自然哲学的数学原理 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (George Smith)

首次发表于 2007 年 12 月 20 日

没有任何科学作品比牛顿的《自然哲学的数学原理》更引起哲学家们的关注。然而，关注的原因以及关注的焦点在不同世纪间发生了显著变化。在 20 世纪，哲学家们将《自然哲学的数学原理》视为爱因斯坦的广义相对论中引力理论的背景下。主要问题涉及牛顿和爱因斯坦的引力理论之间的关系，以及用后者取代前者对科学知识的性质、范围和限制的影响。相比之下，在 18 世纪的大部分时间里，牛顿的引力理论仍然存在争议，特别是因为缺乏产生引力力的机制，尤其是接触机制。相应地，哲学文献努力澄清和解决争议，无论是支持还是反对将《自然哲学的数学原理》视为方法论上有根据的。到了 18 世纪 90 年代，牛顿的引力理论在轨道力学和物理大地测量学研究中得到了确认，使《自然哲学的数学原理》成为科学最成功的典范。因此，19 世纪哲学界对《自然哲学的数学原理》的兴趣主要集中在牛顿是如何取得这一成功的，部分是为了描述已经取得的知识，部分是为了在其他研究领域追求类似的知识。不幸的是，这三个世纪的哲学文献中有很大一部分都对《自然哲学的数学原理》本身有一个非常简单化的观点。本文的主要目标是用更充分地反映《自然哲学的数学原理》内容和方法论丰富性的观点取代这种简单化的观点。

1. 概述：这项工作的重要性

回顾历史，没有比牛顿的《自然哲学的数学原理》对现代物理学和天文学的发展更具开创性的作品了。它得出的结论是，保持行星在轨道上的力与地球引力的性质相同，永远结束了至少可以追溯到亚里士多德的观点，即天上的领域需要一门科学，而地下的领域需要另一门科学。正如第一版的前言所提出的，牛顿的引力理论的最终成功使得识别自然界的基本力量并用定律来描述它们成为物理学的主要追求。该理论的成功也导致了对精确科学的新概念，即每一个观测和理论之间的系统性差异，无论多么微小，都被视为对世界的重要启示。而且，一旦清楚地认识到引力理论相比观测提供了更有效的手段来精确描述复杂的轨道运动——正如牛顿在《自然哲学的数学原理》中对月球轨道的情况所提出的那样——物理理论在回答关于世界的具体问题时就占据了观测的首要地位。

自从爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论出现后，对《自然哲学的数学原理》的回顾观点与 19 世纪时期有所不同。牛顿理论现在被认为只在有限的情况下高度近似成立，就像在牛顿的平方反比引力之后，伽利略和惠更斯对均匀重力下运动的结果被认为只在高度近似成立一样。然而，在 19 世纪中叶，当没有理由认为牛顿理论与观测之间会出现任何相互矛盾的差异时，《自然哲学的数学原理》被视为经验科学中完美的典范，就像在 17 世纪初，欧几里得的《几何原本》被视为数学中完美的典范一样。由于爱因斯坦理论在历史上与牛顿科学有着深厚的渊源，因此《自然哲学的数学原理》在我们的后牛顿时代仍然保持着独特的开创地位。更令人惊讶的是，由于牛顿理论与爱因斯坦理论之间的逻辑关系——爱因斯坦证明了牛顿引力在广义相对论中作为极限情况成立，就像牛顿在《自然哲学的数学原理》第 1 卷第 10 节中证明了伽利略均匀重力在平方反比引力中作为极限情况成立一样——尽管《自然哲学的数学原理》不再被视为完美的典范，但在物理学家中仍被广泛认为是最佳经验科学的典范。

尽管《自然哲学的数学原理》首次出版后的几年里，一些人对它做出了夸大的评价——“……他似乎已经用尽了他的论证，对于那些将在他之后继续研究的人来说，剩下的事情很少”[1]——但在 18 世纪上半叶，任何人对它的最积极评价都会更强调它的潜力而非成就。引力理论存在太多的漏洞，其中最明显的是月球黄道升交点平均运动的 2 倍差异，这个差异削弱了月球受到倒数平方力保持轨道的说法。没有人比牛顿自己更了解这些漏洞，然而也没有人比他更深刻地意识到引力理论在解决行星天文学中的一系列问题方面的潜力——这也许可以解释为什么他让这些漏洞只有最技术熟练、细心的读者才能看到。从 18 世纪 70 年代末到 18 世纪 50 年代初，情况发生了巨大变化，其中一些漏洞得到了解决，有些情况下产生了非凡的结果，比如天文学史上第一个真正成功的描述月球运动的解释。在 18 世纪下半叶，这一潜力不仅被从事实证研究的人普遍认可，而且其中的很大一部分得到了实现。我们现在所称的“牛顿力学”就是在这个过程中出现的，基于引力的解释也解释了行星与开普勒运动之间常常存在的较大差异，这是牛顿引力理论的成就，最终终结了对它的所有反对。

在十八世纪期间，《自然哲学的数学原理》也被视为直接与广泛的笛卡尔世界观相对立的世界观。在十七世纪下半叶，广泛的笛卡尔世界观在许多圈子中取代了学院派的世界观。牛顿明确地希望人们以这种方式来看待他的作品，所以在 1686 年，他将其标题改为《自然哲学的数学原理》，以暗指笛卡尔当时最著名的作品《哲学原理》。（牛顿第一版的标题页通过将标题的第一个和第三个单词放大来强调这种暗示。）牛顿的《自然哲学的数学原理》中世界观的主要区别是将天体空间中携带行星的涡旋排除在外。牛顿学派随后在各种方式上超越了牛顿，进一步增强了这种世界观，包括力在远距离处明确地作用。例如，牛顿世界观中的“钟表宇宙”方面在《自然哲学的数学原理》中找不到；这是在十八世纪末拉普拉斯成功地解释了开普勒运动的复杂偏差之后添加的。

除了将引力理论视为可能改变轨道天文学的理论外，牛顿还将《自然哲学的数学原理》视为展示一种新的自然哲学方法的例证。其中一方面，在第一版的前言中宣布的是对力的关注：

对于哲学的整个困难似乎在于从运动现象中发现自然力量，然后从这些力量中推导出其他现象。正是为了这些目的，第 1 和第 2 册中的一般命题是指导的，而第 3 册中我们对世界体系的阐释则说明了这些命题。因为在第 3 册中，通过在第 1 和第 2 册中以数学方式证明的命题，我们从天体现象中推导出了物体朝向太阳和个别行星的引力。然后，行星、彗星、月球和海洋的运动是通过同样是数学的命题从这些力量中推导出来的。如果我们能够通过同样的推理方式从机械原理中推导出自然的其他现象就好了！因为有许多事情使我怀疑所有现象可能取决于某些力量，这些力量使物体的粒子在彼此之间被推动并以规则的形状相互粘合，或者彼此之间被排斥并分离。由于这些力量是未知的，哲学家们迄今为止徒劳地试验了自然。但我希望这里所阐述的原则能够为这种哲学方法或者某种更真实的方法带来一些启示。[P, 382][2]

