古代逻辑学 ancient (Susanne Bobzien)

首次发表于 2006 年 12 月 13 日，实质性修订于 2020 年 4 月 15 日。

逻辑学作为一门学科，始于对逻辑方法和论证模式的更或多或少不加思考的使用，以及对这些方法、模式及其要素（包括句子的句法和语义）的反思和探究。在希腊和罗马古代，对逻辑的某些要素的讨论和对推理方法的关注可以追溯到公元前 5 世纪末。苏格拉底学派，以及后来的柏拉图（公元前 4 世纪早期）对句子分析、真理和谬误表现出兴趣，而米利都的尤布里底斯（公元前 4 世纪中期）被记录为同时发明了“说谎者悖论”和“连续悖论”。但是，逻辑作为一个完全系统的学科始于亚里士多德，他系统化了他前辈的逻辑探究。他的主要成就是他关于肯定和否定存在性和普遍性陈述之间逻辑关系的理论，以及基于这个理论的演绎推理系统，可以被解释为一个演绎推理系统。亚里士多德的逻辑被称为术语逻辑，因为它关注术语之间的逻辑关系，比如“人类”、“动物”、“白色”。它与集合论和谓词逻辑都有一些共同要素。亚里士多德在他的学派——亚里士多德学派的继任者，尤其是提奥弗拉斯托和尤德莫斯，扩大了演绎推理的范围，并改进了亚里士多德逻辑的一些方面。

在希腊化时期，逻辑学家 Diodorus Cronus 和他的学生 Philo（见词条“辩证学派”）似乎独立于亚里士多德的成就，他们发展出了一种以命题而不是术语为基本要素的逻辑学。他们影响了古代逻辑学的第二位重要理论家，斯多葛派的 Chrysippus（公元前 3 世纪中期），他的主要成就是发展了一种命题逻辑，并以演绎系统为基础。他被古代许多人视为最伟大的逻辑学家，在当代形式和哲学逻辑中，他在许多核心问题上都具有创新性。Chrysippus 的哲学逻辑与 Gottlob Frege 的逻辑特别相似。Chrysippus 的斯多葛派继任者对他的逻辑进行了系统化，并进行了一些补充。

从公元前 100 年至公元 250 年的逻辑学发展大部分仍然是未知的，但毫无疑问逻辑学是经常被研究和研究的主题之一。某个时候，亚里士多德学派和斯多葛学派开始注意到彼此的逻辑系统，并且我们可以看到两种术语和理论的一些混合。亚里士多德的三段论被称为“范畴三段论”，斯多葛学派对亚里士多德三段论的改编被称为“假设三段论”。在公元 2 世纪，加伦试图综合这两个传统；他还声称引入了第三种三段论，即“关系三段论”，显然是为了帮助形式化数学推理。一些中期柏拉图主义者（公元前 1 世纪至公元 2 世纪）试图声称柏拉图式逻辑，但失败了，取而代之的是新柏拉图主义者（公元 3 至 6 世纪）采用了一种学院化的亚里士多德逻辑作为自己的逻辑。在希腊评论家对亚里士多德逻辑著作的巨大（尽管很少有创造性）的卷册中，我们发现了斯多葛学派和后来的亚里士多德学派逻辑以及柏拉图主义、古代数学和修辞学的元素。对于阿普列乌斯（公元 2 世纪）和博伊修斯（公元 6 世纪）的拉丁逻辑著作也是如此，它们为亚里士多德逻辑的进入中世纪时代铺平了道路。

1. 亚里士多德前逻辑学

1.1 语法和语义

一些苏格拉底学派根据句子的力度对其进行分类。所以普罗泰戈拉斯（公元前 485-415 年），包括愿望、问题、回答和命令（Diels Kranz (DK) 80.A1, Diogenes Laertius (D. L.) 9.53-4），以及阿尔西达马斯（戈尔基亚斯的学生，公元前 4 世纪），区分肯定（phasis）、否定（apophasis）、问题和陈述（prosagoreusis）（D. L. 9.54）。安提斯泰尼斯（公元前 5 世纪中期至公元前 4 世纪中期）将句子定义为“指示事物过去或现在的东西”（D. L. 6.3, DK 45），并表示说出事实的人说真话（DK49）。也许最早关于逻辑的存世文献出现在《双重论证》（DK 90.4，公元前 400 年左右）。这是关于真理和谬误的辩论的证据。对立的观点是：（i）真理是句子的—时间性—属性，如果句子所说的事情在说出时是如句子所说的那样，那么句子就是真的，否则就是假的；（ii）真理是所说之事的非时间性属性，如果事情是这样的，那么所说的就是真的，否则就是假的。这些是关于真理的两种替代对应理论的基本表述。同一段落还显示出对真理谓词的自指使用可能存在问题的认识，这一认识也由米利都的尤布里底斯（公元前 4 世纪中期）不久之后发现的“说谎者悖论”所证实。

一些柏拉图的对话包含着无可置疑的逻辑学主题的段落。在《辩士篇》中，柏拉图将简单陈述分析为包含动词（rhêma），表示动作，和名词（onoma），表示主体（Soph. 261e–262a）。预见到现代逻辑类型的区分，他认为名词序列和动词序列都不能组成陈述（Soph. 262a–d）。柏拉图还将句法（“什么是陈述？”）与语义（“何时为真？”）分离开来。如果某个陈述（例如“忒泰特斯正在坐着”）既能成功地指定一个主体，又能对这个主体说出一些内容，那么它就是一个陈述。因此，柏拉图将主语和谓语确定为陈述中的关系要素，并排除了包含空主语表达式的主谓组合作为陈述。如果某个陈述在涉及其主体（忒泰特斯）时说出了存在的事物（例如坐着），那么它就是一个真陈述。如果某个陈述在涉及其主体时说出了与存在的事物不同的事物（例如飞行），那么它就是一个假陈述。在这里，柏拉图提出了一个真理紧缩论的概念（Soph. 262e–263d；参见 Crat. 385b）。他还将否定与肯定区分开来，并认为否定粒子的范围是狭窄的：它否定的是谓语，而不是整个句子（Soph. 257b–c）。柏拉图的许多篇章中都存在他努力解释某些逻辑关系的情况：例如，他认为事物参与形式的理论对应于一种基本的陈述理论；在《辩士篇》和其他地方，他探讨了排除、联合和共同扩展的类别关系；还有谓词的“是”（存在）与同一性的“是”之间的区别；在《理想国》4，436bff.中，他预见了非矛盾律。但他对这些逻辑问题的阐释都是以形而上学的术语来表述的，因此最多只能被视为原始逻辑学的雏形。

1.2 论证模式和有效推理

亚里士多德之前的关于论证形式和有效推理的证据更难找到。埃莱亚的泽诺（约公元前 490 年出生）和苏格拉底（公元前 470-399 年）以他们反驳对手观点的方式而闻名。他们的方法与归谬法有相似之处，但似乎没有人对他们的逻辑程序进行理论化。泽诺提出了表现为“如果这个（即对手的观点）那个才成立”的模式变体的论证（logoi）。但那是不可能的。所以这是不可能的。苏格拉底的反驳是一个问答交流，对手根据他们的回答会得出与他们最初主张不相容的结论。柏拉图将这种争论制度化为结构化的、受规则约束的口头辩论，被称为辩证论证。为这种辩论发展出基本的逻辑词汇表，表明了对论证模式的一些思考。

