笛卡尔的数学 mathematics (Mary Domski)

首次发表于 2011 年 11 月 28 日星期一；实质性修订于 2021 年 4 月 28 日星期三

谈到勒内·笛卡尔在数学史上的贡献，就不得不提到他的《几何学》（1637 年），这是与匿名出版的《方法论讲演》一起发表的一篇短文。在《几何学》中，笛卡尔详细介绍了一种开创性的几何问题解决方案，他称之为“几何微积分”（calcul géométrique），它基于一种独特的代数与几何之间的关系方法。具体而言，笛卡尔提供了用于分析几何问题的创新代数技术，一种理解曲线构造与其代数方程之间关系的新方法，以及一种基于用于表示这些曲线的方程的次数的代数曲线分类。

笛卡尔在《几何学》中提出的问题解决技巧和数学结果既是新颖的，又对早期现代数学的实践产生了极大的影响。然而，在《几何学》中，我们还可以找到一种哲学意义：代数与几何的融合以及笛卡尔数学方案中对“几何”状态的独特处理方式，这些都是围绕早期现代数学实践展开的哲学辩论中值得注意的贡献。通过借鉴笛卡尔数学研究所处的背景，并研究塑造笛卡尔早期数学研究的主要问题和议题，将在接下来的内容中突出强调《几何学》第一卷和第二卷的历史和哲学意义。[1]

1. 笛卡尔数学研究的背景

当笛卡尔在 17 世纪初开始进行数学研究时，数学家们正在探讨有关几何证明的适当方法以及特别是用于确定满足几何严格标准的曲线的标准，从而可以在几何问题解决中使用。当 1588 年 Commandino 出版了 Pappus 的《集合》（公元 4 世纪早期）的拉丁翻译时，这些问题对于实践数学家来说变得更加紧迫。在《集合》中，Pappus 引用了古代几何学的实践，提出了关于如何解决几何问题的规范性主张。早期现代读者特别关注 Pappus 关于（1）数学家应如何构造用于几何证明的曲线，以及（2）几何问题解决中几何学家应如何应用分析和综合方法的建议。曲线的构造将在下面的 1.1 节中讨论，分析和综合将在第 1.2 节中讨论。

1.1 曲线的构造和几何问题的解决

Pappus 关于构造几何曲线的适当方法的主张是以古代几何问题的分类为基础的，他在《集合》的第三卷中著名地描述了这一分类：

古人说过，几何问题分为三种类型，有些被称为平面问题，有些是立体问题，还有一些是线性问题；那些可以通过直线和圆的周长来解决的问题被称为平面问题，因为用于解决这些问题的线条起源于平面。但是那些必须通过在构造中假设一个或多个圆锥曲线来解决的问题被称为立体问题，因为在构造中需要使用立体图形的表面，即圆锥体。还有一种被称为线性问题的问题。因为在构造中假设了除了刚才提到的线条之外的其他线条，这些线条具有不固定和可变的起源，例如螺旋线，希腊人称之为“四方形”，我们称之为“四分仪”，以及螺线，螺旋线具有许多令人惊奇的性质（Pappus 1588，III，§7；翻译自 Bos 2001，38）。

我们注意到在上述评论中，帕普斯将他对几何问题的分类基于解决问题所需曲线的构造：如果一个问题可以通过直尺和圆规构造的曲线来解决，那么它是平面问题；如果一个问题可以通过圆锥曲线构造的曲线来解决，那么它是立体问题；如果一个问题需要更复杂的构造，即具有“不固定和可变的起源”的曲线来解决，那么它是线性问题。尽管这似乎是一个对几何问题进行分类的明确指示，但帕普斯的文本中仍存在一个模糊之处，即所谓的立体和线性问题——需要构造圆锥曲线和更复杂曲线（如螺旋线）的问题是否真正可以通过几何方法解决。也就是说，帕普斯的文本存在一个模糊之处，因此，对于早期现代数学家来说，无法通过直尺和圆规构造解决的问题是否符合几何的严格标准是一个悬而未决的问题。（关于直尺和圆规在希腊数学中的特殊地位，请参见 Heath（1921）和 Knorr（1986）。关于希腊数学历史发展的有益概述，请参见 Merzbach 和 Boyer（2011）和 Kline（1972）的第 1 卷。）

一些例子将有助于澄清这里所涉及的问题。将一个给定角度二等分的问题被归类为平面问题，因为根据欧几里得在《几何原本》第一卷第 9 章的详细描述，为了构造将给定角度二等分的线段，我们使用（通过圆规）三个等半径的圆，然后（通过直尺）连接角的顶点与圆相交的点（欧几里得，1956 年，第一卷，264-265 页）。请注意，为了生成解决方案，使用曲线来构造给出问题解决方案的点，也就是说，通过构造圆，我们确定了一个点，使我们能够将曲线二等分。（在处理轨迹问题时，例如帕普斯问题，构造的曲线本身就是问题的解决方案。请参见下面的第 3 节。）另一方面，将一个角三等分的问题被认为是一种线性问题，因为其解决方案需要构造曲线，例如螺旋线，而这些曲线不能通过直尺和圆规来构造。在线性问题中，最著名的可能是平方圆问题；对于那些认为这个问题是可解的人来说，解决方案需要构造一条曲线，例如四分线，这是古人提出的一条曲线，用来解决这个问题（这也是这条曲线得名的原因）。当然，可以描述这些曲线的生成过程；阿基米德在他的《螺旋线》第 1 定义中著名地描述了螺旋线的生成过程，而帕普斯在《集合》第 4 册中描述了四分线的生成过程。然而，这些描述被认为是“更复杂的”，因为它们超出了直尺和圆规构造所生成的曲线的交点。例如，根据阿基米德的说法，螺旋线是通过将一条线段在给定点周围均匀移动，同时追踪一个自身沿着线段均匀移动的点的路径来生成的。而根据帕普斯的说法，四分线是由两条线段的均匀运动生成的，其中一条线段围绕给定圆的中心运动，另一条线段通过圆的一个象限运动。（有关这两种构造的详细信息，请参见 Bos，2001 年，40-42 页。）以类似的方式，构造圆锥曲线被认为更加复杂：构造圆锥曲线的一种被接受的技术要求以指定的方式切割一个圆锥，这再次超出了通过直尺和圆规构造的曲线的交点的考虑范围。

在《集合》中，帕普斯对于圆锥曲线和“更复杂”的曲线是否符合几何构造的严格标准以及它们是否在几何领域中可接受没有给出明确的结论。对于圆锥曲线，他依赖于阿波罗尼奥斯的评论，并报告了这些曲线在某些问题的综合（或证明）中的有用性（帕普斯，116）。然而，声称一条曲线有用与声称它可以通过适当的几何方法构造是完全不同的（正如我们将在下面更清楚地看到的）。此外，在四分线的情况下，帕普斯在《集合》的第四卷中描述了这条曲线，然后立即开始指出对这条曲线描述的常见异议，例如，在曲线的定义中存在一个前提的问题，但没有评论这些异议是否可以克服。因此，尽管古人知道圆锥曲线和其他复杂曲线可以用来解决突出的问题，但早期现代数学家并不清楚古人是否认为这些解决方案是真正的几何解决方案。换句话说，从帕普斯的《集合》中并不清楚这些曲线是否在几何问题解决中是可接受的，因此，是否存在真正的几何解决方案来解决实体问题（例如确定给定线段之间的中比例）或线状问题（例如三等分一个角和求圆的面积）。

因此，在康曼迪诺（Commandino）翻译《集合》后，早期现代数学家对于这些曲线是否应该在几何问题解决中使用以及为什么使用这些曲线给予了更多关注。螺线和四分线在这些讨论中占据了重要地位，因为正如上面所提到的，它们可以用来解决一些更著名的几何问题，即角三等分和求圆的面积。例如，克里斯托弗·克拉维乌斯（Christoph Clavius）在他对欧几里得《几何原本》的第二版（首次出版于 1574 年）以及他的《实用几何学》（1604 年）中讨论了四分线的状态。接受帕普斯在《集合》中详细描述的四分线的异议，克拉维乌斯提供了他认为“真正几何”的曲线构造，以使其在几何问题解决中合法，并特别解决了求圆的面积问题。他的构造是逐点进行的：我们从一个圆的四分之一弧开始（与帕普斯的描述相同），但与其依赖于均匀移动的线段的交点来描述曲线，克拉维乌斯通过首先确定将四分之一弧平分的线段和将弧平分的线段之间的交点来进行。也就是说，我们确定了几个可以用直尺和圆规构造的相交线段的交点，然后为了生成四分线，我们连接（任意多个）沿着所寻求的曲线均匀分布的交点。因此，按照克拉维乌斯的方法构造四分线时，我们仍然超出了基本的直尺和圆规构造（在这种情况下，连接点不能通过直尺完成，就像平分一样），但不需要考虑帕普斯的构造所要求的线的同时运动。（有关克拉维乌斯构造四分线的方法，请参见 Bos 2001 年的 161-162 页，并与 Bos 2001 年的 40-42 页上的帕普斯构造进行比较。关于笛卡尔对克拉维乌斯逐点构造的评价，请参见下面的第 3.3 节。）