新方法的第二个方面涉及使用数学理论来涵盖一整套理论可能性，而不是像伽利略和惠更斯那样从假设中推导出可验证的结论，从而使经验世界能够在其中进行选择。这种新方法在第 1 册第 11 节的最后得到了最有力的阐述。

我在这里使用“吸引力”一词，泛指任何物体相互靠近的努力，无论这种努力是由物体相互吸引或通过发射的精神相互作用而产生的，还是由以太、空气或任何介质以任何方式推动其中浮动的物体相互靠近。我在本论文中使用“冲动”一词，也是以同样的泛指，不考虑力的种类和物理特性，而是考虑它们的数量和数学比例，正如我在定义中所解释的那样。数学要求对这些力的数量和比例进行研究，这些数量和比例是根据可能假设的任何条件得出的。然后，在物理学中，必须将这些比例与现象进行比较，以找出哪些力的条件适用于各种吸引物体。最后，将能够更安全地讨论这些力的物理种类、物理原因和物理比例。[P，588]

新方法的第三个方面，在当时最具争议性的是，即使在数学理论中的力的种类和比例似乎只能通过远距离作用来实现时，也愿意将有关力如何影响物体运动的机制的问题搁置一边。这个方面在第一版中有些含蓄，但是在第二版末尾添加的《总论》中，为了回应它所接受的批评，它被明确地表达出来。

我至今还没有能够从现象中推导出引力这些属性的原因，我也不虚构假设。因为任何不能从现象中推导出来的东西都必须被称为假设；而假设，无论是形而上学的还是物理的，或者基于隐秘的品质或机械的，都在实验哲学中没有位置。在这个实验哲学中，命题是从现象中推导出来的，并通过归纳法进行普遍化。通过这种方法，我们发现了物体的不可渗透性、可动性和冲力，以及运动定律和引力定律。引力确实存在，并且根据我们所提出的定律行动，并足以解释天体和海洋的所有运动。[P，943][3]

在 18 世纪的大部分时间里，牛顿的《自然哲学的数学原理》对哲学家们提出的主要挑战是，在没有其他机制（除了远程作用）的情况下，如何理解力的数学理论。然而，到了世纪的最后几十年，几乎没有人怀疑引力确实按照牛顿所提出的定律行动，并足以解释天体和海洋的所有运动。无人能否认，一门科学已经出现了，至少在某些方面，它远远超过了以往任何科学，成为科学的终极典范。哲学家们面临的挑战随之变成了首先阐明这门科学所获得的知识的精确性质和限制，然后从方法论的角度来看，这种非凡的进步是如何实现的，以便使其他领域的研究也能效仿。

2. 《自然哲学的数学原理》的历史背景

普遍的观点是，牛顿所做的是提出他的引力理论来解释开普勒已经建立的轨道运动的“定律”；而引力定律的普遍性则通过将行星的偏离归因于行星之间的引力相互作用来解释。这种观点在几个方面都是错误的，其中最直接的是，在《自然哲学的数学原理》之前，开普勒的“定律”并没有被确立。开普勒在 17 世纪前两个十年提出的计算轨道运动的规则确实在精度上取得了惊人的进展，超过了以往任何方法。然而，开普勒的规则并没有为月球的运动提供相当的精度，即使在行星的情况下，计算出的位置有时也会偏离月球宽度的四分之一。更重要的是，到 1680 年，已经提出了其他几种计算轨道的方法，它们的精度与开普勒的方法相当，但并不完全令人满意。特别是，牛顿熟悉七种不同的计算行星轨道的方法，精度都差不多。其中只有两种方法，开普勒的方法和杰里米亚·霍洛克斯的方法，使用了开普勒的面积规则——行星在相同时间内相对于太阳扫过相等的面积——来确定行星沿轨道的位置。伊斯玛埃尔·布利奥和在他之后的托马斯·斯特里特（牛顿最早学习轨道天文学的来源）用几何构造取代了面积规则。文森特·温格在 17 世纪 60 年代末采用了另一种几何构造，此前他曾使用一个等角运动的点在椭圆的空焦点周围振荡；尼古拉斯·墨卡托在 1676 年又增加了另一种几何构造。[ 4] 这六种替代方法中，只有霍洛克斯和在他之后的斯特里特，认真对待了开普勒的 3/2 次方规则——行星的周期随着它们与太阳的平均距离的立方根的平方根而变化——足够使用周期而不是位置观测来确定它们的平均距离。[ 5]

所有这些方法都遵循开普勒使用椭圆来表示轨迹的做法。（这主要是因为开普勒成功预测了 1631 年水星凌日。）然而，这并不意味着椭圆被确立为比真实轨道更多的东西，只是数学上可处理的近似值而已。事实上，当时所知的行星轨道并不都是椭圆的。水星的短轴只比长轴短 2%，火星的短轴只比长轴短 0.4%，在其他所有情况下，椭圆和偏心圆之间的差异是无法检测到的。牛顿有充分的理由在 1686 年 6 月写给哈雷的一封信中声称对椭圆有“权利”，并评论道：“开普勒知道轨道不是圆形而是椭圆形，并猜测它是椭圆形的”[C，II，436]。完全独立地，第一版《自然哲学的数学原理》最明智的读者克里斯蒂安·惠更斯在阅读牛顿送给他的赠书时，在他的笔记本上写下了对《自然哲学的数学原理》成就的以下总结：

著名的艾萨克·牛顿摒弃了笛卡尔涡旋的所有困难；他表明行星通过对太阳的引力而保持在它们的轨道上。并且离心率必然变成椭圆形。[OH，XXI，143]

因此，在牛顿于 1684 年开始这个项目时，凯普勒的三个被称为“定律”的规则已经被认为只是高度近似的保持。当时轨道天文学的主要问题不是为什么凯普勒的规则成立，而是在计算轨道时，哪种准确度相当的不同方法是更可取的。

椭圆只是真实轨迹的近似，这解释了霍克在 1679 年向牛顿提出的问题以及哈雷在 1684 年再次向他提出的问题的合理性——当物体在一个朝向中心物体的反比平方力下运动时，它会描述出什么轨迹？这个问题中的反比平方部分来自于将统一圆周运动的数学理论与开普勒的 3/2 次方规则相结合：保持物体在统一圆周轨道上的力与圆的半径成正比，与周期的平方成反比；而行星的周期的平方与它们的平均距离的立方成比例；因此，至少在第一近似下，保持行星在轨道上的力与它们几乎圆形轨道的半径的平方成反比。但是现在允许轨道上的物体与中心的距离变化，而不是保持恒定，就像在一个圆上一样。如果朝向中心的力与距离的反比平方成正比，会得到什么轨迹？牛顿在 1684 年 11 月寄给哈雷的九页小册子《关于物体在轨道上的运动》中的答案是，一个椭圆，前提是速度不太高（如果速度太高，则是一个抛物线或者双曲线，取决于速度）。发展这个答案的关键步骤是将均匀圆周运动推广到在“向心”力作用下的运动情况——牛顿从惠更斯的“离心”力中创造了这个术语，他指的是保持物体在圆圈中的绳子的张力；而这一步的关键是发现，任何形式的向心力下运动的物体，总是在相同的时间内扫过相等的面积，相对于该中心，因此，用于推广均匀圆周运动的适当几何表示是扫过的面积，而不是角度或弧长。这篇论文还证实了开普勒的 3/2 次幂规则仍然适用于由反比平方向心力控制的共焦椭圆轨道上运行的物体。