公元前 5 世纪和公元前 4 世纪中期早期也对谬误和逻辑悖论产生了极大的兴趣。除了谎言者，尤布里德斯还被认为是几个其他逻辑悖论的创始人，包括悖论。柏拉图的《尤西德莫斯》中包含了大量当代谬误。在解决这些逻辑难题的尝试中，这里也发展出了逻辑术语，并且对有效和无效论证的区别的关注为寻找有效推理的标准奠定了基础。最后，可能希腊数学中在公元前 5 世纪后期开始形成的演绎和证明的塑造也为亚里士多德的三段论提供了灵感。

2. 亚里士多德

（有关亚里士多德逻辑学的更详细解释，请参见本百科全书中关于亚里士多德逻辑学的条目。）亚里士多德是逻辑学史上第一位伟大的逻辑学家。从公元 4 世纪到 19 世纪，他的逻辑学几乎没有对手。亚里士多德的逻辑著作由后来的亚里士多德学派整理并按照系统的顺序编排，他们将这些著作称为 Organon 或“工具”，因为他们认为逻辑学不是哲学的一部分，而是哲学的工具。Organon 按照传统顺序包括《范畴学》、《解释学》、《前分析》、《后分析》、《论题学》和《辩证法论证》。此外，《形而上学 Γ》是一部讨论矛盾原理的逻辑论文，亚里士多德的其他著作中也散布着一些逻辑洞见，如《诗学》、《修辞学》、《灵魂论》、《形而上学 Δ 和 Θ》以及一些生物学著作。《范畴学》和《后分析》的某些部分在今天可能被视为形而上学、认识论或科学哲学，而不是逻辑学。Organon 中的著作传统排列既不是按照时间顺序，也不是亚里士多德自己的顺序。由于亚里士多德似乎经常在后来的时间里向早期的著作中添加补充内容，原始的时间顺序无法完全恢复。然而，通过使用逻辑进展作为标准，我们可以推测大部分《论题学》、《辩证法论证》、《范畴学》和《形而上学 Γ》早于《解释学》，而《解释学》又早于《前分析》和《后分析》的某些部分。

2.1 辩证法学

《主题》为柏拉图学院中辩证论证竞赛参与者提供了一本手册。第 2 至 7 卷提供了关于如何找到一个论证来证明或驳斥给定论题的一般程序或规则（主题）。这些程序的描述——其中一些如此一般化以至于它们类似于逻辑定律——明显地预设了逻辑形式的概念，因此亚里士多德的《主题》可以被视为最早的幸存逻辑学论文。《辩伪论证》是第一个系统分类的谬误，按照每种类型所展示的逻辑缺陷（例如，模棱两可，问答自己，肯定因果关系，部分因果关系）以及如何揭示它们进行分类。

2.2 子句分类

亚里士多德通过表达式的组合（“一匹马跑”）区分具有句子统一性的事物与不具有句子统一性的事物（“马”，“跑”）；后者在《范畴学》中进行处理（标题实际上意味着“陈述”[1]）。它们没有真值，并表示以下之一：实体（ousia），数量（poson），质量（poion），关系（pros ti），位置（pou），时间（pote），位置（keisthai），拥有（echein），行动（poiein）和经历（paschein）。不清楚亚里士多德是否认为这种分类是可以被陈述于其他事物的语言表达的分类；或者是关于陈述的种类；或者是关于最高类的分类。在《主题》第 1 卷中，亚里士多德区分了谓词可能与主语之间存在的四种关系：它可以给出其定义、属类、独特属性或偶然属性。这些被称为可陈述的事物。

2.3 句子的语法和语义

在写《论诠释学》时，亚里士多德已经提出了以下关于简单句的理论：陈述句（apophantikos logos）或声明（apophansis）通过具有真值与祈祷、命令和疑问等其他篇章区分开来。亚里士多德逻辑学中的真值承担者因此是语言项目。它们是直接表示思想（所有人类共享）并通过这些思想间接表示事物的口头句子。而书面句子则表示口头句子。（简单）句子由两个相互关系的表示表达式构成：一个名词和一个动词（“Callias walks”）或两个由连词“是”连接的名词，连词共同表示这种关系（“Pleasure is good”）（Int. 3）。名词既可以是特指术语，也可以是普通名词（An. Pr. I 27）。两者都可以为空（Cat. 10，Int. 1）。特指术语只能出现在主语位置。动词共同表示时间。名词-动词句可以用连词重述（“Callias is (a) walking (thing)”）（Int. 12）。关于其质量，（陈述）句子可以是肯定句或否定句，具体取决于它是否肯定或否定其主语的谓词。否定句中的否定粒子具有广泛的范围（Cat. 10）。亚里士多德分别为肯定句和否定句定义了真理：如果肯定句说的是存在的事物，那么它就是真的；如果否定句说的是不存在的事物，那么它就是真的（Met. Γ.7 1011b25ff）。这些表述，或者无论如何它们的希腊对应词，可以解释为表达真理的对应或泄气论观念。无论哪种方式，真理都是一个句子在特定时间内具有的属性。关于其数量，句子可以是特指的、普遍的、特殊的或不定的。因此，亚里士多德得到了八种类型的句子，后来被称为“范畴句子”。以下是质量配对的例子：

Singular:

Callias 是公正的。

Callias 不公正。

Universal:

每个人都是公正的。

没有人是公正的。

Particular:

有些人是公正的。

有些人不公正。

Indefinite:

（某个）人是公正的。

(A) 人类并非公正。

通用和特定的句子都包含一个量词，普遍肯定和特定肯定都被认为具有存在性的含义（参见条目“传统对立方”）。不定式的逻辑状态是模糊和有争议的（Int. 6-7）。

亚里士多德区分了两种类型的句子对立：相反和矛盾。一个矛盾的句子对（一个反义）由一个肯定和它的否定组成（即否定否定主语的肯定）。亚里士多德假设通常情况下其中一个必须为真，另一个必须为假。相反的句子是这样的，它们不能同时为真。普遍肯定的对立是相应的特定否定；普遍否定的对立是相应的特定肯定。普遍肯定和相应的普遍否定是相反的。亚里士多德因此捕捉到了一元量词之间的基本逻辑关系（Int. 7）。

亚里士多德将时态视为真理主体的一部分（与仅仅是语法特征相对），他发现了关于有关偶然事项的未来时态句子的问题：对于这些句子，一个肯定命题和其否定命题必须一个为假，另一个为真的原则是否适用？例如，现在句子“明天将有一场海战”的真值是什么？亚里士多德可能暗示这个句子现在没有真值，因此双值性不成立——尽管明天要么有海战要么没有海战是必然的，以保持排中律的原则（Int. 9）。

2.4 非模态演绎

亚里士多德的非模态演绎（先验分析 A 1-7）是他逻辑学的巅峰。亚里士多德将演绎定义为“一个论证（logos），在其中，某些事情被提出，因为这些事情如此，必然会得出与所提出的不同的结论”。这个定义似乎要求（i）演绎由至少两个前提和一个结论组成，（ii）结论必然从前提中得出（因此所有演绎都是有效的论证），以及（iii）结论与前提不同。亚里士多德的演绎只涵盖了满足这些条件的所有论证的一小部分。

亚里士多德限制并规范了可以在演绎中出现的范畴句的类型。可接受的真值承担者现在被定义为每个都包含两个不同术语（horoi）的连词，其中一个（谓词术语）被肯定或否定地说成另一个（主词术语）的一部分。亚里士多德从未明确回答术语是事物（例如，非空类）还是这些事物的语言表达式的问题。只讨论了普遍和特殊句子。似乎排除了单数句子，而不定句则大多被忽略。在《分析前提》A 7 中，亚里士多德提到通过用不定前提替换特定前提，可以得到同类别的演绎。