根据克拉维乌斯在 1589 年的评论，这种点对点的四边形构造比帕普斯提供的更准确，因为它允许我们在曲线上任意标出许多点，相比于考虑两条移动线的交点，我们可以更精确地追踪四边形曲线。为了支持他的观点，克拉维乌斯将他的点对点四边形构造与“伟大的几何学家”阿波罗尼奥斯提出的点对点圆锥曲线构造进行了比较，并声称“除非有人想将阿波罗尼奥斯提出的整个圆锥曲线理论视为无用和非几何的”，否则“我们被迫接受我们对 [四边形曲线] 的现有描述是完全几何的”（引自 Bos 2001，163 页）。然而，在他后来的《几何实践》（1604 年）中，克拉维乌斯对四边形曲线和圆锥曲线的评价有所缓和。他认为这些更复杂的曲线可以通过点对点的方法构造，从而提供更高的精度，但所生成的曲线不再被呈现为绝对几何的。相反，它们被呈现为“更准确”，“更容易”，以及“在某种程度上”几何的（Bos 2001，164-5 页）。

在他的《几何补遗》（1593 年）中，弗朗索瓦·维埃特也解决了几何学中那些不能通过直尺和圆规构造的曲线来解决的突出问题。他声称至少有一些这样的问题可以通过适当的几何手段来解决，他的前提是所谓的 neusis 问题是可以解决的。也就是说，他假设给定两条线、一个点 O 和一个线段 a，可以通过 O 画一条直线，使其与两条线在点 A 和点 B 处相交，且 AB=a（Bos 2001，167-168 页）。在《几何补遗》中，维埃特展示了一旦我们接受 neusis 问题是可解的这一基本几何前提，我们就可以通过合法的几何手段解决三等分给定角和构造两个给定线段之间的两个中比例的问题。特别重要的是，我们可以在不依赖于圆锥曲线或更高阶曲线（如螺线或四边形曲线）的构造的情况下生成这些解决方案（Bos 2001，168 页）。

neusis 前提是维埃特解决问题的有力工具：通过假设 neusis 问题是可解的，他将可接受的几何构造领域扩展到了直尺和圆规之外。然而，关于这个前提作为一个公设的可接受性仍然存在疑问，因为维埃特没有详细说明 neusis 问题的构造，只是简单地声称 neusis 前提对他的读者来说不应该难以接受。通过做出这个假设，他与古代几何学家有了显著的不同，对于他们来说，neusis 问题只能通过不能由直尺和圆规构造的曲线来解决。例如，帕普斯在《集合论》第四卷中将 neusis 问题作为一个实体问题进行了构造，并通过圆锥曲线解决了它，尼科米德将 neusis 问题作为一个线性问题进行了构造，并设计了 cissoid 来解决它（有关帕普斯的解决方案，请参见 Bos 2001，53-54 页；有关尼科米德的解决方案，请参见 Bos 2001，30-33 页。关于将 neusis 分类为实体问题，请参见 Pappus 1986，112-114 页）。

然而，根据维特的说法，如果一个问题不能通过 neusis 方法解决，那么合法性的问题就会存在。例如，无论是螺旋线还是四边形曲线——分别由阿基米德和帕普斯用来求解圆的平方——都不能像 neusis 方法那样以同样明显且“不困难”的方式构造出来。维特似乎承认，像克拉维斯所提出的点对点构造四边形曲线的方法实际上比其他构造该曲线的方法更精确，但是，维特声称，这种更高的精确度并不能使其作为真正几何的解决方案合法化。事实上，这样精确的描述依赖于仪器，因此也依赖于机械技术，因此并不是几何的。此外，维特声称，一般来说，不是通过曲线的交点构造的曲线，如阿基米德螺旋线，都是“不以真知之道描述的”（Bos 2001, 177）。因此，就像四边形曲线一样，这些曲线也不是真正的几何曲线，这使得维特对于求解圆的平方问题仍然是一个未解之谜。

1.2 几何分析与代数

维特的几何问题解决方案计划具有额外的重要性：通过假设 neusis 问题可以解决，维特能够将几何构造与他对几何问题的代数分析相结合，并展示立方方程具有真正的几何解（即，可以通过考虑相交的几何曲线来构造立方方程的根）。维特的计划很好地说明了代数与几何问题解决在早期现代数学中的融合，并且很好地说明了一种解释帕普斯在《集合论》中关于数学家如何应用分析和综合方法解决几何问题的影响力方式。

正如上面所提到的，帕普斯在《集合》中关于分析（resolutio）和综合（compositio）的双重方法的评论引起了早期现代读者的极大关注。就像他关于几何曲线构造的评论一样，他的讨论中存在着歧义，这促使人们对这种方法及其在几何问题中的应用产生了不同的解释。以下是帕普斯在《集合》第七卷中关于分析和综合的部分内容：

现在，分析是从所寻求的东西出发，通过其结果，到达通过综合已经确立的东西的路径。也就是说，在分析中，我们假设所寻求的东西已经实现，然后寻找导致它的东西，再找到它之前的东西，直到通过这种回归的方式找到一些已知的东西，或者占据第一原理的地位的东西。我们称这种方法为“分析”，好像是说 anapalin lysis（向后还原）。在综合中，通过反转，我们假设在分析中最后获得的东西已经实现，然后按照自然顺序，将之前跟随的东西作为先例，并将它们彼此配合，从而达到所寻求的构造的目的。这就是我们所说的“综合”（帕普斯，82-83）。

帕普斯在这里提供的一些指导似乎很直接。数学家首先假设所寻求的东西已经实现，直到通过分析，她找到了已知的东西。然后，数学家反转步骤，通过综合，按照“自然顺序”列出从已知到所寻求的推导。然而，帕普斯的讨论中存在着歧义。最重要的是，不清楚如何通过反转分析的步骤来提供一个陈述问题的证明或综合，因为分析的推导依赖于条件（如果 x，那么 y），而反转则需要双条件（x 当且仅当 y）来实现综合（有关帕普斯的评论的更多解释问题，请参见 Guicciardini 2009 年的 31-38 页；有关文艺复兴时期分析和综合的更多信息，请参见经典著作 Hintikka 和 Remes 1974 年，Otte 和 Panza 1997 年的论文，以及 Panza 2007 年的著作）。尽管存在歧义，但对于维特和其他早期现代数学家来说，讨论中有一个非常重要的特点：帕普斯明确表示古人拥有一种分析方法，并且许多早期现代数学家试图将这种古代方法与他们正在使用的几何分析的代数方法对齐。

在十六世纪末之前，数学家已经在几何问题的分析中使用了代数，但维埃特的《分析艺术导论》标志着一个重要的进步。一方面，在他的《分析艺术导论》（1591 年）中，维埃特引入了一种符号表示法，使他能够以一般的方式处理量。他使用的文字符号（辅音和元音，取决于方程中的变量是未知的还是不确定的）代表一般的量，并且不指定它们是算术量（数字）还是几何量（如线段或角度）。因此，他可以表示一般量的算术运算。例如，A+B 表示两个量的相加，并不指定 A 和 B 是数字（在这种情况下，相加表示计数过程）还是几何对象（在这种情况下，相加表示两个线段的组合）（参见维埃特 1591 年，11-27 页；关于维埃特的“新代数”对早期现代数学的重要性，请参见 Bos 2001 年第 8 章；Mahoney 1973 年第 2 章；和 Pycior 1997 年第 1 章）。

另一方面，维埃特提出的代数符号分析几何问题是一个三步过程的第一步，可以得出几何解。这三个阶段是：（1）探索，涉及问题的代数分析（或阐述）；（2）比例学，通过比例理论阐明量之间的关系（关于比例理论对维埃特数学的重要性，请参见 Giusti 1992 年）；（3）解释学，提供问题的真正几何解（或证明）。为了更好地理解探索和解释学阶段之间的联系，它们大致对应于古代的分析和综合阶段，请考虑识别两个中项的问题。几何上，问题如下：