这些在当时是非常重要的进展，但它们及其背后的问题只是牛顿继续撰写《自然哲学的数学原理》的背景的一个初始部分。在“De Motu”论文寄往伦敦后不久，牛顿对该论文进行了修订，并增加了两个进一步的段落。引发这次修订的问题似乎是关于逆平方向心力对太阳的影响，这一点可以从木星的卫星所暗示的逆平方向心力的方向得出。牛顿首先添加了两个他最初称为“假设”，然后改为“定律”的原则：

定律 3：封闭在给定空间中的物体的相对运动，无论该空间是静止的还是以直线均匀运动而没有圆周运动，都是相同的。
法则 4：质点系的共同重心在质点间的相互作用下，不会改变其运动状态或静止状态。[U，267]

两个附加段落中的第二个涉及到在阻力介质中的运动；它为阅读《自然哲学的数学原理》第 2 卷提供了一个背景。

第一个附加段落，被称为“哥白尼学派的注释”，我们在此全文引用，因为它比其他任何东西更好地解释了牛顿进一步研究的原因，这将把这篇九页的小册子变成五百页的《自然哲学的数学原理》。它以一个长段落的形式出现，但在这里被分成三个部分，以便更好地进行评论。

此外，行星天空的整个空间要么静止（常见信念），要么以直线均匀移动，同样，行星的质心（根据第四定律）要么静止，要么同时移动。无论哪种情况，行星之间的运动（根据第三定律）以相同的方式进行，它们的质心相对于整个空间静止，因此应该被视为整个行星系统的不动中心。因此，哥白尼系统是先验证明的。因为如果计算行星的任何位置的质心，它要么位于太阳的本体内，要么总是非常接近太阳。
由于太阳偏离质心的原因，向心力并不总是指向那个不动中心，因此行星既不完全沿椭圆轨道运动，也不在同一轨道上旋转两次。每当行星绕行一周时，它都会描绘出一个新的轨道，就像月球的运动一样，每个轨道都取决于所有行星的综合运动，更不用说它们对彼此的作用了。除非我大错特错，否则人类智慧的力量将无法同时考虑这么多运动的原因，并通过精确的法则来定义这些运动，以便进行简单的计算。
撇开这些细节不谈，那个介于所有变幻之间的简单轨道将是我已经讨论过的椭圆。如果有人试图通过三次观测的三角计算来确定这个椭圆（通常是这样做的），他将是在没有适当谨慎的情况下进行。因为这些观测将会受到这里忽略的非常小的不规则运动的影响，从而使椭圆在其实际大小和位置上稍微偏离（应该是所有误差的平均值），因此将会有与所使用的三次观测组合不同的椭圆。因此，必须将很多观测结果结合起来，并分配给一个单一的操作，相互调节，并显示出平均椭圆的位置和大小。[U，280]

第一部分突出了《自然哲学的数学原理》写作和阅读的历史背景的另一个组成部分。伽利略在 1613 年发现了金星的相位，这为托勒密体系提供了决定性的证据，但它不能提供支持哥白尼体系胜过提科体系的理由。在后者中，水星、金星、火星、木星和土星绕太阳运行，太阳绕地球运行，因此这七个天体在彼此之间的位置始终与哥白尼体系中的位置相同。能否找到任何决定性的经验依据支持哥白尼体系胜过提科体系成为 17 世纪最受关注的问题之一。开普勒、伽利略和笛卡尔在世纪上半叶都出版了重要著作，试图解决这个问题，开普勒和笛卡尔基于各自提出的控制轨道运动的物理机制进行论证。然而，世纪下半叶的主要观测天文学家 G·D·卡西尼是提科主义者。在《哥白尼学派注释》的第一部分中，牛顿将行星系统的重心确定为所有运动应参照的适当点——这是两个体系之争背后的技术问题——然后宣布在《运动论》的文本中确定的向心力为轨道运动开辟了一个稍微有条件的哥白尼体系的途径。牛顿发现这种推理线索无疑是推动他写作《自然哲学的数学原理》的一个重要因素。

“哥白尼学派注释”的第二部分涉及轨道天文学中的一个问题，这是《自然哲学的数学原理》历史背景中的另一个组成部分。与是否更倾向于开普勒的方法或其他方法无关的问题是，真实运动是否比这些方法中的计算运动更加不规则和复杂。月球轨道的复杂性以及在开普勒已经为行星实现的精确度内无法描述它的持续失败是这个问题背后的一个考虑因素。另一个考虑因素来自开普勒自己的发现，他在《鲁道夫表》的前言中指出，并得到其他人的支持，即真实运动可能涉及进一步的变化，如轨道要素值随时间的变化所示。然而，这个问题背后最重要的考虑来自笛卡尔的主张，根据他的涡旋在长时间内的运动变化，轨道并不是数学上完美的，“它们会随着岁月的流逝而不断变化”[D，3，34]。在引用的注释的第二部分中，牛顿得出结论，与胡克和哈雷向他提出的数学问题的椭圆相反，真实轨道不是椭圆，而是无限复杂的。这个结论在已发表的《自然哲学的数学原理》中没有如此有力地陈述，但有见识的读者仍然将这项工作视为对真实运动是否在数学上完美的问题的否定回答。

最后，第二和第三部分不仅指出开普勒运动只是对真实运动的近似，而且还提醒人们使用开普勒和其他人公布的轨道作为有关行星系统的论断的证据时可能遇到的潜在陷阱。例如，如果真实运动如此复杂，那么所有不同的计算方法都能达到相当的准确性并不令人意外，因为它们最多只能近似地保持一致。同样，计算轨道的成功也不能作为反对笛卡尔涡旋的依据，因为它们所涉及的不规则性不能简单地被忽视。所提出的问题正是牛顿在早期有关光和颜色的争论中反对的问题：太多的假设可以适应相同的数据。更糟糕的是，可行假设的多样性是从 16 世纪末以来一直困扰着数学天文学这门学科的一个幽灵。因此，得出的结论是计算出的轨道最多只能是近似，这可能意味着真理和精确性超出了数学天文学的范畴。《自然哲学的数学原理》包含了远远超出“De Motu”篇的内容，主要原因是牛顿努力得出具有准确性和真实性的结论，尽管实际运动的复杂性异常巨大。