演绎中的另一个创新是亚里士多德使用字母代替术语。这些字母最初可能只是术语的缩写（例如，《后分析》A 13）；但在演绎中，它们似乎主要具有以下功能：作为示意性术语字母或假定但未声明的具有普遍量词的术语变量。当亚里士多德使用字母时，他倾向于以下列方式表达四种类型的范畴句（括号中为常见的后期缩写）：

A 适用于（字面上，属于）每个 B

(A_a_B)

A 对 B 不成立

(A_e_B)

A 对某些 B 成立

(A_i_B)

A 对某些 B 不成立

(A_o_B)

他还使用“被断言”来代替“成立”。

所有基本的三段论由三个范畴句组成，其中两个前提共享一个称为中项的术语，而结论包含另外两个术语，有时称为极端。根据中项的位置，亚里士多德将所有可能的前提组合分为三个图式（schêmata）：第一图式中，中项（B）在第一个前提中作为主语，在第二个前提中作为被断言；第二图式中，中项在两个前提中都作为被断言；第三图式中，中项在两个前提中都作为主语：

III

A_holds of_B

B_holds of_A

A_holds of_B

B_holds of_C

C_holds of_B

A 也被称为主要术语，C 为次要术语。每个图式还可以根据前提是否都是普遍的进行进一步分类。亚里士多德系统地遍历了五十八种可能的前提组合，并表明其中十四种具有必然的结论，即是三段论。他的步骤是这样的：他假设第一图式的三段论是完备的，不需要证明，因为它们是显而易见的。相比之下，第二和第三图式的三段论是不完备的，需要证明。他通过将它们化简为第一图式的三段论来证明它们，从而“完成”它们。为此，他使用了三种方法：

转换（反转）：通过交换其术语来转换分类句。亚里士多德认识到并建立了三个转换规则：“从 A 属于 B 推导出 B 属于 A”；“从 A 包含 B 推导出 B 包含 A”和“从 A 属于 B 推导出 B 包含 A”。除了第二和第三形式的推理之外，几乎所有的推理都可以通过前提转换来证明。
归谬法（推导到不可能）：剩下的两个推理通过将假设的结论的矛盾与其中一个前提结合使用第一形式的推理来推导出与另一个前提不相容的结论来证明。利用先前建立的对立关系，假设的结论因此得到证实。
阐述或陈述（ekthesis）：这种方法是亚里士多德在（i）和（ii）之外使用的方法，它涉及选择或“陈述”一些附加术语，比如 D，该术语位于由两个前提 AxB 和 AxC 所限定的非空交集中，并使用 D 来证明从前提到特定结论 BxC 的推理。关于“D”代表一个特定术语还是一个普遍术语以及阐述是否构成证明存在争议。

对于不允许得出结论的三十四个前提组合，亚里士多德通过反例证明它们不允许得出结论。作为总体结果，他承认了四个第一图形三段论（后来被命名为巴巴拉、塞拉伦特、达里伊、费里奥），四个第二图形三段论（卡梅斯特、塞萨雷、费斯蒂诺、巴罗科）和六个第三图形三段论（达拉普蒂、费拉普顿、迪萨米斯、达蒂西、博卡尔多、费里松）；后来称为图形的模式或情绪。（这些名称是记忆法：例如，每个元音，或者在名称超过三个的情况下，前三个元音按顺序表示第一和第二前提以及结论是否为 a、e、i 或 o 类型的句子。）亚里士多德隐含地承认，通过在结论上使用转换规则，我们可以得到另外八个三段论（An. Pr. 53a3–14），而被拒绝为非三段论的前提组合中，有些（实际上是五个）将产生一个次要术语被陈述为主要术语的结论（An. Pr. 29a19–27）。此外，在《论题》中，亚里士多德接受了规则“从 AaB 推导出 AiB”和“从 AeB 推导出 AoB”。通过在结论上使用这些规则，可以证明另外五个三段论，尽管亚里士多德没有提到这一点。

亚里士多德超越了他的基本三段论，将第三和第四个第一形式的三段论简化为第二形式的三段论，从而事实上将所有的三段论都简化为巴巴拉和塞拉伦特；在《先分析篇》中，他还引用了一种割断规则，通过这种规则，多前提三段论可以简化为两个或更多个基本三段论。从现代的角度来看，亚里士多德的系统可以理解为一种自然演绎风格的顺承逻辑和一阶逻辑的片段。如果将范畴句所表达的关系按照集合论的方式解释为非空类的系统，则已经证明它是完备和完全的：当且仅当类 A 包含类 B 时，AaB 为真；当且仅当类 A 和类 B 不相交时，AeB 为真；当且仅当类 A 和类 B 不相交时，AiB 为真；当且仅当类 A 不包含类 B 时，AoB 为真。然而，普遍认为，亚里士多德的三段论是一种相关逻辑而不是经典逻辑。关于亚里士多德所指的“三段论”究竟是什么，这个令人困惑的文本问题已经有了几种竞争性的解释，其中包括一种认为它们是某种条件命题形式的解释。也许最有可能的是，亚里士多德的完全和不完全的三段论加在一起应该被理解为形式上有效的前提-结论论证；而他的完全和完成的三段论加在一起则是（正确的）推论。

2.5 情态逻辑

亚里士多德也是模态逻辑的创始人。除了质量（肯定或否定）和数量（单数、普遍、特定或不确定）之外，他认为范畴句具有一种模式；这是由于谓词被说成实际地或必然地或可能地或偶然地或不可能地适用于主语。后四种情况通过修饰谓词的模态运算符来表示，例如“A 可能适用于某些 B”；“A 必然适用于每个 B”。

在《解释学》12-13 中，亚里士多德（i）得出结论，模态运算符修改整个谓词（或者正如他所说的，连系动词），而不仅仅是句子的谓词术语。（ii）他陈述了模态运算符之间的逻辑关系，例如“不可能 A 不适用于 B”意味着“必然 A 适用于 B”。（iii）他研究了模态化句子的对立关系，并确定它们是通过将否定词放在模态运算符之前获得的。（iv）他将“可能”和“偶然”这两个表达式等同起来，但在一面倒的解释（必然蕴含可能性）和双面解释（可能性蕴含非必然性）之间犹豫不决。

亚里士多德在《前分析》1.8-22 中发展了他的模态三段论。他确定了双面可能性（偶然性），并测试了具有必然性（N）、偶然性（C）或无（U）模态运算符的前提句对的所有可能组合：NN、CC、NU/UN、CU/UC 和 NC/CN。具有最后三种前提组合类型的三段论被称为混合模态三段论。除了 NN 类别（与非模态化三段论相似）外，所有类别都包含可疑的情况。例如，亚里士多德接受：

A 对所有 B 都成立。 B 对所有 C 都成立。因此 A 对所有 C 都必然成立。

这些问题以及其他问题在古代已经有争议，最近更引发了一系列复杂的亚里士多德模态三段论的形式化重建。由于亚里士多德的理论可能在内部存在矛盾，因此已经提出的形式模型可能都不成功。

3. 早期的亚里士多德学派：提奥弗拉斯托斯和欧德莫斯

亚里士多德的弟子和继任者埃雷苏斯的提奥弗拉斯托斯（公元前 371 年至公元前 287 年左右）写了比他的老师更多的逻辑论文，其中有很大一部分内容与亚里士多德的重叠。罗得岛的欧德莫斯（公元前 4 世纪后期）写了一些名为《范畴论》、《分析学》和《论言语》的书。这些作品中只有一些片段和后来的证词幸存下来，大部分出现在对亚里士多德的评论中。提奥弗拉斯托斯和欧德莫斯简化了亚里士多德逻辑的某些方面，并在亚里士多德只给出了一些暗示的地方进行了发展。