给定线段 a 和 b，找到 x 和 y，使得 a❌❌y::y:b，或者换句话说，使得
ax:xy:yb
在维特(Viète)的分析的探究阶段中，我们遵循帕普斯(Pappus)的指示，通过使用变量来命名未知数，将“所寻求的视为已实现”。然后，通过假设比例的等价性（正如维特所做的那样），我们可以解出变量 x 和 y，并确定 x 和 y 与 a 和 b 之间的以下关系：
x2=ay and
源
解方程(1)得到 y=x2/a，将其代入方程(2)得到 y2=(x2/a)2=x4/a2=xb，从而得到：
x3=a2b.
解方程组 (2) 得到 x=y2/b，将其代入方程 (1) 中，得到 x2=(y2/b)2=y4/b2=ay，从而得到：
y3=ab2。
代数上讲，寻找两个中比例数的问题可以如下阐述：
给定 (大小) a 和 b，问题是找到 (大小) x 和 y，使得 x3=a2b 和 y3=ab2。

在这个探究阶段的分析中，几何问题被转化为解决标准形式的三次方程的代数问题（即不包含二次项的三次方程）。然而，对于维特来说，问题的真正解决必须在解释阶段提供，这个阶段提供了几何构造和综合，或证明。[3] 而正是在这里，新西斯假设提供了这样一个保证，即可以找到这样一个解：通过假设新西斯问题已经解决，我们可以构造满足上述两个三次方程的曲线（即我们可以构造方程的根），从而构造所寻求的中项比例。换句话说，在维特的方案中，解决一个代数问题，需要确定指定三次方程的根，与解决一个需要构造曲线的几何问题之间存在着假定的等价性。我们在他对三等分角的处理中也可以看到这一点：解决角三等分问题就是解决两个标准形式的三次方程，维特在他对几何问题的代数阐述中揭示了这一点（参见 Bos 2001，173-176）。实际上，假设新西斯假设成立，我们可以解决任何标准形式的三次方程，而且由于当时已经知道所有四次方程都可以化简为标准形式的三次方程，维特在他 1594 年的补充中提供了一个解决所有可以用三次和四次方程阐述的线性问题的方案，这个方案将代数和几何结合起来。

尽管维特的方案非常强大，但对于实践数学家来说，仍然存在一些问题。我们是否应该像维特建议的那样，接受新西斯假设作为几何的基础构造原则，因为它“不难”？我们是否应该像维特那样声称，其他在几何中具有重要问题解决能力的曲线，如螺旋线和方程曲线，因为它们不能通过新西斯构造而不是合法的几何曲线？此外，还有关于代数和几何之间的联系的问题。对于笛卡尔来说，特别是在几何和代数问题的研究了十多年之后，才真正意识到是否存在更深层次、更基本的联系，可以在代数问题的解决方案（以方程形式表达）和需要构造曲线的几何问题的解决方案之间建立起来。然而，这些问题直到 1630 年代初才完全显现出来。

2. 笛卡尔早期的数学研究（约 1616 年至 1629 年）

2.1 文本和来源

根据《方法论演讲》第一部分中包含的自传叙述（1637 年），笛卡尔描述了他在“欧洲最著名的学校之一”学习时所学到的内容（AT VI, 5; CSM I, 113），普遍认为笛卡尔的数学初步研究始于他在拉弗莱什的学生时期。他在演讲中提到，当他年轻时，他的数学学习包括一些几何分析和代数（AT VI, 17; CSM I, 119），他还提到他“喜欢数学，因为它的推理是确定和自明的”（AT VI, 7; CSM I, 114）。然而，在这份 1637 年的自传草稿中没有提到具体的文本或数学问题。因此，我们依靠通信中的言论来了解笛卡尔在拉弗莱什学习数学的更具体细节，这些言论强烈暗示克拉维乌斯是笛卡尔最早（甚至可能是最初）学习数学的关键人物。例如，在 1646 年 3 月约翰·佩尔写给查尔斯·卡文迪什的一封信中，我们有充分的理由相信，大约在 1616 年，当笛卡尔在拉弗莱什学生时，他阅读了克拉维乌斯的《代数学》（1608 年）。佩尔在同年早些时候与笛卡尔在阿姆斯特丹的会面中特别写道：“[笛卡尔] 说他在代数学方面没有其他教师，只是在 30 多年前阅读了克拉维乌斯的《代数学》”（引自 Sasaki 2003, 47; 另请参阅 AT IV, 729–730 和 Sasaki 2003, 45–47 以获取该信件的其他相关部分）。此外，在 1629 年 11 月 13 日写给梅尔森的一封信中，笛卡尔提到了克拉维乌斯对欧几里得《几何原本》第二版（1589 年）的注释版本，正如上面所提到的，克拉维乌斯在其中展示了他的点对点构造四分弧线，并使用该曲线解决了平方圆问题（AT I, 70–71; 引用克拉维乌斯的部分已在 Sasaki (2003)中翻译，47 页）。根据 Sasaki (2003)的观点，可以合理地推断出笛卡尔至少知道克拉维乌斯的教科书《实用几何学》（1604 年），该教科书是拉弗莱什的数学课程的一部分。（请参阅 Sasaki 2003 年第二章，了解克拉维乌斯对 17 世纪初耶稣会学校数学课程的影响和包含情况。）

尽管我们对笛卡尔在拉弗莱什学习的数学知识了解有限，但我们非常确定，笛卡尔在早期现代数学的讨论中真正开始参与是在 1618 年他在荷兰布雷达与艾萨克·贝克曼相遇之后。贝克曼和笛卡尔探讨了将数学应用于自然哲学的可行性以及与物理数学相关的问题。在这个时期，笛卡尔为贝克曼撰写了《音乐概要》，在这本书中，他讨论了将数学应用于音乐，并且著名地讨论了自由落体定律。（参见 Koyré 1939 年，99-128 页和 Schuster 2013 年第 3.5 章关于笛卡尔在这本早期著作中对自由落体的处理。有关笛卡尔在这一时期光学研究中追求因果知识的讨论，请参见 Schuster 2013 年第 3.6 章。）

除了对应用数学有共同的兴趣外，贝克曼和笛卡尔还讨论了几何学和代数学中的纯数学问题，笛卡尔对这些问题的兴趣延伸到了 1628 年至 1629 年，当时他在德国、法国和意大利旅行后返回荷兰与贝克曼会面。我们对笛卡尔在这十一年期间在纯数学方面取得的成就的理解依赖于以下来源：

1619 年写给贝克曼的五封信，这些信被贝克曼记录在他的日记中。贝克曼的日记于 1905 年被找回，并在 35 年后由德瓦德出版成 4 卷本，后文简称为贝克曼（1604-1634）。与笛卡尔的数学相关的这些信的摘录包含在 AT X 中。（有关这些信如何为我们所得到的更多细节，请参见 Sasaki 2003 年 95-96 页。）
私人思考（Cogitationes privatae），大约于 1619 年至 1620 年间创作，莱布尼茨在 1676 年抄写了这篇文章。这篇文章包含在 AT X 中。（有关这篇文章如何为我们所得到的更多细节，请参见 Bos 2001 年，237 页，注 17 和 Sasaki 2003 年，109 页。）
固体元素的练习（Progymnasmata de solidorum elementis），一本几何学教材，大约创作于 1623 年，莱布尼茨在 1676 年部分抄写了这本书。它已被 Pasquale Joseph Federico（1982 年）翻译成英文，以及被 Pierre Costabel（1987 年）翻译成法文。
一份普通代数的样本，笛卡尔在 1628 年回到荷兰后赠送给 Beeckman。它由 Beeckman 在他的日记中抄写，标题为《笛卡尔代数的样本》（Algebra Des Cartes specimen quoddam），可在 Beeckman（1604-1634）的第三卷中找到。
一些关于代数的文本，这些文本在 1629 年初被贝克曼收到。这些文本在贝克曼的日记中于 1629 年 2 月被记录下来，并可以在贝克曼（1604-1634）的第四卷中找到。
几封写给默尼斯的信件，信中笛卡尔提到了他在 1618-1629 年期间完成的一些数学研究。

查看这些数学作品中的一些问题和提案将有助于将笛卡尔置于他早期现代数学背景中，并且还将有助于突出这一时期与 1637 年《几何学》开篇书中所发现的重要联系。为了清晰地建立这些联系，下面的简要叙述强调了笛卡尔在 1618-1629 年期间提出的关于（1）几何曲线和合法几何构造的标准，以及（2）代数与几何之间的关系的提案。