牛顿写《自然哲学的数学原理》时的历史背景涉及一系列问题，第一版读者认为它在解决以下问题：是凯普勒的计算轨道方法更好，还是其他方法更好？是否有一些经验基础来解决哥白尼与提科的体系之争？真实运动是否复杂而不规则，与计算运动相比？数学天文学是否可以成为一门精确的科学？当时的《自然哲学的数学原理》读者没有机会看到牛顿是如何将这些问题联系在一起的，因为直到两百年后的“哥白尼注释”才出现在印刷品上。然而，没有什么比“哥白尼注释”更清楚地表明《自然哲学的数学原理》的范围扩大是源于牛顿对从证据中得出精确结论的问题的关注，而根据他的估计，这些证据最多只能得到高度近似。这就是为什么“哥白尼注释”为阅读《自然哲学的数学原理》提供了最有启发性的背景。同样，它长期以来的未知状态有助于解释为什么《自然哲学的数学原理》通常被简单地阅读。

3. 《自然哲学的数学原理》的三个版本[13]

牛顿最初计划写一本两卷的作品，第一卷由从运动定律中数学推导出的命题组成，其中包括一些关于受阻力作用下运动的命题；第二卷则以笛卡尔的《自然哲学的数学原理》的方式进行写作和格式化，将这些命题应用于构建世界的系统。到 1686 年中期，牛顿改变了原计划，将结构改为三卷，第二卷专门讨论在阻力介质中的运动。似乎是由于钟摆衰减实验的前景，使他相信这个主题需要一本单独的书来讨论，以便能够测量阻力力与速度的变化[14]。当胡克提出了关于平方反比力的优先问题时，牛顿放弃了最后一卷的原始版本，转而以一系列数学论证的命题来呈现世界的系统，其中许多命题要求读者比原始版本中的任何内容都更深入地理解。原始版本的《世界系统》在牛顿去世后的一年出版。至今没有找到第一卷原始版本的完整文本。

牛顿对第一版的批评反应感到失望。英国的反应是赞美的，但没有注意到一些问题肯定让牛顿怀疑是否有人真正掌握了技术细节。欧洲大陆的主要科学家克里斯蒂安·惠更斯在他的《引力原因论》（1690）中对这本书给出了一个复杂的回应。一方面，他被牛顿的论证所说服，即平方反比的地球引力不仅延伸到月球，而且与使行星保持轨道的向心力是同一种力；另一方面，

我对他在这个计算和其他计算中假设的一个原则并不特别赞同，即我们可以想象出的两个或更多不同物体中的所有小部分相互吸引或趋向于彼此靠近。我不能同意这一点，因为我清楚地认为这种吸引的原因既不能通过力学原理解释，也不能通过运动定律解释。我也不完全相信整个物体之间的相互吸引是必要的，因为我已经证明，如果没有地球，物体也不会因为我们所称之为重力的原因而停止朝向中心靠拢。[HD，p.159]

大陆上的其他人更加有力地提出了这一抱怨。也许最让牛顿困扰的回应是《学者杂志》上的评论：

牛顿先生的工作是一种力学，可以说是最完美的力学，因为在前两本书中，他给出的演示没有比这更精确或更准确的了.... 但必须承认，我们不能将这些演示视为仅仅是力学的；事实上，作者在第四页末尾和第五页开头承认，他并没有将这些原则视为物理学家，而是仅仅作为一个纯粹的几何学家....
为了使作品尽可能完美，艾萨克·牛顿只需给我们一个与他的力学一样精确的物理学。当他用真实的运动替代他所假设的运动时，他将给出这个物理学。[15]

更进一步复杂化问题的是，勒布尼兹在 1689 年发表了《论天体运动的原因》一书，提出了一个涡旋理论，其中“行星以其流体延迟轨道的谐波循环和副心运动的双重运动，就好像它具有某种引力吸引力，即朝向太阳的推动力”[L, 132]。勒布尼兹进一步得出结论，当物体“以谐波循环的椭圆（或其他锥面截面）运动，并且引力和循环的中心都在椭圆的焦点上时，引力的吸引或诱导将直接与循环的平方成正比，或与距离焦点的平方反比”[L, 137]。因此，在《自然哲学的数学原理》出版的一年半内，出现了一个与牛顿关于开普勒运动中心向力是反比的结论一致的竞争性涡旋理论。这使得牛顿有理由在《自然哲学的数学原理》中加强对涡旋的论证。

第二版于 1713 年出版，比第一版晚了 26 年。它有五个值得注意的实质性变化。首先，在第 3 册开头关于普遍引力的论证结构更加明显，其中的“假设”一词被删除。其次，由于对摆钟衰减实验的失望以及关于液体通过容器底部的孔垂直流动速率的错误主张，第 2 册第 7 节的后半部分被完全替换，以新的垂直下落实验来测量阻力力与速度之间的关系，并坚决否定了所有涡旋理论。第三，对纬度变化的地表重力的处理（第 3 册第 20 命题）得到了显著扩展，部分是为了回应休谟对这种变化的替代处理，但也因为近赤道地区的最新数据。第四，关于地球摆动引起春分点的岁差的处理进行了修订，以适应第一版中月球对地球的引力大大减小的情况。第五，在第 3 册末尾添加了几个彗星的进一步例子，利用了哈雷在这个主题上的努力。除了这些变化外，还有两个更具争议性而非实质性的变化：牛顿在第二版的第 3 册后面增加了《总论》，而他的编辑罗杰·科茨提供了一篇长篇反对笛卡尔（和莱布尼兹）的前言。

第三版于 1726 年出版，距第一版发行已经过去了三十九年。其中的大部分变动要么是细化，要么是新的数据。在实质上最重要的修订是关于地球纬度上表面重力变化的，牛顿现在得出的结论是数据显示地球具有均匀的密度。随后的版本和翻译都是基于第三版的。特别值得注意的是由两位耶稣会士勒苏尔和雅克维尔于 1739-42 年出版的版本，因为它包含了逐命题的评论，其中大部分使用了莱布尼兹的微积分，长度与牛顿的文本大致相同。

4. “定义”和绝对空间、时间和运动

《自然哲学的数学原理》以一个名为“定义”的部分开篇，其中包括牛顿对绝对空间、时间和运动的讨论。自从出版以来的三个世纪以来，这部分内容一直是哲学家们讨论最多的部分。然而，不幸的是，由于倾向于不仔细阅读文本，导致了很多不必要的混淆。[18]

定义向读者说明了在《自然哲学的数学原理》中将如何使用关键技术术语，这些术语都指代数量。在这个过程中，牛顿引入了一些至今仍然是物理学一部分的术语，如质量、惯性和向心力。每个定义中的重点都在于如何测量指定的数量，正如开头的定义所示：“物质的数量[或质量]是由其密度和体积共同产生的物质的度量。”（因为当时密度的主要测量是比重，所以这里没有循环性。）牛顿区分了三种量化向心力的方式：绝对数量，对应于我们所称的中心力场的场强；加速度数量，是“在给定时间内产生的加速度与该力的度量成比例的力；”以及动力数量，是与我们所称的线性动量变化成比例的力的度量。