3.1 对亚里士多德逻辑的改进和修改

这两位亚里士多德学派的学者似乎重新定义了亚里士多德的第一图式，使其包括了中项在一个前提中作为主语，在另一个前提中作为谓语的所有三段论。通过这种方式，亚里士多德在他的《先分析》中仅仅提到的五种非情态三段论（Baralipton、Celantes、Dabitis、Fapesmo 和 Frisesomorum）被包括在内，但放弃了亚里士多德认为第一图式三段论是显然的标准（Theophrastus fr. 91, Fortenbaugh）。此外，忒奥弗拉斯托斯和欧德莫斯还改进了亚里士多德的情态理论。忒奥弗拉斯托斯用单侧可能性取代了亚里士多德的双侧偶然性，使得可能性不再蕴含非必然性。两位学者都认识到问题性的普遍否定（“A 可能不属于任何 B”）可以简单地转换（Theophrastus fr. 102A Fortenbaugh）。此外，他们引入了混合情态三段论的原则，即结论的情态特征始终与前提中较弱的情态特征相同（Theophrastus frs. 106 和 107 Fortenbaugh），其中可能性弱于实际性，实际性弱于必然性。通过这种方式，亚里士多德的情态三段论得到了显著简化，许多不令人满意的命题，如上述命题（从“必然地 AaB”和“BaC”可以推断出“必然地 AaC”）消失了。

3.2 预见性三段论

提奥弗拉斯托斯引入了所谓的预设前提和演绎推理（提奥弗拉斯托斯 fr. 110 Fortenbaugh）。预设前提的形式为：

对于所有的 X，如果 Φ(X)，那么 Ψ(X)

这里 Φ(X)和 Ψ(X)代表分类句子，其中变量 X 代替了其中一个术语。例如：

A [holds] of all of that of all of which B [holds].
A [holds] of none of that which [holds] of all B.

Theophrastus 认为这样的前提包含三个术语，其中两个是确定的（A，B），一个是不确定的（“那个”，或者是绑定变量 X）。我们可以表示（1）和（2）为

∀X（BaX → AaX）

∀X（XaB → AeX）

随附性推理的产生方式如下：它们由一个随附前提和通过在前提中实例化一个术语（C）而获得的范畴前提组成，以及通过在结论中放入相同的术语（C）而获得的范畴句子作为结论。例如：

A [持有] 所有 B [持有] 的一切。 B [持有] 所有 C。因此，A [持有] 所有 C。

提阿弗拉斯托斯区分了这些三段论的三种形式，取决于不定项（也称为“中项”）在前提中的位置；例如（1）产生了第三种形式的三段论，（2）产生了第一种形式的三段论。前提三段论的数量可能等于前提句子的类型数量：根据提阿弗拉斯托斯对第一种形式的概念，这将是六十四个（即 32 + 16 + 16）。提阿弗拉斯托斯认为，某些前提三段论等同于某些范畴句子，例如（1）等同于“所有 B 都被 A 所断言”。然而，对于许多人，包括（2），找不到这样的等同，因此前提三段论增加了亚里士多德逻辑的推理能力。

3.3 Modus Ponens 和 Modus Tollens 的前身

提阿弗拉斯托斯和尤德穆斯考虑了他们称之为“假设前提”的复杂前提，这些前提具有以下两种（或类似的）形式之一：

如果某物是 F，那么它是 G

要么某物是 F，要么它是 G（使用排他性的“或”）

他们用所谓的“由假设前提和证明前提混合而成”的论证方法发展了一些论证（Theophrastus fr. 112A Fortenbaugh）。这些论证受到亚里士多德的“由假设”演绎法（An. Pr. 1.44）的启发，它们是 modus ponens 和 modus tollens 的前身，并具有以下形式（Theophrastus frs. 111 和 112 Fortenbaugh），使用排他性的“或”：

如果某物是 F，那么它就是 G。 a 是 F。因此，a 就是 G。

如果某物是 F，那么它就是 G。 a 不是 G。因此，a 不是 F。

要么某物是 F，要么它是 G。 a 是 F。因此，a 不是 G。

要么某物是 F，要么它是 G。 a 不是 F。因此，a 是 G。

西塞罗也认识到连词“或”可以是包容性的（西塞罗 fr. 82A Fortenbaugh）；他还考虑了相对量化的句子，比如那些包含“更多”、“更少”和“相同”的句子（西塞罗 fr. 89 Fortenbaugh），并且似乎讨论了由这些句子构建的三段论，再次继续阐述亚里士多德关于由假设构建的三段论的观点（西塞罗 fr. 111E Fortenbaugh）。

3.4 完全假设三段论

西塞罗还被认为发明了后来所谓的“完全假设三段论”系统（西塞罗 fr. 113 Fortenbaugh）。这些三段论最初是缩写的术语逻辑论证，属于

如果[某事物是]A，[它就是]B。如果[某事物是]B，[它就是]C。因此，如果[某事物是]A，[它就是]C。

并且其中至少一些被认为可以归约为亚里士多德的范畴三段论，可能是通过等价于“每个 A 都是 B”等的方式。与亚里士多德的三段论相对应，忒弗拉斯托斯区分了三个形式；每个形式有十六种模式。第一个形式的前八种模式是通过用“非 X”代替“X”（其中 X 代表 A、B、C）进行所有排列组合得到的；后八种模式是通过在结论上使用对偶转置规则得到的：

（CR）

从“如果 X，则 Y”推断“如果 Y 的否定，则 X 的否定”

第二图的十六种模式是通过在第一图论证的第一个前提模式上使用（CR）得到的，例如

如果[某物不是] B，[它就不是] A。如果[某物是] B，[它就是] C。因此，如果[某物是] A，[它就是] C。

第三图的十六种模式是通过在第一图论证的第二前提模式上使用(CR)得到的，例如

如果[某物是] A，[它就是] B。如果[某事物]不是 C，那么[它]不是 B。因此，如果[某事物]是 A，那么[它]是 C。

忒奥弗拉斯托斯声称所有第二和第三形式的三段论可以归约为第一形式的三段论。如果亚历山大·阿弗罗迪西亚斯（公元 2 世纪的亚里士多德学派）的报道是真实的，那么将一个三段论转化为第一形式的三段论的任何使用(CR)都是这样的归约。模式和归约的数量之多可以通过这样一个事实来解释，即忒奥弗拉斯托斯没有逻辑手段来在论证中替换负组成部分为正组成部分。在后来的古代，经过一些中间阶段，可能受到斯多葛学派的影响，完全假设性的三段论被解释为命题逻辑的论证类型。

如果 p，则 q。如果 q，则 r。因此，如果 p，则 r。

4. 迪奥多罗斯·克罗纳斯和逻辑学家菲洛

在公元前 4 世纪晚期到公元前 3 世纪中期，与费菲斯特拉图斯和尤德莫斯同时代的一群哲学家，有时被称为辩证学派（参见“辩证学派”条目），可能受到尤布里德斯的影响，将逻辑看作是命题逻辑。他们最著名的代表是迪奥多罗斯·克罗纳斯和他的学生菲洛（有时被称为“墨加拉的菲洛”）。虽然没有他们的著作被保存下来，但有一些关于他们学说的后来的报道。他们对命题逻辑的发展做出了开创性的贡献，特别是对条件和模态理论的贡献。