2.2 问题和建议

1619 年 3 月 26 日，笛卡尔写给贝克曼的最著名的信件中提到了他计划阐述一种“全新的科学 [scientia penitus nova]，通过这种科学，可以解决关于任何类型的数量，连续或离散的问题”（AT X，156）。在详细阐述这种新科学的进展方式时，笛卡尔澄清了他对离散和连续数量问题的解决方案，即算术和几何学的解决方案将根据问题的性质而异。正如他所说，

[在这种新科学中] 每个问题将根据其自身的性质来解决，例如，在算术中，一些问题可以通过有理数来解决，另一些问题只能通过无理数来解决，还有一些问题可以想象但无法解决。同样，我希望能够展示对于连续数量，一些问题只能通过直线和圆来解决；其他问题只能通过其他曲线来解决，然而，这些曲线是由单一运动产生的，因此可以用新型的圆规绘制，我认为这些圆规与用于绘制圆的常规圆规一样准确和几何化；最后，还有一些问题可以通过由不同运动生成的曲线来解决，这些曲线当然只是想象的，比如相当著名的四象限曲线。至少我无法想象有什么问题不能通过这些曲线来解决，尽管我希望能够展示哪些问题可以用这种或那种方式解决，而不是其他方式，以便几乎在几何学中找不到任何剩余的问题。当然，这是一项无限的任务，不是一个人能完成的。非常雄心勃勃；但是我已经在科学的黑暗混沌中看到了一些光明，借助这些光明，我认为所有最浓密的黑暗都可以被驱散（AT X，156-158；CSMK 2-3；翻译来自 Sasaki 2003，102）。

我们注意到在笛卡尔关于几何学的评论中，他提出的“全新科学”将为问题解决提供详尽的分类，其中他的三个类别是由解决所需的曲线确定的。这表明笛卡尔的三类几何问题与帕普斯的三类之间存在重要的重叠，帕普斯的三类是根据解决所需的曲线类型分开的：平面问题可以通过直尺和圆规解决，立体问题可以通过圆锥曲线解决，线状问题可以通过更复杂的曲线解决，这些曲线具有“不固定和可变的起源”。然而，在他们的分类中也存在重要的区别，因为笛卡尔强烈暗示那些需要“虚构”曲线来解决的问题没有合法的几何解。也就是说，正如一些算术问题“可以想象但无法解决”，在几何学中也存在一类需要“肯定只是虚构的”曲线的问题，即由“多样的运动”生成的曲线，因此在适当意义上不是几何的。在这方面，笛卡尔从帕普斯的描述性分类转向规范性分类，将几何曲线与非几何曲线分开，从而区分具有合法几何解的问题和没有合法几何解的问题。同样重要的是，我们在笛卡尔的信中看到他试图通过诉诸构造曲线所需的运动来扩大合法几何构造的范围。具体而言，正如我们在上面的段落中看到的那样，笛卡尔依靠他的“新型圆规的单一运动，它们与用于画圆的常规圆规一样准确和几何化”来标记出一类具有合法几何解的新问题。

在 1619 年 3 月 26 日写给贝克曼的信中，笛卡尔并没有详细说明他所提到的“新型圆规”，他只是在信的早期部分向贝克曼报告说，他在很短的时间内“借助我的圆规发现了四个显著而全新的证明”（AT X, 154）。幸运的是，关于这些圆规和笛卡尔的证明的更多细节包含在《私人思考》（约 1619 年至 1620 年）中，这是一篇笛卡尔应用三种不同的“新型圆规”（评论家通常称之为“比例圆规”）解决以下问题的文本：（1）将给定的角度分成任意数量的等分，（2）构造三种类型的三次方程的根，以及（3）描述一个圆锥曲线。在前两种情况下，当笛卡尔处理角度部分和平均比例问题时，他依赖的圆规用于生成解决手头问题的曲线。

图 1.

图 2.

例如，为了解决角度分割问题，笛卡尔首先提出了一个包括四个标尺（OA，OB，OC，OD）的仪器，这些标尺在点 O 处铰接（图 1）。然后，我们取四根长度相等的杆（HJ，FJ，GI，EI），并将它们连接到仪器的臂上，使它们与 O 的距离为 a，并在 J 和 I 处成对铰接。保持 OA 不动，我们现在移动 OD 以改变角度 DOA 的测量值，并沿着点 J 的路径生成曲线 KLM（图 2）。正如笛卡尔所说，我们可以通过上述描述的仪器构造出任何给定角度的曲线 KLM，因为我们三等分的角度在构造 KLM 时不起作用。一旦构造出曲线 KLM，可以通过直线和圆的一些基本构造来三等分给定的角度。在这方面，曲线 KLM 对于笛卡尔来说是解决角度三等分问题的手段，而且他的处理方法表明，这种构造可以进一步推广，以便通过他的“新罗盘”将角度分割成 4、5 或更多等分。（我借用了 Domski 2009 年的这种构造方法，121 页，它本身受到 Bos 2001 年的介绍的影响，237-239 页。）

图 3. 中间板

在解决构造中项比例的问题时，笛卡尔采用了与此类似的方法。在这种情况下，他借助于他著名的中间圆规仪，这是在《几何学》第三卷中用于解决同样问题的仪器。与 1637 年一样，这个圆规仪被用来构造曲线（图 3 中的虚线），使我们能够确定任意给定线段之间的中项比例。与他之前的维埃特一样，在《私人反思》中，笛卡尔使用这种构造中项比例的方法来确定标准形式的三次方程的根（参见 Bos 2001，240-45）。

注意，这些构造展示了笛卡尔在 1619 年 3 月 26 日致比克曼的信中所提到的“单一运动”构造的特点：他的新圆规仪通过指定的圆规臂的单一运动生成曲线，因此，以这种方式生成的曲线符合几何可理解性的标准——这是笛卡尔设想的“全新科学”简要概述中所提到的几何曲线与想象曲线的区别标准。这种运动是由仪器完成的，并不威胁到构造曲线的几何地位（正如我们在上面看到的，维埃特曾对克拉维乌斯提供的仪器点对点构造提出过这一指责）。此外，我们还可以在 1619 年的数学研究中注意到，笛卡尔关注运动的可理解性作为识别合法几何曲线的标准。这个主题将在《几何学》第二卷中再次出现。

此外，在笛卡尔的早期作品中，我们发现了代数与几何之间的关系，这对于《几何学》第一卷中所呈现的几何分析计划至关重要。在他研究的早期阶段，笛卡尔与同时代的数学家一样，探索了几何学在代数问题中的应用。例如，如上所述，笛卡尔在《私人反思》中使用构造中项比例来解决代数方程，并且在同一文本中，他还展示了对数字和算术运算的几何表示的兴趣。同样的兴趣在后来的《卡特西手稿中摘录的固体要素初步练习》（约 1623 年）中再次出现，笛卡尔在这篇文章中提供了数字和五个基本算术运算（加法、减法、乘法和除法）的几何表示。

尽管评论家对笛卡尔在 1619 年至 1623 年早期代数水平存在争议（比较 Bos 2001 年第 245 页和 Sasaki 2003 年第 126 页），但 1628 年至 1629 年的文本显示，笛卡尔在相对较短的时间内在代数方面取得了巨大进步。两个文本来源特别引人注目：（1）1628 年笛卡尔回到荷兰后给 Beeckman 的代数样本，以及（2）1629 年初给 Beeckman 的关于三次和四次方程根的构造的文本。在《样本》中，笛卡尔提出了一个相当基本的代数问题解决方案（或者说方案），它依赖于二维图形（线和曲面）。几个月后给 Beeckman 的文本，笛卡尔在荷兰期间创作的，相比《样本》中的内容有了很大的进步，因为在这些文本中，他在问题解决方案中运用了圆锥曲线（或者固体）。例如，笛卡尔通过圆和抛物线的交点构造了两个中比例数（根据 Bos 2001 年第 255 页，他在 1625 年左右发现了这种方法）。更令人印象深刻的是，在同一时期的另一篇不同的文本中，笛卡尔提供了一种构造所有立体问题的方法，即解决所有三次和四次方程的方法。