重要的是要认识到，牛顿将定义术语的指称称为“数量”，将它们归入亚里士多德意义上的本体论范畴。因此，力和运动是具有方向和大小的数量，将力量视为个体实体或物质是没有意义的。牛顿的运动定律及其推导出的命题涉及的是数量之间的关系，而不是物体之间的关系。我们有的是“没有实体没有身份”的替代物，我们有的是“没有数量没有明确比例”的要求；测量的要求是提供能够明确产生适当近似值的这些明确比例的值。

紧接着八个定义之后是关于空间、时间和运动的注释。在对这个注释的文献中，一个混淆的来源是没有注意到牛顿所做的主要区分，即“绝对的、真实的、数学的”运动与“相对的、表面的、普通的”运动之间的区别。当然，真实运动和表面运动之间的天真区分是非常普遍的。此外，牛顿几乎没有在天文学中引入它。托勒密在轨道天文学中的主要创新——所谓的离心率的二分法——意味着行星运动中观察到的第一不等式的一半来自真实的速度变化，一半来自观察者偏离中心而产生的表面变化。同样，哥白尼的主要观点是第二不等式——即行星的观察到的逆行运动——涉及的不是真实的运动，而只是表面的运动。而哥白尼学说和提克学说之间的后续问题是关于太阳在黄道上的年运动是太阳的真实运动还是只是表面运动的问题。因此，牛顿在关于空间和时间的注释中所做的不是引入一个新的区分，而是更加仔细地阐明了几个世纪以来天文学中的一个基本区分。

“绝对、真实和数学”与“相对、表观和普通”时间和空间之间的区别是牛顿在阐述运动对应区别时所采用的概念基础。他说，“相对、表观和普通时间是通过运动对持续时间进行的任何感知和外部测量（精确或不精确）”，并对绝对空间提出了类似的观点。他指出，绝对时间和相对时间之间的区别在天文学中早已存在，因为天文学家长期以来已经通过“时间方程”对自然日进行了修正，“以便根据更真实的时间来测量天体运动”，并且他提出了“可能没有统一的运动可以精确测量时间”的可能性。绝对运动被定义为从绝对空间中的一个地点变化到另一个地点。“但由于我们的感官无法看到空间的这些部分，也无法将它们与彼此区分开来，我们使用感知的测量代替它们”，并补充说“可能没有真正静止的物体可以将位置和运动参照物”[P，410]。简而言之，绝对时间和绝对位置都是无法直接观察到的量，而必须从相对时间和位置的测量中推断出来，而这些测量始终只是临时的；也就是说，它们始终存在被某种新的（仍然是相对的）测量所取代的可能性，这种新的测量在各种现象中的行为更好，就像恒星时间被认为比太阳时间更可取一样。

注意这里对测量绝对、真实、数学的时间、空间和运动的关注，这些都在注释的开头被确定为数量。随后的注释继续关注能够为这些数量分配值的测量方法。牛顿明确承认这些测量方法现在可以称之为理论介导和临时的。测量是《自然哲学的数学原理》的核心。它贯穿了关于空间和时间的定义和注释，正是因为这一部分的主要目的是阐明（用霍华德·斯坦的话来说）“一组理论概念的经验内容”[斯坦，1967，281]。

因此，尽管牛顿在绝对时间和空间与相对时间和空间之间的区别上提供了一个概念基础，以便阐明他对绝对运动和相对运动的区别，但绝对时间和空间本身并不能直接进入经验推理，因为它们本身并不是经验可接触的。换句话说，《自然哲学的数学原理》假设了绝对时间和空间来概念化测量的目的，但测量本身始终是相对时间和空间的，而优选的测量方法是被认为提供最佳近似值的方法。牛顿在他的经验推理中从不假设绝对时间和空间。行星系统中的运动是相对于固定的恒星的，这些恒星被临时地视为适当的测量参考，而恒星时间则被临时视为对绝对时间的最佳近似值。此外，在运动定律的推论中，牛顿明确放弃了在两种情况下担心绝对与相对运动的需要：

推论 5. 当物体被封闭在给定的空间中时，它们相对于彼此的运动无论空间是静止的还是以匀速直线前进而没有圆周运动，都是相同的。
推论 6. 如果物体以任何方式相对于彼此移动，并且受到平行线上相等的加速力的推动，它们将继续以相对于彼此相同的方式移动，就像它们没有受到那些力的作用一样。

因此，尽管《自然哲学的数学原理》假设了绝对时间和空间来概念化绝对运动，但关于实际运动的所有经验推理的前提在哲学上更加谦虚。

如果绝对时间和空间不能用来区分绝对运动和相对运动——更准确地说，区分绝对运动和相对运动的变化——那么还有什么可以从经验上进行区分呢？牛顿回答道：“区分真实运动和相对运动的原因是施加在物体上以产生运动的力。真实运动只能通过施加在运动物体本身上的力来产生或改变。”问题随之变成了如何区分施加在物体上的力，其中力是一种量；因此，关键问题是是否存在理论介导的力的测量方法，能够产生明确的值——与产生不同值的同一力的不同测量方法相对应，这是相对运动的标志。接下来的著名的水桶例子被用来说明如何区分力，从而区分真实运动和表观运动。该注释的最后一段开头和结尾如下所示：

确实很难找出个体物体的真实运动，并将其与表观运动区分开来，因为物体真正运动的那个不动的空间对感官没有任何影响。但情况并非完全没有希望……但在接下来的内容中，将更详细地解释如何通过原因、效果和表观差异来确定真实运动，以及如何通过运动（无论是真实的还是表观的）来确定它们的原因和效果。因为这就是我撰写以下论文的目的。[P，414f]

接下来是两本命题书，提供了从运动中推断力量和从力量中推断运动的手段，以及一本最后的书，说明了这些命题如何应用于世界系统，首先是识别我们行星系统中的运动规律，然后用它们来区分某些真实和表面上感兴趣的运动。在这方面，牛顿在所谓的“定义”部分阐明的理论概念的经验内容与《自然哲学的数学原理》中呈现的物理理论密不可分。

不能认为《自然哲学的数学原理》中的经验推理不预设一种无拘无束的绝对时间和空间形式，这并不意味着牛顿的理论在时间和空间方面没有基本假设，这些假设后来被证明是有问题的。例如，在空间的情况下，牛顿预设了几何结构，决定哪些线是平行的，两点之间的距离是三维的和欧几里得的。在时间的情况下，牛顿预设，通过对光速等因素进行适当的修正，关于两个天体事件是否同时发生的问题原则上总是可以有一个明确的答案。而通过力量来区分真实的非惯性运动和表面上的非惯性运动的呼吁，预设了在重力下的自由落体运动总是可以至少在原则上与惯性运动区分开来。[20]

同样，主张《自然哲学的数学原理》中的经验推理并不预设一种无拘无束的绝对空间的论点，并不意味着牛顿否认他以绝对空间作为概念化惯性运动真正偏离的手段。上述运动定律的推论 5 使他有能力引入惯性参考系的概念，但他并未这样做，或许部分原因是因为推论 6 表明，即使使用惯性参考系来定义惯性运动的偏离也是不够的。然而，从经验上来看，《自然哲学的数学原理》在处理天体运动相对于固定星体的方式上遵循天文学的惯例，而其关键的经验性结论之一（第 3 卷，命题 14，推论 1）是固定星体相对于我们的行星系统的重心静止不动。