条件命题（sunêmmenon）被认为是由两个命题和连接词“如果”组成的非简单命题。菲洛可能被认为是将真值功能引入逻辑的人，他提供了以下判断条件：当且仅当其前件为真且其后件为假时，条件命题为假，并且在其余三种真值组合中为真。菲洛的条件命题类似于物质蕴涵，只是因为命题被看作是时间的函数，在不同的时间可以具有不同的真值，所以它的真值可能会随时间而变化。对于迪奥多罗斯来说，如果其前件为真且其后件为假既不是过去也不是现在可能的情况，那么条件命题为真。这个解释中的时间元素表明，菲洛的条件命题的真值变化可能是可以改进的。应用他自己的模态概念（见下文），迪奥多罗斯的条件命题现在是迪奥多罗斯真的，当且仅当它在任何时候都是菲洛真的。迪奥多罗斯的条件命题因此类似于严格蕴涵。菲洛和迪奥多罗斯对条件命题的理解导致了物质蕴涵和严格蕴涵的“悖论”变体，这是古代人所知道的（塞克斯图斯·艾米留斯[S. E.] M. 8.109–117）。

Philo 和 Diodorus 都考虑了四种可能性、不可能性、必然性和非必然性的模态。它们被构想为命题的模态属性或模态值，而不是模态运算符。Philo 将它们定义如下：“可能是指根据命题本身的性质而能够成为真实的……必然是指真实的，并且在其本质上不可能为假。非必然是指在其本质上可能为假的，而不可能是指根据其本质而不可能为真。” Diodorus 的定义如下：“可能是指已经或将要成为真实的；不可能是指假的并且将不会成为真实的；必然是指真实的并且将不会为假的；非必然是指已经是假的或将会是假的。” 这两组定义满足模态逻辑的以下标准要求：（i）必然性蕴含真实性，真实性蕴含可能性；（ii）可能性和不可能性是对立的，必然性和非必然性也是对立的；（iii）必然性和可能性是可以互相定义的；（iv）每个命题要么是必然的，要么是不可能的，要么既可能又非必然。Philo 的定义似乎引入了纯粹的概念模态，而使用 Diodorus 的定义，一些命题的模态值可能会改变（Boeth. In Arist. De Int., sec. ed., 234–235 Meiser）。

Diodorus 对可能性的定义排除了未来的偶然事件，并暗示了仅有实际发生的事情是可能的这一令人费解的论点。Diodorus 试图通过他著名的 Master Argument 来证明这一主张，该论证旨在展示（i）“每一个过去的真理都是必然的”，（ii）“不可能的事情不会从可能的事情中推导出来”，以及（iii）“有一些既不是真实的也不会成为真实的事情是可能的”（Epict. Diss. II.19）。这个论证没有留存下来，但有人提出了各种重建。与亚里士多德在《解释学》第 9 章中对逻辑决定论的论证有一定的相似之处。

在歧义的问题上，Diodorus 认为没有语言表达是模棱两可的。他通过基于说话者意图的意义理论来支持这个格言。说话者在说话时通常只想表达一件事情。当他们说话时所说的就是他们想要表达的。说话者意图与听者解码之间的任何差异都是由于所说内容的模糊而不是其歧义引起的（Aulus Gellius 11.12.2–3）。

5. 斯多亚派

斯多亚学派的创始人西提翁的泽诺（公元前 335-263 年）曾师从迪奥多罗斯。他的继任者克利安忒斯（公元前 331-232 年）试图通过否认每一个过去的真理都是必然的来解决主要论据，并写了一些关于悖论、辩证法、论证方式和谓词的书籍，现已失传。这两位哲学家都认为逻辑知识是一种美德，并高度重视它，但他们似乎并不是创造性的逻辑学家。相比之下，克利安忒斯的继任者所罗的克里西普（公元前 280-207 年）无疑是逻辑学史上第二位伟大的逻辑学家。有人说，如果神灵使用任何逻辑，那就是克里西普的逻辑（D. L. 7.180），他作为一位杰出的逻辑学家的声誉得到了充分的证明。克里西普写了 300 多本关于逻辑的书，几乎涵盖了当今逻辑学所关注的每一个主题，包括言语行为理论、句子分析、单数和复数表达式、谓词类型、指示词、存在命题、句子连接词、否定、析取、条件句、逻辑推理、有效的论证形式、演绎理论、命题逻辑、情态逻辑、时态逻辑、认识论逻辑、假设逻辑、命令逻辑、歧义和逻辑悖论，特别是谎言悖论和悖论连锁（D. L. 7.189-199）。其中只有两个严重损坏的纸草文献幸存下来，幸运的是，后来的文本中有相当数量的碎片和证言补充，特别是在《迪奥根尼斯·拉尔提乌斯》（D. L.）第 7 卷第 55-83 节和《塞克斯图斯·埃米里库斯》《波罗尼斯主义概要》（S. E. PH）第 2 卷和《反对数学家》（S. E. M）第 8 卷中。克里西普的继任者，包括巴比伦的迪奥根尼斯（公元前 240-152 年）和塔尔苏斯的安提帕特（公元前 2 世纪），似乎对他的思想进行了系统化和简化，但他们在逻辑学方面的原创贡献似乎很小。许多关于斯多亚逻辑的证言并没有提到任何特定的斯多亚人。因此，下面的段落只是一般地谈论“斯多葛派”，但我们可以确信，保存下来的大部分内容都可以追溯到克里西普。

5.1 除了命题逻辑之外的逻辑学成就

斯多葛派逻辑的主题是所谓的可说性（lekta）：它们是我们所说和所思的一切中的潜在意义，但是——就像弗雷格的“意义”一样——它们也独立于我们存在。它们与口头和书面语言表达有所区别：我们所说的是那些表达，但我们所说的是可说性（D. L. 7.57）。有完整的和不完整的可说性。如果说了不完整的可说性，听者会感到有必要要求完整；例如，当有人说“写”时，我们会询问“谁？”完整的可说性，如果说了，不会使听者要求完整（D. L.7.63）。它们包括可断言的事物（斯多葛派中的命题等效物）、命令、疑问、询问、感叹、假设或假设、规定、誓言、诅咒等等。不同完整可说性的描述都具有一般形式“一个某某可说性是我们进行某种行为的说法”。例如：“命令性可说性是我们发布命令的说法”，“疑问性可说性是我们提出问题的说法”，“陈述性可说性（即可断言性）是我们进行断言的说法”。因此，根据斯多葛派的观点，每次我们说一个完整的可说性，我们进行了三种不同的行为：我们发出了一个语言表达；我们说了可说性；我们进行了一种言语行为。克里西普意识到了使用-提及的区别（D. L. 7.187）。他似乎认为每个指称表达式都是模糊的，因为它既指称其指称物，又指称自身（盖伦，《论语言学的狡辩》4；奥卢斯·盖利乌斯 11.12.1）。因此，“一辆马车”的表达既指称一辆马车，又指称表达“一辆马车”。[2]

可断言的（axiômata）与所有其他完整的可说之物不同之处在于它们具有真值：在任何时刻，它们要么为真，要么为假。真理是暂时的，可断言的可能会改变它们的真值。斯多葛学派的双值原则因此也被暂时化。真理是通过例子引入的：可断言的“现在是白天”在白天时为真，在其他时间都为假（D. L. 7.65）。这暗示了某种真理紧缩主义观点，正如斯多葛学派将真实的可断言与事实等同起来，而将假的可断言简单地定义为真的可断言的对立面（S. E. M 8.85）。