尽管这一时期的一些结果与 1637 年的《几何学》中提出的问题解决方案计划有关，但 Rabouin（2010）指出，目前还不清楚笛卡尔是否是通过应用于 1637 年的技术来发现解决方法的（Rabouin 2010 年第 456 页）。因此，Rabouin 敦促我们抵制对笛卡尔早期数学作品的某种标准解读，即从 1619 年宣布“全新科学”到《几何学》的开创性计划之间存在线性和目的论的进展（例如，Sasaki 2003 年，特别是第 156-176 页）。根据 Rabouin 的观点，直到 20 世纪 30 年代初，当笛卡尔涉及帕普斯问题时，他才重新回到他的 1619 年项目，构建一个以新的曲线和问题分类为基础的几何学新科学。根据 Bos 的观点，这也是笛卡尔成熟的数学研究的“关键催化剂”（Bos 2001 年第 283 页）。遵循 Rabouin 的观点，正是在他的数学生涯的这一点上，笛卡尔更清楚地看到了代数方程和几何学之间的相互作用对于一个普遍的几何问题解决方案计划有多么重要。

3. 《几何学》（1637 年）

在 1631 年末，荷兰数学家戈利乌斯敦促笛卡尔考虑帕普斯问题的解决方案。与占据笛卡尔早期研究的几何问题不同，帕普斯问题是一个轨迹问题，即解决该问题需要构造一条曲线——根据博斯的术语，称为“帕普斯曲线”，该曲线包括满足问题中所述关系的所有点。一般来说，帕普斯问题始于给定数量的直线、给定数量的角度、给定比例和给定线段，任务是确定一条曲线，使得曲线上的所有点满足给定比例的指定关系。例如，在最基本的两条直线帕普斯问题（图 4）中，我们给定两条直线（L1，L2），两个角度（θ1，θ2）和一个比例 β。我们将 d1 指定为点 P 与 L1 之间的斜距，使得 P 与 L1 形成 θ1，我们将 d2 指定为平面上点 P 与 L2 之间的斜距，使得 P 与 L2 形成 θ2。问题是找到所有满足 d1:d2=β 的点 P。在这种情况下，所有寻找的点 P 将位于两条直线上，一条在 L1 的右侧，另一条在 L1 的左侧。（有关博斯对一般问题的介绍，请参见图 5。）

图 4. 一个两条直线的帕普斯问题

在《集合》中，帕普斯提出了三线和四线版本问题的解决方案（即从三条或四条给定的直线和角度开始的问题版本），以及阿波罗尼斯对六线情况的解决方案，该解决方案依赖于他的圆锥曲线理论和面积的转化来构造点的轨迹（帕普斯，118-123）。然而，帕普斯没有处理一般（n 线）情况，这是笛卡尔在 1632 年实现的解决方案的进展，该解决方案发表在《几何学》中，他声称，与古人不同，他找到了一种成功“确定、描述、解释涉及更多直线的帕普斯问题所需线的性质”的方法（G，22）。正如笛卡尔在 1632 年向梅尔森报告的那样，他在没有代数的帮助下无法找到他的一般解决方案。

我必须承认，我花了五六个星期才找到《帕普斯问题》的解决方案；如果有人发现了它，我不会相信他对代数一无所知（致梅尔森，1632 年 4 月 5 日；AT I，244；CSMK，37）。
图 5. 帕普斯问题的一般形式（摘自 Bos 2001，图 19.1，273 页）
给定：平面上的一条线 Li，n 个角度 θi，一个比率 β，一段线段 a。对于平面上的一个点 P，让 d 是 P 与 Li 之间的斜距，使得 P 与 Li 形成 θi。
问题：找到点 P 的轨迹，使得以下比例与给定的比例 β 相等：

For 3 lines:

(d1)2

: d2d3

一般来说，

For an even 2k number of lines:

d1…dk

: dk+1…d2k

根据 Bos 的说法，对于普通的帕普斯问题的考虑“为 [笛卡尔] 在 1632 年提供了一种关于几何领域的新有序视野，并塑造了他对几何结构和适当方法的信念”（Bos 2001, 283）。我们对帕普斯问题对笛卡尔的几何方法影响的最好证据是《几何学》本身：在《几何学》中，帕普斯问题被赋予了重要地位，因为笛卡尔详细介绍了他的“几何计算法”并展示了他解决几何问题的新方案的能力。它在第一卷中被讨论，当笛卡尔解释他的几何分析时，然后在第二卷中再次被讨论，笛卡尔在这里提供了他对帕普斯问题的解决方案的几何证明，这个证明依赖于开始这部分工作的著名的“几何”和“机械”曲线之间的区别。

3.1 第一卷：笛卡尔的几何分析

《几何学》的第一卷名为“只需直线和圆的构造问题”，在这本开篇的书中，笛卡尔详细阐述了他的几何分析，并描述了几何问题如何通过代数方式解释。在这方面，我们在第一卷中所找到的与维特在他 1594 年的《几何学补遗》中呈现的几何问题的代数阐述相似，他在其中解释了解释阶段。尽管如此，笛卡尔的分析方法基于符号和形式主义的创新，以及几何和算术的融合，这使他超越了维特的分析，从而使笛卡尔对梅尔森说，在《几何学》中，他的几何学计划从维特的结束之处开始（致梅尔森，1637 年 12 月，AT I，479; CSMK 77-79; 有关维特的“分析艺术”与笛卡尔在几何学中使用分析的关系的讨论，请参见 Macbeth 2004）。

第一卷以代数运算的几何解释开始，正如我们在上面看到的，笛卡尔在他的数学研究的早期已经探索过这一点。然而，正如 Guicciardini 恰如其分地描述的那样，我们在 1637 年所呈现的是一种“巨大的创新”，既超越了笛卡尔以前的工作，也超越了他的同时代人的工作（Guicciardini 2009，38）。一方面，笛卡尔提供了根的几何解释，因此处理了五个算术运算（而不是他早期工作中处理的四个加法、减法、乘法和除法运算）。另一方面，更重要的是，他的处理依赖于一种根据这些运算被视为线段上的封闭运算的解释。传统上，例如，两个线段 a×b 的乘积被解释为一个矩形，但对于笛卡尔来说，乘积被解释为一个线段。这使得笛卡尔能够将几何问题转化为包含乘积（如 a×b）的方程，并将方程的每个项视为相似的。最后，笛卡尔在第一卷中使用了一种新的指数表示法，这种表示法取代了早期现代代数的传统符号表示法，使笛卡尔能够加强代数和几何之间的联系，更具体地说，通过方程对曲线的代数表示与几何分类和几何解决所述问题（如我们将在下面的第 3.2 节中更清楚地看到的）的联系。

带着他对五个基本算术运算的新几何解释，笛卡尔继续描述了在几何分析阶段，如何对几何问题进行代数解释：

如果我们想要解决任何问题，我们首先假设解决方案已经实现，并为构建解决方案所需的所有线段命名，包括未知线段和已知线段。然后，我们不区分未知线段和已知线段，以最自然地显示这些线段之间关系的方式解决困难，直到我们发现可以用两种方式表达一个数量。这将构成一个方程，因为其中一种表达式的项与另一种表达式的项相等（G，6-9）。

我们注意到，笛卡尔分析的关键是在问题中不区分已知数量和未知数量：两种类型的数量都被赋予一个变量（通常为已知数量的 a、b、c...和未知数量的 x、y、z...），因此，我们将未知数量视为其值已经找到。或者，正如笛卡尔所说，我们“假设解决方案已经实现”。然后，任务就是将问题化简为一个方程（用当代术语来说，是一个关于两个未知数的多项式方程），该方程以已知数量的形式表达未知数量或多个未知数量。例如，考虑以下问题：[5]

给定一条包含点 C 的线段 AB（见图 6），问题是产生 AB 到 D，使得 AD×DB 的乘积等于 CD 的平方。设 AC=a，CB=b，BD=x，得到 AD=a+b+x 和 CD=b+x。因此，找到 BD 使得 AD×DB=(CD)2 在代数上等价于找到 x 使得：(a+b+x)×(x)=(b+x)2。或者，解出 x，问题是找到 x 使得，给定 a 和 b，x=b2/(a—b)。

图 6。

在这个例子中，我们处理的是一个确定的问题，即一个问题有有限数量的解，因此我们可以将问题简化为一个单一的方程，用已知量来表示未知量。然而，正如笛卡尔指出的，还有一些涉及无限数量解的不定问题。（轨迹问题，如帕普斯问题，属于这种情况，因为解包括沿曲线的无限多个点。）当处理不定问题时，笛卡尔指导我们“我们可以任意选择已知长度的线来表示每个没有方程对应的未知线”（G，9），即我们将未知线设置为具有已知值的斜坐标。然后，我们生成几个方程，用一个或多个已知量来表示未知量，并同时解这些方程。这正是笛卡尔在第一册中处理帕普斯问题时采取的方法。