5. 艾萨克·牛顿的运动定律

“运动定律”这个称号在 17 世纪晚期的《皇家学会哲学交易》中被用来指代克里斯托弗·雷恩、约翰·沃利斯和克里斯蒂安·惠更斯提出的关于冲击下运动原理的原则。牛顿在《自然哲学的数学原理》中给出的三个定律中，只有第一个与这些原则中的任何一个相对应，而且即使是对它的陈述也明显不同：每个物体都保持静止或以匀速直线运动的状态，除非被外力迫使改变状态。这个一般原理，后来被称为惯性原理或惯性定律，自牛顿之后一直存在于印刷品上，最早见于皮埃尔·加桑迪于 1641 年出版的《关于由运动者传递的运动》一书中。牛顿可能是在阅读笛卡尔的《自然哲学》时第一次在印刷品上遇到它，其中它被包含在他的前两个“自然定律”中，并立即用于断言“任何在圆周运动的物体都会不断地远离它所描述的圆心。”这是笛卡尔得出结论的基础，即某种看不见的物质（即涡旋）必须与行星接触，否则它们将沿直线运动。这是惠更斯在 1673 年的《摆钟》中发展他的“重物体下落及其在摆线中的运动”理论的三个假设之一：如果没有重力，如果空气不阻碍物体的运动，那么任何物体都将以匀速直线运动的给定速度继续前进。牛顿在“运动”注册版本中将其作为一个“假设”采纳，尽管没有提及外力：每个物体在仅受其固有力作用下将以匀速直线运动，除非有外界因素阻碍。在《自然哲学的数学原理》与《De Motu》中的表述之间存在显著差异，而且与之前所有印刷版本的表述相比也是如此，即提到了受力。在之前的所有表述中，任何偏离直线均匀运动的情况都意味着存在物质阻碍运动的障碍；而在《自然哲学的数学原理》中更抽象的表述中，暗示了受力的存在，并且对于这种力是如何产生的问题保持开放。

牛顿第二定律的现代形式 F=ma 在《自然哲学的数学原理》的任何版本中都没有出现，尽管在第二版和第三版之间的间隔期内，他在雅各布·赫尔曼的 1716 年的《Phoronomia》中以这种方式看到了他的第二定律的表述。相反，在所有三个版本中，它的表述如下：运动的变化与受到的动力成正比，并沿着受到该力作用的直线发生。在《自然哲学的数学原理》的正文中，这个定律既适用于离散情况，即瞬时冲量（例如来自碰撞的冲击）导致运动变化，也适用于连续作用情况，例如物体在阻力介质中连续减速导致运动变化。因此，牛顿似乎打算使他的第二定律在离散力（即我们现在称之为冲量）和连续力之间保持中立。（他用比例而不是等式来陈述定律，绕过了我们认为的在处理这两者之间中立性时单位不一致的矛盾之处。）

对于第二定律，显而易见的问题是牛顿所指的“运动变化”是什么意思。如果他指的是我们现在称之为动量的变化，即现代符号表示的 Δ**mv，那么适当的措辞应该是“运动量的变化”。在牛顿打算重构《自然哲学的数学原理》时，他在 17 世纪 90 年代初撰写的一段文字中解释了他的意思：

如果物体 A 在其位置 A 上受到力的作用时，它应该有一个运动，当均匀持续时，它将沿着直线 Aa 描述，但由于受到的力的作用，它将偏离这条直线，进入另一条直线 Ab，并且当它应该位于位置 a 时，却被发现在位置 b 上。因此，由于物体在没有受到外力的情况下本应占据位置 a，但被该力推出该位置并转移到位置 b，根据这个定律的意义，物体从位置 a 到位置 b 的位移将与该力成比例，并指向该力所作用的相同目标。因此，如果同一物体在没有任何运动的情况下，受到相同力和相同方向的作用，能够在相同的时间内从位置 A 运输到位置 B，那么直线 AB 和 ab 将是平行且相等的。因为相同的力，无论是在静止还是在任何运动状态下，以相同的方向和相同的时间作用于同一物体，根据这个定律的意义，将实现相同的位移朝着相同的目标；在这种情况下，位移是 AB，即在力作用之前物体静止的位置，以及 ab，即在力作用之前物体处于运动状态的位置。[M，541]
图 1
如果物体 A 在其位置 A 上受到力的作用时，它应该有一个运动，当均匀持续时，它将沿着直线 Aa 描述，但由于受到的力的作用，它将偏离这条直线，进入另一条直线 Ab，并且当它应该位于位置 a 时，却被发现在位置 b 上。因此，由于物体在没有受到外力的情况下本应占据位置 a，但被该力推出该位置并转移到位置 b，根据这个定律的意义，物体从位置 a 到位置 b 的位移将与该力成比例，并指向该力所作用的相同目标。因此，如果同一物体在没有任何运动的情况下，受到相同力和相同方向的作用，能够在相同的时间内从位置 A 运输到位置 B，那么直线 AB 和 ab 将是平行且相等的。因为相同的力，无论是在静止还是在任何运动状态下，以相同的方向和相同的时间作用于同一物体，根据这个定律的意义，将实现相同的位移朝着相同的目标；在这种 �� 况下，位移是 AB，即在力作用之前物体静止的位置，以及 ab，即在力作用之前物体处于运动状态的位置。[M，541]

换句话说，运动变化的度量是物体在给定时间内如果没有受到力的作用，它将会在的地方与它在那段时间后的地方之间的距离。这与当时普遍用于表征表面重力加速度强度的度量是一致的，即一个物体从静止开始在第一秒钟内垂直下落的距离。牛顿需要做的唯一特殊规定是针对非均匀持续作用力，根据引理 10，他认为距离 AB 在“运动开始时与时间的平方比例”下变化。[21]

如果这种解释第二定律的方式看起来荒谬，要记住，牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用的几何数学（以及他之前的其他人使用的几何数学）无法将加速度表示为一个独立的量。当然，牛顿本可以在符号微积分的框架内将加速度概念化为距离对时间的二阶导数。这确实是雅各布·赫尔曼在他 1716 年的《Phoronomia》中呈现第二定律的形式（以及欧拉在 1740 年代）。但是，《自然哲学的数学原理》中使用的几何数学无法表示二阶导数（牛顿在整个《自然哲学的数学原理》中使用曲率——即“与曲线相切”的圆——代替距离的二阶导数）。因此，牛顿继续沿用使用长度作为力产生的运动变化的度量的传统是很自然的，即使独立于这种度量具有的优势，即允许该定律涵盖离散和持续作用力（在连续情况下，给定的时间取极限）。

