20: 287–303.
–––, 1997a, ‘Boundaries: An Essay in Mereotopology’, in L. H. Hahn (ed.), The Philosophy of Roderick Chisholm, La Salle, IL: Open Court, pp. 534–561.
–––, 1997b, ‘On Substances, Accidents and Universals. In Defence of a Constituent Ontology’, Philosophical Papers, 27: 105–127.
–––, 1999a, ‘Boundaries: A Brentanian Theory’, Brentano Studien, 8: 107–114.
–––, 1999b, ‘Agglomerations’, in C. Freksa and D. M. Mark (eds.), Spatial Information Theory. Cognitive and Computational Foundations of Geographic Information Science, Berlin: Springer, pp. 267–282.
–––, 2001, ‘Fiat Objects’, Topoi, 20: 131–148.
–––, 2019, ‘Drawing Boundaries’, in T. Tambassi (ed.), The Philosophy of GIS, Cham: Springer, pp. 137–158.
Smith, B., and Varzi, A. C., 1999, ‘The Niche’, Noûs, 33: 214–238.
–––, 2000, ‘Fiat and Bona Fide Boundaries’, Philosophy and Phenomenological Research, 60: 401–420.
–––, 2002, ‘Surrounding Space. On the Ontology of Organism-Environment Relations’, Theory in Biosciences, 120: 139–162.
Smith, S. R., 2007, ‘Continuous Bodies, Impenetrability, and Contact Interactions: The View from the Applied Mathematics of Continuum Mechanics’, British Journal for the Philosophy of Science, 58: 503–538.
Sorabji, R., 1983, Time, Creation and the Continuum, Ithaca, NY: Cornell University Press.
Sorabji, R., and Kretzmann, N., 1976, ‘Aristotle on the Instant of Change’, Proceedings of the Aristotelian Society (Supplementary Volume), 50: 69–114.
Sorensen, R. A., 1986, ‘Transitions’, Philosophical Studies, 50: 187–193.
–––, 1988, Blindspots, Oxford: Clarendon Press.
Spencer-Brown, G., 1969, Laws of Form, London: Allen & Unwin.
Stebbing, S. L., 1930, A Modern Introduction to Logic, London: Methuen.
Strang, C., 1974, ‘Plato and the Instant’, Proceedings of the Aristotelian Society (Supplementary Volume), 48: 63–79.
Strobach, N., 1998, The Moment of Change. A Systematic History in the Philosophy of Space and Time, Dordrecht: Reidel.
Stroll, A., 1977, ‘Talk About Talk About Surfaces’, Dialectica, 31: 409–430
–––, 1979, ‘Two Conceptions of Surfaces’, Midwest Studies in Philosophy, 4: 277–291.
–––, 1986a, ‘The Role of Surfaces in an Ecological Theory of Perception’, Philosophy and Phenomenological Research, 46: 437–453.
–––, 1986b, ‘Seeing Surfaces’, Midwest Studies in Philosophy, 10: 379–398.
–––, 1988, Surfaces, Minneapolis, MN: University of Minnesota Press.
Suárez, F., Disputationes metaphysicae; in C. Berton (ed.), R. P. Francisci Suarez Opera Omnia, vols. 25–26, Paris: Vivès, 1861.
Sultan, S. E., 2015, Organism and Environment. Ecological Development, Niche Construction, and Adaptation, Oxford: Oxford University Press.
Tahko, T. E., 2012, ‘Boundaries in Reality’, Ratio, 25: 405–424.
Tanaka, K., 1998, ‘To Be Something and Something Else: Dialetheic Tense Logic’, Logique et Analyse, 161–163: 189–202.
Tarski, A., 1929, ‘Les fondements de la géométrie des corps’, Ksiega Pamiatkowa Pierwszkego Polskiego Zjazdu Matematycznego, suppl. to Annales de la Société Polonaise de Mathématique, 7: 29–33; English translation by J. H. Woodger, ‘Foundations of the Geometry of Solids’, in A. Tarski, Logics, Semantics, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938, Oxford: Clarendon Press, 1956, pp. 24–29.
Taylor, R. B., 1988, Human Territorial Functioning. An Empirical, Evolutionary Perspective on Individual and Small Group Territorial Cognitions, Behaviors and Consequences, Cambridge: Cambridge University Press.
Tye, M., 1990, ‘Vague Objects’, Mind, 99: 535–557.
Uzquiano, G., 2006, ‘Receptacles’, Philosophical Perspectives, 20: 427– 451
–––, 2011, ‘Mereological Harmony’, Oxford Studies in Metaphysics, 6: 199–224.
Vakarelov, D., 2007, ‘Region-Based Theory of Space: Algebras of Regions, Representation Theory, and Logics’, in D. M. Gabbay, S. G. Goncharov, and M. Zakharyaschev (eds.), Mathematical Problems from Applied Logic. Logics for the XXIst Century, Berlin: Springer, vol. 2, pp. 267–348.
–––, 2015, ‘A Whiteheadian-Type Theory of Space and Time’, in V. Petrov and A. C. Scarfe (eds.), Dynamic Being: Essays in Process-Relational Ontology, Newcastle: Cambridge Scholars, pp. 262–305.
van Benthem, J., 1983, The Logic of Time, Dordrecht: Kluwer; 2nd edition, 1991.
Varzi, A. C., 1997, ‘Boundaries, Continuity, and Contact’, Noûs, 31: 26–58.
–––, 2001, ‘Vagueness in Geography’, Philosophy & Geography, 4: 49–65.