第七图。《第一书》中的四线帕普斯问题（G，27）

笛卡尔从给定三条或四条线的问题开始考虑，借用 Guicciardini（2009）的说法，可以如下陈述（见图 7）：

给定三条或四条线的位置，要求找到点 C 的轨迹，从该点 C 绘制三条或四条线到给定位置的三条或四条线，并与每条给定线形成给定角度，满足以下条件：所绘制的三条线中的两条线的矩形 [或乘积] 与第三条线的平方之比为给定比例（如果只有三条线），或者与其他两条线的矩形 [或乘积] 之比为给定比例（如果有四条线）（Guicciardini 2009，54；基于 G，22）。

在《第一书》中，笛卡尔将他的几何分析应用于帕普斯问题的四线情况。他首先将两个给定的线段（长度未知）AB 和 BC 分别指定为斜坐标 x 和 y，以便解决问题所需的其他线段都可以用 x 和 y 来表示。然后，通过考虑问题中给定的角度和相似三角形的性质，他用两个未知数 x 和 y 以及已知量 z（其中 z 表示问题中给定的比率）生成了所寻找的点 C 的代数表达式。

值得注意的是，笛卡尔在四线情况下使用的分析方法被推广应用于帕普斯问题的一般 n 线版本。也就是说，笛卡尔的观点是，无论问题中给定了多少条线段和角度，通过他的分析方法，都可以用两个未知量来表示所寻找的点 C（用当代术语来说，将问题化简为两个未知数的多项式方程）。因此，对于任何帕普斯问题的 n 线版本，我们可以通过为 x 和 y 分配不同的值来生成 C 的值，并以逐点的方式构造所寻找的帕普斯曲线。正如笛卡尔所说，

此外，要确定点 C，只需要一个条件，即某些线段的乘积等于或（同样简单）与其他线段的乘积成一定比例。由于这个条件可以用两个未知量的单个方程来表示，我们可以任意给定 x 或 y 的值，并从这个方程中找到另一个值。显然，当给定的线段不超过五条时，未用于表示第一条线段的量 x 的次数永远不会高于第二条线段的次数。
将一个值赋给 y，我们有 x2=±ax±b2，因此可以通过已经解释过的一种方法（用尺规作图）找到 x。如果我们依次取无限多个不同的值作为线 y 的值，我们将得到无限多个线 x 的值，因此可以通过这些点（如 C）绘制所需的曲线（G，34）。

笛卡尔的分析结果，如上所述，是包含所寻找的点 C 的曲线可以通过使用尺规作图来逐点构造，以解决两个未知数的二次方程的根。然后，他将这个结果推广，并声称可以通过尺规作图来构造任何可以归结为二次方程的问题的解点。如果一个问题归结为三次或四次方程，解点将通过圆锥曲线构造，如果一个问题归结为五次或六次方程，解点将通过一条“比圆锥曲线高一阶”的曲线构造（G，37）。换句话说，笛卡尔的观点是，如果一个问题可以归结为一个不高于六次的单一方程，在方程中未知量以已知量的形式表示，那么方程的根可以通过直尺和圆规，或者通过圆锥曲线，或者通过一个不高于四次的更复杂的曲线来构造。基于这个结果，笛卡尔提出了一种进一步推广的方法，解决了 n 线帕普斯问题，因为无论帕普斯问题以多少给定的线和角开始，都可以将问题归结为一个方程，然后逐点构造方程的根，即问题的所需点 C（G，37）。

笛卡尔通过他的几何分析所取得的成果无疑是重要的。他概述了一种解决任意给定线的帕普斯问题的方法。然而，在第一卷结束时，关于证明帕普斯问题已解决的问题仍然存在。与维埃特的分析一样，笛卡尔表明了一般问题的解存在，但问题的代数阐述本身并没有给出如何几何地构造解决问题的曲线的线索。特别要注意的是，在第一卷中，根（即所寻找的曲线上的点）是通过直尺、圆规、圆锥曲线和高阶曲线构造的，使得包含根的帕普斯曲线是逐点构造的。但这给我们留下了一个问题：第一卷中的帕普斯曲线是否合法地几何构造？也就是说，第一卷中解决 n 线版本的帕普斯问题的曲线是否可以通过合法的几何方法构造？这是第二卷中探讨的问题，其主要焦点是如何实施几何问题的综合或构造。

3.2 书二：曲线的分类和几何综合

《几何学》第二册名为“关于曲线的性质”，并以笛卡尔著名的“几何曲线”和“机械曲线”之间的区别开篇。鉴于这一区别对于理解《几何学》的计划以及吸引了评论家的关注，值得仔细研究第二册开头的提议。

笛卡尔首先提到了古代问题的分类，并提出了他对古代数学家如何区分可以用于解决几何问题的曲线和不能的曲线的解释：

古人熟悉几何问题可以分为三类，即平面、立体和线性问题。这相当于说，有些问题只需要圆和直线进行构造，而其他问题则需要圆锥曲线，还有一些更复杂的曲线。然而，我很惊讶他们没有进一步区分那些更复杂曲线的不同程度，也不明白为什么他们称后者为机械而不是几何。如果我们说它们被称为机械是因为需要使用某种仪器来描述它们，那么为了保持一致，我们必须排除圆和直线，因为在纸上无法使用指南针和尺子来描述它们，这也可以称为仪器。并不是因为其他仪器比尺子和指南针更复杂，所以它们就不那么准确，因为如果是这样的话，它们将被排除在力学之外，而在几何中，构造的准确性比几何更重要。在几何中，只追求推理的准确性，对于这样的曲线，推理的准确性肯定可以和更简单的曲线一样彻底（G，40-44）。

笛卡尔暗示在古代数学中，“机械”和“非几何”这两个术语是同义词，尽管并不完全清楚这是否是“机械”一词的预期含义。也就是说，根据现有的文本证据，曲线被分类为“几何”和“机械”是否意味着曲线在几何问题解决中的合法性是一个规范性的主张并不清楚。它同样可以被理解为一个描述性的名称，用于描述曲线的构造方式的不同（关于这个问题，请参见 Molland 1976；关于笛卡尔在 1619 年提出的几何学“新科学”中描述性和规范性的融合，请参见上文第 2.2 节）。

抛开笛卡尔对古人的解读，理解他对几何曲线的独特解释的重要之处在于他所做的“构造的准确性”和“推理的准确性”之间的区别。他将曲线的“构造的准确性”视为力学问题，而将“推理的准确性”视为接受曲线作为合法几何曲线的唯一要求。通过这一主张，笛卡尔为他的几何曲线概念开辟了一个独特的位置：他放弃了克拉维乌斯在他早期作品中采用的使曲线在几何问题解决中可接受的“构造的准确性”标准，也放弃了维埃特提出的仪器构造的曲线不应被视为几何曲线的主张（请参见上文第 1.1 节）。正如笛卡尔的论述所暗示的那样，这两种标准都混淆了力学问题与几何的“推理的准确性”，而后者是几何的唯一关注点。因此，随着第二卷的继续，笛卡尔重申，要确定曲线的几何状态，我们必须将焦点放在确切和清晰的推理问题上，特别是要看一个曲线是否可以通过确切和清晰的运动来构造。在提出“两条或多条线可以相互移动，通过它们的交点确定其他曲线”的假设之后，笛卡尔解释道，

确实，锥面曲线从未被古代几何学自由接受，我也不打算试图改变经过使用确认的名称；然而，对我来说似乎非常清楚，如果我们做出通常的假设，即几何学是精确和准确的，而力学则不是；并且如果我们将几何学看作是提供有关所有物体测量的一般知识的科学，那么我们没有权利排除更复杂的曲线，只要它们可以被构想为由连续运动或多个连续运动描述，每个运动完全由之前的运动确定；因为通过这种方式，我们始终可以获得对每个曲线大小的精确知识（G，43）。

我们从这些评论中可以看出，几何学的精确性和准确性与几何学家考虑可以被精确和准确追踪的运动密切相关。也就是说，只要构造这些曲线的过程是通过“精确和准确”的运动进行的，几何学家就有权使用简单曲线和更复杂的曲线。笛卡尔通过介绍他于 1619 年首次开发的中间板罗盘来阐明如何“可以构想为由连续运动或多个连续运动描述，每个运动完全由之前的运动确定”：