在这种解释下，牛顿的第二定律在当时并不显得新奇。冲击的后果也被解释为在给定时间后，如果没有遭受冲击，物体将会在哪里，以及在这段时间后，冲击发生后物体的位置之间的距离，这个距离的大小取决于冲击物体的相对体积。此外，惠更斯在他的《摆钟》中对均匀圆周运动中的离心力（即绳子的张力）的解释，使用了作为力量度量的距离，即物体如果继续沿直线运动，它将会在哪里，以及在极小的时间增量内，它在圆上的位置；然后他补充说，绳子的张力也与物体的重量成比例。因此，按照上述方式解释，牛顿的第二定律只是在用质量取代体积和重量方面是新颖的。[22]

在《自然哲学的数学原理》的早期阶段，牛顿确定了第三定律的三个逻辑上等价的替代方案：他最终选择的作用-反作用原理，我们称之为动量守恒原理（《自然哲学的数学原理》中的推论 3），以及“两个或多个物体的共同重心不会因为彼此之间的相互作用而改变其运动状态或静止状态”（推论 4）。休谟曾经指出，这两个原理都可以从他对球体碰撞的解决方案中得出，并且正如牛顿强调的那样，重心原理只不过是惯性原理的一种概括。尽管与这两个原理相比，他的第三定律是新颖的，[23]牛顿仍然选择了它，并将其他两个定律归为推论。关于这个选择，可以说两件事。首先，第三定律是一个局部原理，而与之相对的两个选择是全局原理，而牛顿与当时在大陆上从事力学研究的人不同，通常更喜欢基本原理是局部的，可能是因为它们提出的证据负担较小。其次，通过选择第三定律，这三个定律都明确涉及到作用力：第一定律授权对物体上存在的作用力进行推断，第二定律授权对其大小和方向进行推断，第三定律授权对产生该作用力的物体上的相关力进行推断。在这方面，牛顿的三个运动定律确实是表征作用力的公理。与这种明显的力量相反，如科里奥利力（牛顿完全意识到，尽管当然不是用这个名字），真正的力量是第三定律以及前两个定律成立的力量，只有通过这个定律，真正的力量和因此运动的变化才能与表面的力量区分开来。

牛顿将他的前两个定律描述为已经“被数学家接受并通过多种实验证实”[P，424]。相比之下，对于第三定律，他提供了多种形式的支持，包括对冲击的实验。在他对第三定律的证据讨论中，以及推论 2 中，一个重要的要素变得清晰，那就是牛顿的受力与静力是相同的，而静力在平衡装置（如水平仪和天平）的平衡理论中已经使用了一段时间。牛顿并没有引入一个新颖的力概念，而只是扩展了一个熟悉的力概念。事实上，惠更斯在他的《摆钟论》中也使用了这个静力概念，当他将他的离心力与保持物体在圆周运动中的绳子的张力（或墙壁上的压力）等同起来时，明确地类比于重物对悬挂它的绳子施加的张力。惠更斯的离心力理论在从物体的运动中推断出力的大小方面超越了静力的标准处理。牛顿超越惠更斯的创新首先是不再关注绳子上的力，而是关注运动物体上的相关力，其次是将这种力从作用于物体的机制中抽象出来。因此，从已经熟悉的静力过渡到更抽象的牛顿式的“动力学”力涉及三个步骤，惠更斯贡献了一个，牛顿贡献了两个。

与惠更斯的离心力理论的连续性在另一个方面也很重要。在牛顿对运动的前两个定律进行简要辩护时，他提到：“关于摆动钟的周期已经证明，依赖于相同的前两个定律和前两个推论，而且这一点通过对钟表的日常经验得到了支持”[P，424]。在惠更斯的《摆钟论》中，第二定律的任何对应之处只出现在离心力和匀速圆周运动的理论中。惠更斯提出的理论适用于锥形摆，包括他指出比简单摆钟更有优势的锥形摆钟。在 17 世纪 70 年代，牛顿使用锥形摆来确认惠更斯宣布的以简单摆和小弧圆周摆测量的表面重力强度值[26]（惠更斯本人曾用锥形摆测量过表面重力强度，得到与他用简单摆得到的四个有效数字相同的值[27]）。这两种理论介导的表面重力测量结果之间的精确一致性，其中一种基于牛顿的前两个运动定律，而另一种则不是，实际上构成了《自然哲学的数学原理》首次出版时前两个定律最有力的证据。因为，简单摆的测量已知稳定且准确到第四个有效数字。因此，作为测量力的基础，前两个定律的现有证据要比通常认为的要强得多。

除了将第二定律的 F=ma 形式归因于《自然哲学的数学原理》之外，关于牛顿的三个运动定律最普遍的错误是认为它们足以解决古典力学中的所有问题。在 18 世纪期间发展出我们现在称之为牛顿力学的人们始终都明白这个错误离真理有多远。牛顿的三个运动定律足以解决涉及所谓“质点”的问题。事实上，一旦给出作用在质点上的力，这三个定律对于所有质点都成立，包括那些位于物体内部的质点。但是，对于涉及刚体或其他非质点的众多著名问题，这三个定律必须补充以进一步的原理。也许当时最简单的突出例子是涉及带有两个（或更多）质点挂在绳子上的小弧形摆的问题。休谟在他的《摆钟》一书中解决了这个问题，同时为使用附加质量来调节摆钟提供了理论基础。牛顿的三个运动定律需要补充来解决这个问题的原因很容易理解。考虑一个绳子上带有两个质点的摆。外部质点会减小内部质点的速度，相对于没有外部质点时的速度，而内部质点会增加外部质点的速度。换句话说，运动沿着连接它们的绳段从内部质点传递到外部质点。一旦知道了沿着绳子传递给每个质点的力，牛顿的三个运动定律就足以确定运动。但是，这三个定律不足以确定沿着绳子传递的力是多少。需要其他原理来解决这个问题。在解决这个问题时，哪个原则更值得推崇成为了一个著名的问题，贯穿了整个 18 世纪的大部分时间。[ 29]

6. 自然哲学的数学原理第 1 册

书 1 发展了一个关于向心力下运动的数学理论。与欧几里得传统一致，从运动定律中数学推导出的命题被标记为定理或问题。这些定理都具有“如果-那么”的形式，使它们能够根据前提推断出结论[30]。但是问题实际上也具有“如果-那么”的逻辑形式，因为它们提供的（几何风格的）解决方案授权从已知信息推断出未知数。因此，最好将这些推导出的命题视为“推理凭证”。因此，这些命题分为三类：（1）允许从运动信息推断出力的命题，（2）允许从力信息推断出运动的命题，以及（3）允许从关于个体部分的力信息推断出整体物体的（净）力的命题。

牛顿的向心力下运动的数学理论与伽利略和惠更斯发展的运动的数学理论之间的一个基本对比是，牛顿的理论是通用的。伽利略和惠更斯研究了一种力，即均匀重力，并旨在推导出可测试的结果。牛顿的理论不仅涵盖了与 1/r2 变化的力，这也是《自然哲学的数学原理》所著名的，还涵盖了与 r 变化、1/r3 变化甚至任意 r 的任意函数变化的力。在第 11 节的末尾，他给出了一个早先引用过的理由：