可断言的是简单的或非简单的。像“Dion 在走路”这样的简单断言，是由谓词“在走路”生成的，这是一个不完整的断言，因为它引发了“谁？”的问题，连同一个主格（Dion 的个体品质或相关的可说性），断言将其呈现为属于谓词的一部分（D.L. 7.63 和 70）。因此，谓词和主语术语之间没有互换的可能性，就像亚里士多德那样；相反，谓词-但不是属于它们的事物-被定义为不完整的，并且类似于命题函数。似乎有些斯多葛派人采取了-弗雷格式的-方法，即单数术语具有相关的可说性，而其他人则预见了直接指称的概念。关于指示词，斯多葛派认为像“这个人在走路”这样的简单明确的断言在说话者指向的人在走路时为真（S.E.M 100）。当所指的事物消失时，断言也会消失，尽管用来表达它的句子仍然存在（Alex.Aphr.An.Pr.177-8）。像“有人在走路”这样的简单不定断言被认为是真实的，当相应的明确断言为真时（S.E.M 98）。亚里士多德式的普遍肯定句（“每个 A 都是 B”）应该被重新表述为条件句：“如果某物是 A，那么它是 B”（S.E.M 9.8-11）。简单断言的否定本身也是简单断言。斯多葛派对“Dion 在走路”的否定是“（情况）不是 Dion 在走路”，而不是“Dion 不在走路”。后者以罗素式的方式分析为“Dion 存在且不是：Dion 在走路”（Alex.Aphr.An.Pr.402）。存在现在时、过去时和将来时的断言。对于它们，都适用-时间化的-双值原理。过去时的断言“Dion 走过了”是真实的，当至少有一个过去的时间点“Dion 在走路”是真实的时候。

5.2 复合命题的句法和语义学

因此，斯多葛派关注了我们将归类为谓词逻辑的几个问题；但他们的主要成就是发展了命题逻辑，即一种推理系统，其中最小的实质未经分析的表达式是命题，或者更确切地说，是可断言的表达式。

斯多葛派将否定定义为由否定词和由该否定词控制的可断言表达式组成的可断言表达式（S. E. M8.103）。同样，非简单可断言表达式被定义为由多个可断言表达式组成或由一个可断言表达式重复多次组成的可断言表达式（D. L. 7.68–9），并由连接词控制。这两个定义可以理解为是递归的，并允许具有不确定复杂性的可断言表达式。斯多葛派演绎中有三种类型的非简单可断言表达式。合取是由合取连接词“既...又...”组合而成的非简单可断言表达式。它们有两个合取项。[3]析取是由析取连接词“要么...要么...”组合而成的非简单可断言表达式。它们有两个或更多个并列的析取项。条件句是由连接词“如果...，...”形成的非简单可断言表达式；它们由前件和后件组成（D. L. 7.71–2）。可断言表达式的类型由控制它的连接词或逻辑粒子确定，即具有最大范围的连接词或逻辑粒子。"既非 p 又 q" 是一个合取式，"既非 p 又非 q" 是一个否定式。斯多葛派的语言规范要求表达可断言的句子始终以特定于可断言的逻辑粒子或表达式开头。因此，斯多葛派发明了一种类似于 Łukasiewicz 的波兰记法中使用的隐式括号设备。

斯多嘉否定和连词是真值功能的。斯多嘉（或至少克里西普）的条件句在其后件的矛盾与其前件不相容时为真（D. L. 7.73）。如果一个否定是另一个的否定（D. L. 7.73），那么两个可断言的命题就是彼此的矛盾；也就是说，当一个通过一个前缀的否定粒子超过另一个时（S. E. M 8.89）。真值功能的菲洛尼亚条件句被表达为一个合取的否定：也就是说，不是“如果 p，q”而是“既不是 p 也不是 q”。斯多嘉的析取是排他的和非真值功能的。当其析取项中恰好有一个为真时，它是真的。后来的斯多嘉引入了一个非真值功能的包容性析取（奥卢斯·盖利乌斯，N. A. 16.8.13-14）。

像菲洛和狄奥多罗斯一样，克里西普将四种模态区分开来，并将它们视为命题的模态值，而不是模态运算符；它们满足模态逻辑的相同标准要求。克里西普的定义是（D. L. 7.75）：当一个可断言的命题既能够为真又不受外部事物的阻碍时，它是可能的。当一个可断言的命题[要么]不能为真[要么能够为真，但受到外部事物的阻碍]时，它是不可能的。当一个可断言的命题是必然的时，它要么不能为假，要么能够为假，但受到外部事物的阻碍。当一个可断言的命题既能够为假又不受外部事物的阻碍时，它是非必然的。克里西普的模态概念与狄奥多罗斯的不同之处在于它们允许未来的偶然事件，并且与菲洛的不同之处在于它们超越了纯概念上的可能性。

5.3 论证

论证通常是可断言性的复合体。它们被定义为至少包含两个前提和一个结论的系统（D. L. 7.45）。从句法上讲，除了第一个前提外，每个前提都由“现在”或“但是”引入，结论由“因此”引入。如果以其前提的合取为前件，以其结论为后件形成的（克里西波斯的）条件语正确，则论证是有效的（S. E. PH 2.137; D. L. 7.77）。当论证除了有效之外，还具有真实前提时，它被称为“正确”（字面上是“真实的”）。斯多葛派将所谓的论证模式定义为一种论证的模式（D. L. 7.76）。论证的模式通过使用序数代替可断言性来与论证本身区分开来。论证的模式

如果是白天，就是亮的。但事实并非如此，它并不亮。因此，不是白天。

是

如果第一件事情成立，那么第二件事情也成立。但不是：第二个。因此不是：第一个。

这些模式首先作为缩写的论证形式，以凸显它们的逻辑相关性；其次，似乎作为一类论证形式的代表。

5.4 斯多葛派的演绎逻辑

从当代逻辑的角度来看，斯多葛派的演绎逻辑最好理解为一种反向工作的 Gentzen 风格的自然演绎系统，它由五种公理论证（即无法证明的命题）和四种推理规则（称为 themata）组成。一个论证只有在它是一个无法证明的命题，或者可以通过 themata 的手段将其归约为一个无法证明的命题时，才被称为演绎。因此，演绎是某种形式上有效的论证。斯多葛派明确承认存在一些有效的论证，但假设这些论证可以以某种方式转化为演绎。

所有基本的无法证明的命题都由一个非简单可断言的前提和一个简单可断言的共同假设组成，并且有另一个简单可断言的结论。它们通过五种标准化的元语言描述来定义这些论证的形式（S. E. M 8.224–5; D. L. 7.80–1）：

第一个不可证明的命题是从一个条件句及其前件推出结论的论证
第二个不可证明的命题是从一个条件句及其结论的否定推出前件的否定的论证.
第三个不可证明的命题是从一个合取式的否定及其其中一个合取项推出另一个合取项的否定的论证
第四个不可证明的是一种从一个分离式和其中一个分离式的对立面推出另一个分离式的论证。
第五个不可证明的是一种从一个分离式和其一个分离式的对立面推出另一个分离式的论证。

一个论证是否是不可证明的可以通过将其与这些元语言描述进行比较来进行测试。例如，

如果是白天，那么不可能是晚上。但是现在是晚上。因此现在不可能是白天。

作为第二个不可证明的出现，

如果五是一个数字，那么五要么是奇数，要么是偶数。但是五是一个数字。因此，要么五是奇数，要么五是偶数。

作为第一个不可证明的命题。为了测试，一个合适的论证模式也可以被用作替代。如果一个相应的论证具有相同的形式，那么这个模式就是演绎的（因为那个形式）。然而，在斯多葛逻辑中，没有五种可以用作推理模式来代表五种不可证明的类型。例如，以下是第四种不可证明的许多模式中的两种：