–––, 2007, ‘Spatial Reasoning and Ontology: Parts, Wholes, and Locations’, in M. Aiello et al. (eds.), Handbook of Spatial Logics, Berlin: Springer, pp. 945–1038.
–––, 2011, ‘Boundaries, Conventions, and Realism’, in J. K. Campbell et al. (eds.), Carving Nature at Its Joints, Cambridge, MA: MIT Press, pp. 129–153.
–––, 2016, ‘On Drawing Lines across the Board’, in Leo Zaibert (ed.), The Theory and Practice of Ontology, London: Palgrave Macmillian, pp. 45–78.
–––, 2021, ‘Points as Higher-order Constructs: Whitehead’s Method of Extensive Abstraction’, in Shapiro and Hellman (2021), pp. 347–378.
Venn, J., 1880, ‘On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings’, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science (Fifth Series), 10(59): 1–18.
Wagemans, J. (ed.), 2015, The Oxford Handbook of Perceptual Organization, Oxford: Oxford University Press.
Walker, A. G., 1947, ‘Durées et instants’, Revue Scientifique, 85: 131–134.
Wastl-Walter, D. (ed.), 2011, The Ashgate Research Companion to Border Studies, Farnham: Ashgate.
Weber, Z., 2021, Paradoxes and Inconsistent Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
Werner, K., 2021, ‘Structural Coupling and the Puzzle of Surfaces: Ontology of Boundaries from the Minimally Cognitive Perspective’, Adaptive Behavior, 29: 601–615.
–––, 2022, The Embodied Philosopher. Living in Pursuit of Boundary Questions, London: Palgrave Macmillian.
Wertheimer, M., 1923, ‘Untersuchungen zur Lehre von der Gestalt. II’, Psychologische Forschung, 4: 301–350; English translation by M. Wertheimer and K. W. Watkins, ‘Investigations on Gestalt Principles’, in M. Wertheimer, On Perceived Motion and Figural Organization (ed. by L. Spillmann), Cambridge, MA: MIT Press, 2012, pp. 127–182.
Whitehead, A. N., 1916, ‘La théorie relationniste de l’espace’, Revue de Métaphysique et de Morale, 23: 423–454; English translation by P. J. Hurley, ‘The Relational Theory of Space’, Philosophy Research Archives, 5 (1979): 712–741.
–––, 1919, An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1920, The Concept of Nature, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1929, Process and Reality. An Essay in Cosmology, Cambridge: Cambridge University Press; corrected edition, D. R. Griffin and D. W. Sherburne (eds.), New York: The Free Press, 1978.
Williamson, T., 1994, Vagueness, London: Routledge.
Wilson, J. M., 2013, ‘A Determinable-Based Account of Metaphysical Indeterminacy’, Inquiry, 56: 359–385.
Wilson, M., 2008, ‘Beware of the Blob: Cautions for Would-Be Metaphysicians’, Oxford Studies in Metaphysics, 4: 275–320.
Wilson, T. M., and Donnan, H. (eds.), 2012, A Companion to Border Studies, Chichester: Wiley Blackwell.
Wittgenstein, L., 1921, ‘Logisch-philosophische Abhandlung’, Annalen der Naturphilosophie, 14: 185–262; English translation by C. K. Ogden, Tractatus Logico-Philosophicus, London: Kegan Paul, Trench, Trubner, 1922.
–––, 1953, Philosophical Investigations / Philosophische Untersuchungen, with English translation by G. E. M. Anscombe, Oxford: Blackwell.
–––, 1980, Bemerkungen über die Philosophie der Psychologie / Remarks on the Philosophy of Psychology, G. E. M. Anscombe and G. H. von Wright (eds.), with English translation by G. E. M. Anscombe, Oxford: Blackwell.
Zadeh, L. A., 1965, ‘Fuzzy Sets’, Information and Control, 8: 338–353.
Zerubavel, E., 1991, The Fine Line: Making Distinctions in Everyday Life, New York: The Free Press.
Zhuangzi [Chuang Tzu], Essentials for Nurturing Life; English translation by V. H. Mair, in V. H. Mair (ed.), Wandering on the Way. Early Taoist Tales and Parables of Chuang Tzu, New York: Bantam, 1994, pp. 25–28.
Zimmerman, D. W., 1996a, ‘Indivisible Parts and Extended Objects: Some Philosophical Episodes from Topology’s Prehistory’, The Monist, 79: 148–180.
–––, 1996b, ‘Could Extended Objects Be Made Out of Simple Parts? An Argument for “Atomless Gunk”’, Philosophy and Phenomenological Research, 56: 1–29.
Zupko, J., 1993, ‘Nominalism Meets Indivisibilism’, Medieval Philosophy and Theology, 3: 158–185.

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Acknowledgements

Many thanks to the editors and to Roberto Casati, Gottfried Heinemann, and Benjamin Wilck for helpful comments and suggestions.

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