考虑线段 AB，AD，AF 等，我们可以假设它们是通过仪器 YZ 来描述的 [图 8]。该仪器由几个铰接在一起的尺子组成，使得当 YZ 沿着线段 AN 放置时，角度 XYZ 的大小可以增加或减小，并且当其两边重合时，点 B，C，D，E，F，G，H 都与 A 重合；但是随着角度的增加，固定在点 B 处与 XY 垂直的尺子 BC 向 Z 推动沿着 YZ 始终垂直滑动的尺子 CD。同样，CD 推动沿着 BC 始终平行于 DE 的尺子 DE；DE 推动 EF；EF 推动 FG；FG 推动 GH，依此类推。因此，我们可以想象有无限多个尺子，每个尺子都推动另一个，其中一半与 YX 成等角，另一半与 YZ 成等角。
现在，当角 XYZ 增加时，点 B 描述了曲线 AB，它是一个圆；而其他尺规的交点，即点 D、F、H 描述了其他曲线 AD、AF、AH，后者比前者更复杂，而这些曲线比圆更复杂。然而，我看不出为什么第一个曲线的描述不能像圆的描述那样清晰明确，或者至少像圆锥曲线的描述那样清晰明确；或者为什么第二个、第三个或任何其他可以这样描述的曲线的描述不能像第一个那样清晰地构思出来：因此，我看不出为什么它们在解决几何问题时不能以同样的方式使用（G，44-47）[7]。

图 8. 中间板

有几点值得强调。首先，笛卡尔将由他的圆规生成的更复杂曲线描述为可以“清晰明确地构思”的运动，就像构造更简单的圆所需的运动一样。由于构造这些曲线所需的运动是清晰明确的，因此这些曲线是合法的几何曲线。也就是说，与笛卡尔构造几何曲线的一般标准一致，这些复杂曲线可以用于解决几何问题。其次，我们可以看到，尽管笛卡尔注意区分几何学和力学的关注点，但他并没有避免使用仪器来构造曲线。尽管仪器构造是机械构造，但由于仪器的运动是“清晰明确地构思”的，它们仍然可以产生几何曲线。仪器产生的运动并不使得结果曲线非几何的。（有关在《几何学》中使用仪器的更多信息，请参见 Bos 1981 年的著作。）

在类似的思路中，根据笛卡尔的标准，非几何曲线是那些需要更复杂、不够清晰和明确的运动来构造的曲线。他解释道：

古代几何学家拒绝接受比圆锥曲线更复杂的曲线的真正原因可能在于，他们最先注意到的曲线恰好是螺旋线、方程曲线和类似的曲线，这些曲线实际上只属于力学，不属于我认为应该包括在此处的曲线，因为它们必须被构想为由两个独立运动描述，它们的关系不能精确确定（G，44）。

笛卡尔明确将螺旋线和方程曲线称为那些“必须被构想为由两个独立运动描述，其关系不能精确确定”的曲线。在第二卷中，他进一步阐明了为什么这样的描述无法被清晰和明确地构想出来：

几何图形不应包括类似于字符串的线条，因为它们有时是直线，有时是曲线，直线和曲线之间的比例是未知的，我相信人类的思维无法发现这些比例，因此基于这些比例的结论不能被接受为严谨和精确的（G，91）。

鉴于这些观点，螺旋线、四边形曲线和“类似于字符串的线条”的根本问题在于它们的构造需要考虑圆和直线之间的比例或关系。以螺旋线为例。正如我们上面所看到的，它的构造涉及到两种均匀运动，即点沿线段的均匀直线运动和线段围绕一个点的均匀圆周运动。为了使移动点的路径描述出螺旋线，这两种运动必须同时考虑，而这对于笛卡尔来说是最终的问题所在。人类的思维可以思考同时的直线和圆周运动，但它无法以足够清晰和明确的方式做到这一点，以满足几何学的精确和严谨标准。（这个观点并非没有问题，在下面的第 3.3 节中将进行讨论。关于笛卡尔对几何曲线构造的标准和帕斯卡提出的观点之间的比较，请参见 Jesseph 2007。）

在介绍了他对几何曲线构造的标准之后，笛卡尔发展了他对几何曲线的代数表示与几何构造之间的新颖联系。在第一册中，笛卡尔详细说明了如何使用代数来证明几何问题的解存在，而在第二册中，笛卡尔提出了代数与几何之间更强的联系，并声称任何合法的几何曲线都可以用一个方程来表示：

我可以在这里给出几种追踪和构思一系列曲线的其他方法，每个曲线比前一个更复杂，但我认为将所有这些曲线分组然后按顺序分类的最佳方法是认识到我们可以称之为“几何”的这些曲线的所有点，即那些可以进行精确测量的点，必须与一条直线上的所有点有明确的关系，并且这种关系必须通过一个方程来表示（G，48）。

然后，他根据相应方程的程度对这些“几何”曲线进行分类，声称：

如果 [曲线的] 方程中不包含高于两个未知量的矩形 [乘积] 或一个未知量的平方的项，则该曲线属于第一类和最简单的类别，其中仅包含圆、抛物线、双曲线和椭圆；但是，当方程中包含一个或多个三次或四次的项，其中一个或两个未知量（因为需要两个未知量来表示两个点之间的关系）属于第二类；如果方程中包含一个或两个未知量的五次或六次的项，则该曲线属于第三类，依此类推（G，48）。

在第二册中，笛卡尔再次强调了“无论我们如何构想曲线的描述方式，只要它是我所称之为几何曲线的一种，”都可以找到一个方程来确定曲线上的所有点（G，56）。他重申几何曲线可以根据它们的方程进行分类，但也指出在特定类别中，曲线的简单性应该根据构造所需的运动来排名。例如，尽管圆属于与椭圆、双曲线和抛物线相同的类别，但后三者曲线“同样复杂”，而圆“显然是一条更简单的曲线”，因此在问题的构造中更有用（G，56）。（有关勒布尼茨和庞斯莱对笛卡尔用代数形式表示几何曲线与这些曲线的空间、图示表示之间的联系不满的讨论，请参见曼德斯 2008 年第 77 页。）

正如在第一册中一样，笛卡尔使用帕普斯问题来说明他的几何微积分的威力，在第二册中，他的目标是展示他对曲线的代数分类如何使得“演示帕普斯问题的解决方案变得容易”（G，59）。这里的具体目标是证明解决一般帕普斯问题的曲线是合法的几何曲线，即展示帕普斯曲线符合他刚刚提出的几何构造的确切严格标准。笛卡尔在第二册中对帕普斯问题的讨论如下：

现在我已经对曲线进行了一般分类，我很容易演示我已经给出的帕普斯问题的解决方案。首先，我已经证明（在第一册中）当只有三条或四条线时，用于确定所需点的方程是二次方程。由此可知，包含这些点的曲线 [即帕普斯曲线] 必须属于第一类，因为这样的方程表达了第一类曲线的所有点与一条固定直线的关系。当给定的线条不超过八条时，方程至多是四次方程，因此得到的 [帕普斯] 曲线属于第二类或第一类。当给定的线条不超过十二条时，方程是六次方程或更低次方程，因此所需曲线属于第三类或更低类，以此类推（G，59）。

如上文所示，笛卡尔在第二卷中确定了帕普斯曲线属于他所指定的几何曲线类别，帕普斯曲线所属的类别取决于问题中给定的线条数量，因此也取决于问题被简化为的方程的次数。例如，在第二卷中，当笛卡尔处理四线帕普斯问题时，他展示了通过改变问题被简化为的二次方程的系数（通过对第一卷的分析），我们可以构造出圆、抛物线、双曲线或椭圆（G，59-80）。也就是说，他展示了解决四线问题的帕普斯曲线要么是一个圆，要么是一个圆锥曲线，这些正是他将其归为第一类的“几何”曲线。

3.3 笛卡尔几何微积分的紧张和限制

然后，笛卡尔分两个阶段展示了一般帕普斯问题的解决方案。在第一卷中，他提供了对该问题的代数分析，而在第二卷中，他声称提供了综合（或证明），即解决一般问题的曲线是合法的几何曲线，符合他所规定的几何精确性和精密性标准。完成这两个阶段后，笛卡尔声称在《几何学》出版后的六个月内向梅尔森证明，他解决一般帕普斯问题的方法证明了他的新几何问题解决方法比他的前辈们的方法更为优越：