要么第一种，要么第二种。但是第二个。因此不是第一个。
要么是第一个，要么不是第二个。但是第一。因此第二。

尽管两者都被元语言描述所覆盖，但都不能被单独作为第四个不可证明的模式：如果我们忽略复杂的论证，那么与五种元语言描述相对应的有三十二种模式；因此后者证明明显更经济。逻辑学历史学家普遍假设斯多葛派用五种模式代表他们的五种不可证明的（类型），这种假设是错误的，没有文本证据支持。[4]

在这四个主题中，只有第一和第三个是现存的。它们也是元语言形式化的。第一个主题，在其基本形式中，是：

当从两个[可断言的]中得出第三个时，从其中任意一个与结论的否定一起得出另一个的否定（Apuleius Int. 209.9–14）。

这是一种今天被称为反论法的推理规则。第三个主题，在一个表述中，是：

当从两个[可断言的事物]中得出第三个结论，并且从得出的那个（即第三个）与另一个外部假设一起，得出另一个结论时，那么这个另一个结论就是从前两个结论和外部共同假设得出的（Simplicius Cael. 237.2–4）。

这是一种今天称为割断规则的推理规则。它用于简化链式推理。第二和第四个主题也是割断规则，我们可以提供它们的重建，因为我们知道它们与第三个主题一起被认为可以简化的论证，并且我们有一些被认为可以被第二个主题简化的论证。第二个主题的一个可能的重建是：

当从两个可断言的事物中得出第三个结论，并且从第三个结论和两个中的一个（或两个都）得出另一个结论时，那么这个另一个结论就是从前两个结论得出的。

第四主题的可能重建是：

当从两个可断言的命题中推出第三个命题，并且从第三个命题和两个中的一个（或两个）以及一个（或多个）外部可断言的命题中推出另一个命题时，那么这个另一个命题就是从前两个命题和外部命题中推出的。（参见 Bobzien 1996 年。）

斯多葛派的简化通过在一个或多个步骤中应用主题来显示一个论证的形式有效性，以使所有结果论证都是不可证明的。这可以通过论证或它们的模式来完成（S. E. M 8.230–8）。例如，论证的模式

如果第一和第二，则第三。但不是第三。此外，第一。因此不是：第二个。

可以通过第三个主题将其简化为（第二个和第三个不可证明的模式）如下：

当从两个可断言的命题（“如果第一个和第二个，则第三个”和“但不是第三个”）推出第三个命题（“不是：既是第一个又是第二个”——这是通过第二个不可证明的命题推出的），并且从第三个命题和一个外部命题（“第一个”）推出另一个命题（“不是：第二个”——这是通过第三个不可证明的命题推出的），那么这个另一个命题（“不是：第二个”）也可以从这两个可断言的命题和外部命题推出。

第二个主题简化了，其中包括以下方式的论证（Alex. Aphr. An. Pr. 164.27–31）：

要么是第一个，要么不是第一个。但是是第一个。因此第一。
如果第一，如果第一，则第二。但是第一。因此第二个。

亚里士多德学派责备斯多亚学派允许这种无用的论证。与当代逻辑一致，斯多亚学派坚持认为，如果这些论证可以简化，它们就是有效的。

这四个主题可以在简化中反复使用，并以任何组合形式。因此，长度和复杂性不确定的命题论证可以简化。斯多亚学派的演绎系统已经被形式化，并且已经表明，斯多亚学派的演绎系统与斯托斯·麦考尔等相关逻辑系统具有很强的相似性。与亚里士多德一样，斯多亚学派的目标是通过将非明显有效的论证通过已接受的推理规则简化为明显有效的论证。因此，尽管他们的逻辑是命题逻辑，但他们并不打算提供一个允许推导所有命题逻辑真理的系统，而是一个至少有两个前提和一个结论的有效命题逻辑论证的系统。尽管如此，我们有证据表明斯多亚学派明确承认许多简单的逻辑真理。例如，他们接受以下逻辑原则：双重否定原则，即双重否定（'not: not: p'）等同于被双重否定的可断言性（即 p）（D. L. 7.69）；任何由相同的可断言性作为前提和结论形成的条件语句（'if p, p'）是真的（S. E. M 8.281, 466）；任何由使用矛盾的分离式（'either p or not: p'）形成的二元分离式是真的（S. E. M 8.282, 467）；以及逆否命题原则，即如果'if p, q'，则'if not: q, not: p'（D. L. 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26–XII.14）。

5.5 逻辑悖论

斯多嘉学派承认了谎言悖论和索瑞特悖论的重要性（西塞罗《学院篇》2.95–8，普鲁塔克《论注释》1059D–E，克里索斯《逻辑学》第九篇）。克里索斯可能试图解决谎言悖论如下：谎言句子（在孤立的情况下说出的“我在说谎”）存在着无法消除的歧义，即（i）“我错误地说我在说谎”和（ii）“我在说谎”（即我正在做我所说的，即在说谎），在任何时候说出谎言句子时，恰好有一个是真的，但是这是任意的。（i）蕴含（iii）“我在说真话”，与（ii）和（iv）“我真实地说我在说谎”不相容。（ii）蕴含（iv），与（i）和（iii）不相容。因此，二值性得以保留（参见卡维尼 1993 年）。克里索斯对索瑞特悖论的立场似乎是，索瑞特系列中在上下文中说出的模糊的边界句子没有相应的可断言性，我们不清楚边界情况从何时开始，因此在我们仍然站在安全地带时停止回答是合理的（即在我们可能开始做出没有相应可断言性的言论之前）。后一句话表明克里索斯意识到了高阶模糊性的问题。同样，可断言性的二值性得以保留（参见鲍比恩 2002 年）。斯多嘉学派还讨论了其他一些著名的悖论。特别是对于古代被称为“有角者”的预设悖论，他们提出了一种基于否定的隐藏作用域歧义的罗素式解决方案（参见鲍比恩 2012 年）。

6. 伊壁鸠鲁和伊壁鸠鲁学派

据说公元前 4 世纪末至公元前 3 世纪初的伊壁鸠鲁和伊壁鸠鲁学派将逻辑学视为一门不必要的学科（D.L. 10.31，Usener 257）。尽管如此，他们的哲学观点迫使或促使他们在一些哲学逻辑问题上表态。首先是语言的意义和定义：伊壁鸠鲁学派认为自然语言的产生不是通过对词义的规定，而是由于人类使用符号和发声的先天能力以及人类社会互动的结果（D.L. 10.75-6）；语言是在语境中学习的（卢克莱修斯 5.1028ff）；自然语言的语言表达比它们的定义更清晰、更显著；甚至定义会破坏它们的显著性（Usener 258，243）；因此，哲学家应该使用普通语言而不是引入技术性的表达（伊壁鸠鲁《自然论》28）。其次是真值者：伊壁鸠鲁学派否认了无形的意义存在，比如斯多亚学派的可说性。他们认为真值者是语言项，更确切地说是话语（phônai）（S.E.M 8.13，258；Usener 259，265）。真理在于事物和话语的对应，虚假在于缺乏这种对应（S.E.M 8.9，Usener 244），尽管细节在这里是模糊的。第三是排中律：以话语为真值者，伊壁鸠鲁学派面临着未来可能性真值的问题。有两种观点被记录下来。一种是否定未来可能性的排中律（‘p 或非 p’）（Usener 376，西塞罗《学院篇》2.97，西塞罗《命运篇》37）。另一种更有趣的观点是在所有话语中保持排中律的完整性，但认为在未来可能性的情况下，组成话语的‘p’和‘非 p’既不是真的也不是假的（西塞罗《命运篇》37），但似乎是不确定的。这可以被看作是超估值主义的一种预期。 (4) 归纳：在古代，归纳逻辑的发展相对较少。亚里士多德在《论题》和《后分析》中讨论了从个别到普遍的论证（epagôg**ê），但并未提供关于它们的理论。一些后来的伊壁鸠鲁学派发展了归纳推理的理论，该推理基于经验观察，即某些属性无一例外地同时存在（Philodemus De Signis）。