我不喜欢夸夸其谈，但因为能够理解我的几何学的人很少，而且你想让我告诉你我对它的看法，我认为我应该告诉你，我的几何学是这样的，我不希望改进它。在光学和气象学中，我只是试图表明我的方法比通常的方法更好；然而，在我的几何学中，我声称已经证明了这一点。在一开始，我解决了一个问题，根据帕普斯的证词，古人中没有人能够解决这个问题；可以说，现代人也没有能够解决它，因为他们中没有人写过这个问题，即使最聪明的人也试图解决帕普斯在同一地方提到的其他问题（给梅尔森，1637 年 12 月底；AT 1, 478；CSMK，77-78）。

尽管笛卡尔对帕普斯问题的解决方案充满信心，但关于他在第二册中对这个一般问题的综合存在一些问题。

如上所述，笛卡尔试图通过他的综合来证明解决帕普斯问题的曲线是“几何”的，根据他自己所说的标准，即帕普斯曲线可以通过构造真正的几何曲线所需的“精确和准确”的运动来构造。然而，笛卡尔是否证明了这一点并不清楚。即使在第二册中处理基本的四线帕普斯问题时，笛卡尔也没有使用明显清晰和明确的运动来构造解决问题的帕普斯曲线（在这种情况下，圆、抛物线、双曲线和椭圆）。相反，他依赖于阿波罗尼斯的圆锥曲线理论，该理论要求在平面上的指定点处切割一个圆锥体，正如博斯所指出的，这种构造圆锥曲线的阿波罗尼斯技术“不是一种立即呈现给人们的清晰和明确的构造方法”（博斯，2001 年，325 页）。具体而言，由于当时的数学家们不清楚需要在平面上定位一个圆锥体的构造是否符合几何推理的精确和严格标准，笛卡尔在这个四线问题中对帕普斯曲线的处理并没有令人信服地证明它们的“几何”地位。在第二册中，当他处理五线帕普斯问题时，情况变得更加复杂。

回想一下，除了强调可以用来描述合法几何曲线的“精确和准确”的运动之外，笛卡尔还声称这些曲线“可以被构想为通过连续运动或多个连续运动来描述”。因此，我们可以合理地期望这些曲线的几何构造不应该像第一册那样逐点进行，笛卡尔在那里通过解决问题被简化为的方程来构造帕普斯曲线。然而，当笛卡尔在第二册中处理五线帕普斯问题时，他实际上提供了帕普斯曲线的逐点构造。然后，他指出这个“几何”帕普斯曲线的逐点构造与非几何的“机械”曲线的逐点构造有重要的区别：

值得注意的是，这种方法与螺旋线和类似曲线的追踪方法之间存在很大的区别。在后者中，不能随意找到所需曲线上的任意点，而只能找到可以通过比构造曲线所需的过程更简单的过程确定的点...另一方面，这些“几何”曲线上没有一个点能够提供一个不能通过我给出的方法确定的所提出问题的解（G，88-91）。

笛卡尔的建议是，当我们逐点构造一个几何曲线时，我们可以确定曲线上的任何可能点，在上述评论之后，他继续将以这种方式构造的曲线与可能通过连续运动构造的曲线等同起来：“通过确定一些随机取样的点来追踪曲线的这种方法仅适用于可以通过规则和连续运动生成的曲线”（G，91）。

这种在《几何学》中点对点构造“几何”和“机械”曲线的区分在两个方面具有相当重要的目的：（1）笛卡尔可以确定他点对点构造的帕普斯曲线实际上是“几何”的，从而完成他对帕普斯问题的综合（或证明），（2）他可以在可理解的“几何”曲线和不可理解的“机械”曲线之间保持一个界限。如果没有明确指示为什么帕普斯曲线的点对点构造是“几何”的，笛卡尔将不得不允许螺旋线和四象限曲线等“机械”曲线进入几何曲线的领域，因为这些曲线也可以通过点对点构造得到。例如，回想一下克拉维乌斯对四象限曲线的点对点构造。根据克拉维乌斯的描述，我们从一个圆的象限开始，然后确定象限的二等分线段与象限弧的二等分线段的交点（见图 9）。也就是说，我们确定了可以通过直尺和圆规构造的几个相交线段的交点，然后为了生成四象限曲线，我们连接这些相交点，这些点均匀分布在所寻求的曲线上。为什么这样的点对点构造不是“几何”的？因为根据笛卡尔的观点，如果我们像克拉维乌斯那样进行，就“不能随意找到所需曲线的任何点”。具体来说，根据欧几里得构造的限制，我们只能将给定的弧分成 2n 部分。因此，笛卡尔认为我们不能随意划分弧，因此不能通过点对点构造来确定曲线上的任意点。然而，在“几何”曲线的情况下，我们可以通过求解对应问题的方程来找到曲线上的任意点；或者借用博斯的术语，笛卡尔声称“几何”曲线，特别是帕普斯曲线，可以通过“通用”的点对点构造生成。

图 9。

虽然考虑克拉维乌斯对四象限曲线的构造提供了接受笛卡尔对不同类型点对点构造的区分的一些理由，但仍然存在一个有争议的观点，即由“通用”的点对点构造描述的曲线是可以通过连续运动构造的曲线。这种认同使得笛卡尔可以将帕普斯曲线确定为“几何”曲线，但他没有提供这一认同的证明，因此，有人质疑笛卡尔是否按照自己的标准证明了帕普斯曲线是“几何”的（参见 Grosholz 1991 和 Domski 2009 以了解解决这种紧张关系的其他方法）。

笛卡尔的“几何”曲线的标准存在进一步的问题。正如我们在上面所看到的，笛卡尔在第二册中明确关注的是为几何曲线提供一个与其构造所需的可理解、清晰和明确的运动相结合的标准。然而，曼科苏（2007）提供了一个有力的论据，即在《几何学》中笛卡尔明确的言辞背后存在着一个更基本的关注点：确保数学家用来平方圆的那些曲线，如在第二册中明确提到的螺旋线和方程曲线，被视为非几何的。曼科苏通过笛卡尔的通信证据支持他的观点，这些证据显示，对于笛卡尔来说，在某些情况下，可以清晰而明确地构想出直线与圆之间的关系，而这种关系在《几何学》中被认为是不精确的。换句话说，在 1638 年写给梅尔森的一封信中，笛卡尔写道：

你问我是否认为在平面上旋转的球体描述了与其周长相等的线，我简单地回答是的，根据我写下的一条格言，即我们清晰而明确地构想出的任何事物都是真实的。因为我很清楚地构想出同一条线有时是直的，有时是弯曲的，就像一根绳子（致梅尔森，1638 年 5 月 27 日；AT 2, 140-141；翻译来自曼科苏，2007 年，118 页）。

在《几何学》中，笛卡尔认为直线和曲线之间的关系是不精确的，因为正如他所说，“直线和曲线之间的比例是未知的，我相信人类的思维无法发现”（G，91）。曼科苏认为，笛卡尔后来承认自己可以清晰而明确地构想出这种关系，这表明在《几何学》中提出的几何曲线的标准只揭示了笛卡尔数学议程的一部分。曼科苏认为，一个更完整的画像必须考虑到笛卡尔无法平方圆的承诺（参见笛卡尔致梅尔森的信，1629 年 11 月 13 日，AT 1, 70-71；翻译见曼科苏，2007 年，120 页；另请参见曼科苏和阿拉纳，2010 年，以支持曼科苏 2007 年的立场的进一步证据）。

无论曼科苏所暗示的笛卡尔是否有隐藏的动机，用于定义《几何学》中问题解决方案的明确声明都指出了笛卡尔数学的局限性。正如我们在上面所看到的，笛卡尔的主要关注点是几何学“推理的准确性”，这与清晰而明确的构造运动以及用于表示所构造曲线的有限方程相联系。因此，在《几何学》的计划中，没有使用无穷小量来构造曲线，也没有处理由无穷方程表示的曲线。因此，笛卡尔从他的几何计划中排除了使牛顿和莱布尼茨能够在 17 世纪末发展微积分的数学和几何推理要素。尽管如此，考虑到笛卡尔迅速磨练自己的数学技能以及迅速发展他创新的几何计划的速度，接受笛卡尔的自我评估并保持一定的信心，认为微积分对他来说是可以掌握的，也不会太冒险，只要他考虑了无穷小和无穷大：

在《几何学》中，我已经确定了在每种类型的问题中可以实现的一切，并指出了如何解决它们，我声称人们不仅应该相信我比我的前辈做得更多，而且还应该相信后人在这个领域中永远不会发现我不能发现的任何东西，只要我愿意去寻找它（给梅尔森，1637 年 12 月底；AT 1, 478；CSMK, 78-79）。

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