7. 后期古代

关于公元前 100 年至公元 250 年之间逻辑学的发展，我们所知甚少。不清楚亚里士多德学派和斯多葛学派何时开始注意到彼此的逻辑成就。在那段时期的某个时候，“范畴三段论”这一术语上的区别开始出现，用于亚里士多德的三段论，以及用于提奥弗拉斯托斯和尤德莫斯引入的三段论，也用于斯多葛学派的命题逻辑三段论。在公元前 1 世纪，亚历山大的亚里士多德学派的阿里斯顿和西顿的博伊图斯写了关于三段论的文章。据说阿里斯顿引入了所谓的“从属”三段论（Barbari，Celaront，Cesaro，Camestrop 和 Camenop）到亚里士多德的三段论中（Apuleius Int. 213.5–10），即通过应用从属规则（亚里士多德在他的《论题》中承认的规则）获得的三段论。

从“对于每个 B，A 成立”推断“对于一些 B，A 成立”

从“对于没有 B，A 成立”推断“对于一些 B，A 不成立”

推导出相关三段论的结论。 Boethus 对亚里士多德的理论提出了实质性的修改建议：他声称所有的范畴三段论都是完备的，并且假设三段论优先于范畴三段论（Galen Inst. Log. 7.2），尽管我们不知道这种优先性被认为包含了什么。斯多嘉学派的波西多尼乌斯（公元前 135 年-公元前 51 年）为逻辑或数学推导的可能性辩护，反对伊壁鸠鲁学派，并讨论了他称之为“凭借公理的力量而具有决定性”的一些三段论，其中显然包括“第一者与第二者的比率等于第三者与第四者的比率；第一者与第二者的比率是两倍；因此第三者与第四者的比率也是两倍”的论证，这被认为是凭借公理“一般情况下具有相同比率的事物，也具有相同特定比率”而具有决定性（Galen Inst. Log. 18.8）。至少在这个时期，有两位斯多嘉学派的哲学家写了一本关于亚里士多德《范畴学》的著作。根据他的著作，我们知道西塞罗（公元前 1 世纪）对亚里士多德学派和斯多嘉学派的逻辑都很了解；而摘录于埃比克提图斯（公元 1 世纪末-公元 2 世纪初）的演讲证明他熟悉克里西普的逻辑的一些较为困难的部分。很有可能，在这个时期至少存在一些有创造力的逻辑学家，但我们不知道他们是谁，也不知道他们创造了什么。

下一个我们有足够证据可以谈论的较低级别的逻辑学家是加伦（129-199 或 216 年），他作为一名医生而获得了更大的声誉。他曾与亚里士多德学派和斯多噶学派的老师一起学习逻辑，并建议利用这两种学说的部分内容，只要它们能够用于科学证明。他撰写了关于亚里士多德、提奥弗拉斯托斯、尤德莫斯和克里西普的逻辑著作的评论，以及关于各种逻辑问题的论文和一部名为《论证》的重要著作。除了后来的一些文本中的一些信息外，所有这些都已经失传，但他的《逻辑导论》几乎完整地传世至今。在《论证》中，加伦发展了一种关于四个术语的复合范畴三段论的理论，这些三段论分为四个图形，但我们不知道具体细节。他还引入了所谓的关系三段论，其中的例子包括“A 等于 B，B 等于 C；因此 A 等于 C”和“Dio 拥有的是 Theo 的一半，Theo 拥有的是 Philo 的一半。因此 Dio 拥有 Philo 拥有的四分之一”（Galen Inst. Log, 17-18）。加伦提到的所有关系三段论的共同点是它们既不能归约为亚里士多德的三段论，也不能归约为斯多噶的三段论，但很难找到进一步的形式特征来统一它们。总的来说，在他的《逻辑导论》中，加伦将亚里士多德的三段论与斯多噶命题逻辑的强烈亚里士多德式重新解释相结合。这一点尤其明显体现在加伦坚决否认真理保持对于论证的有效性或三段论性质是足够的，并坚持认为，相反，知识引入或知识扩展是作为三段论的必要条件的。[5]

第二个幸存下来的古代逻辑学引论是阿普勒尤斯（公元 2 世纪）的《解释学》。这篇拉丁文本也展示了对斯多葛派和亚里士多德派逻辑学的了解；它包含了对矛盾四方图的首次完整呈现，该图通过图表展示了范畴句子之间的逻辑关系。柏拉图派的阿尔西诺斯（公元 2 世纪）在他的《柏拉图主义手册》第 5 章中见证了一种特别的柏拉图派逻辑的出现，该逻辑是基于柏拉图的划分、定义、分析和假设的概念和程序构建的，但很少有什么能让逻辑学家的心跳加速。在公元 3 至 6 世纪之间的某个时候，斯多葛派逻辑逐渐被遗忘，直到 20 世纪才在命题逻辑重新被（重新）发现后才复兴。

亚历山大（公元 200 年前后）、波菲里（234 年至公元 305 年前后）、赫梅尼乌斯（5 世纪）、菲洛波努斯（公元 500 年前后）和辛普利修斯（6 世纪）对亚里士多德逻辑著作的希腊评论，以及博伊修斯（公元 480 年至 524 年前后）的拉丁评论，主要重要的是保存了对亚里士多德逻辑的替代解释，并作为失落的伯里派和斯多亚派著作的来源。它们还使我们能够追溯从伯里派对亚里士多德《逻辑学篇》的解释到更加折衷的逻辑学的逐渐发展，这是通过吸收和包含不仅来自斯多亚派和柏拉图派理论，还来自数学和修辞学的元素而产生的。其中有两位评论家特别值得一提：波菲里因撰写《导论》（即对亚里士多德《范畴学》的导论）而受到特别关注，在该书中他讨论了种类、物种、差异、属性和偶然性这五个基本概念，这是理解《范畴学》所需的基本概念。几个世纪以来，《导论》一直是学生首先接触的逻辑教材，而波菲里的五个可预言性（与亚里士多德的四个不同）成为中世纪“五声学说”学说的基础。第二位是博伊修斯。除了评论，他还写了一些逻辑论文，大多是对亚里士多德逻辑的简单解释，但也有两篇非常有趣的论文：（一）他的《论主题差异》见证了后来古代逻辑学家在罗马律师的需求影响下从亚里士多德《论题学》中发展出的复杂的主题论证系统。（二）他的《论假设性三段论》系统地呈现了完全假设性和混合假设性三段论，正如早期伯里派所知；它可能源自波菲里。博伊修斯坚持认为“如果是 A，则是 B”的否定是“如果是 A，则不是 B”，这表明了对条件句的假设性理解，这种观点在阿蒙尼乌斯也有一些证据支持，但在早期逻辑学家中并未得到证实。从历史上看，博伊修斯最重要的是他将亚里士多德的《逻辑学篇》全部翻译成拉丁语，使得这些文本（除了《后分析学》）能够为中世纪哲学家所使用。

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