数学需要对那些力量的数量及其比例进行研究，这些力量的比例是根据可能的任何条件推导出来的。然后，转向物理学，这些比例必须与现象进行比较，以便找出哪些力量条件适用于各种吸引体。最后，将能够更安全地论证这些力量的物理种类、物理原因和物理比例。【P，588f】

他还有其他原因。引力理论表明，均匀密度球体表面以下的重力与距离中心的线性变化，因此，至少在第一近似下，地球表面以下的重力变化就是如此。只有当轨迹是螺旋时，才会产生与 1/r3 成正比的向心力；[31]而且，对于任何由向心力控制的静止轨道，叠加一个 1/r3 的向心力将导致该轨道进动，就像月球轨道的情况一样。[32]然而，牛顿的主要原因似乎是引文中给出的原因。

在牛顿只是偶尔提及的一个奇怪的方面上，这个理论并没有涵盖所有“可能被假设的条件”。牛顿的理论只处理与力心距离有关的径向力，也就是说，对于两个距离力心相等的物体，其受到的力始终相同。它并没有处理与 θ 和 φ 有关的径向力，即(r, θ, φ)球坐标系的两个角分量。这有两个值得注意的原因。首先，笛卡尔涡旋中产生的中心力几乎肯定会随着这两个角分量的变化而变化，因此牛顿在暗中提出了一个问题。其次，正如牛顿自己在第一卷第 13 节中意识到并指出的那样，椭球体周围的重力并不仅仅按照 1/r^2 的比例变化，还必须随着纬度的变化而变化。因此，从牛顿的观点来看，木星、地球以及太阳的重力并不仅仅按照 1/r^2 的比例变化。这是许多常被忽视的线索之一，指出《自然哲学的数学原理》中的证据推理必须比当时或现在所认识到的更加复杂和微妙。

直到第 10 节结束，第 1 卷考虑的是指向几何中心而非物体的力量。因此，在第 1 卷的后期，只有前两个运动定律进入任何证明中。更进一步地，当牛顿发展到那一点时，只有加速度的力度被使用，因此质量甚至没有起到作用。包括在这一部分中的是第 1 卷迄今为止最广泛阅读的部分：第 2 节通常涉及向心力，以及第 3 节发展了牛顿的基本发现，即如果运动由一个指向焦点的平方反比向心力控制，那么物体将在一个圆锥曲线上运动，在相等的时间内绕焦点扫过相等的面积。将这两个部分视为高潮，得到的第 1 卷的简化图像不仅使读者无法看到其中发展的理论的丰富性，而且使读者无法看到其余部分中得出的几个同样重要的结果。

开篇第 11 节宣称：“到目前为止，我一直在阐述向一个不可动中心引力运动的物体，然而在自然界中几乎不存在这样的中心……我现在开始阐述相互吸引的物体的运动”[P，561]。该节首先成功解决了两个物体在反比平方互相吸引下的运动问题。然后转向多于两个物体的情况，对于这种情况，牛顿只能解决相互吸引与物体间距线性变化的情况。对于反比平方情况，牛顿只给出了定性结果，其中大部分在第一版前言中牛顿称之为“不完善”的第 66 命题的 22 个推论中。所有这些推论都确定了一个物体绕第二个物体运动并受第三个物体吸引的定性趋势，其中大部分结果特别针对太阳对我们的月球运动的干扰效应。因此，正是从第 11 节开始，自然哲学的数学原理离开了“De Motu”论文的领域，开始考虑真实运动的复杂性。

第 12 和第 13 节讨论了由各个微观粒子之间的向心力所引起的物体之间的引力。第 12 节讨论了球形物体，而第 13 节则讨论了非球形物体。正如牛顿所预料的那样，这是第 1 册中最容易引起读者强烈抱怨的部分，因为这些读者坚持认为所有的力都涉及物体之间的接触。除此之外，在第 1 册中没有比这更具挑战性的数学了。这两节主要关注平方反比力和与距离成线性变化的力，但与第 1 册中的早期情况一样，一些结果涉及以其他方式变化的力，其中包括指向可能区分平方反比力和其他替代力的实验的结果。在命题 78 的注释中，牛顿特别强调了他认为最值得注意的这一研究结果：

我现在已经阐述了两种主要的引力情况，即向心力按距离的平方比例减小或按距离的简单比例增加，导致物体在圆锥曲线上旋转，并且由球形物体的向心力按照相同的规律随距离从中心减小或增加 — 这是值得注意的。[P, 599][34]

这是《自然哲学的数学原理》中牛顿以这种方式单独指出结果的为数不多的地方之一。在引力与距离线性变化的吸引力情况下，将一个吸引球体视为质量集中在其中心并不那么引人注目，因为正如牛顿在第 13 节中所示，在这种情况下，吸引力的情况下，无论形状如何，吸引体总是可以视为质量位于其重心。真正引人注目的发现是，在反比例平方力的情况下，对于球体也是如此。第 12 节和第 13 节的后续结果表明，在所有其他种类的向心力的情况下，对球体的吸引力与对其质量集中在中心的吸引力不同；即使在反比例平方的情况下，该结果也不适用于其他形状或密度不具有球对称性的球体。

虽然牛顿并没有明确单独指出《自然哲学的数学原理》第 1 册的其他结果，但其中有几个值得在这里评论。打开牛顿在非圆轨迹下运动的向心力理论之门的关键是他发现了如何将他和惠更斯为均匀圆周运动中的中心力所得到的解推广到非圆轨迹的方法。图 2 显示了牛顿在第一版中用于这种推广的图表。首先假设轨迹 APQ 是沿着半径 SP 的圆的一部分，P 点上的物体以匀速运动。牛顿和惠更斯都推断，从切线到位移 QR 与保持物体在其圆形轨道上的力以及物体运动所需的时间 t 的平方成正比。

图 2

从 P 点移动到 Q 点，因此力随着 QR/t2 变化。但是时间与速度 v 除以 PQ 成比例，当 Q 趋近于 P 时，PQ 趋近于 PR，所以 t2 等于 PR2/v2。欧几里得第 3 册的命题 36 表明，在这个极限下，PR2 等于 QR 乘以半径 SP 的两倍，因此圆周运动的力与 v2/SP 或 v2/r 成比例。[35]

牛顿的第 6 个命题将这个结果推广到不一定是均匀运动的情况，而是沿着任意轨迹在相等时间内扫过相等面积的向心力。根据欧几里得第 1 册的命题 1，P 点的向心力再次与从切线 QR 的位移成比例，除以这段时间的平方；但是现在时间与弧 PQ 无关，而与扫过的面积成比例，在 Q 趋近于 P 的极限下，这个面积是三角形 SPxQT/2。因此，为了使物体沿着给定的非圆轨迹运动，向心力必须沿着轨迹按照(1/SP2)或者说 1/r2 乘以(QR/QT2)在 Q 趋近于 P 时的极限变化。在第二版中，牛顿添加了一个推论，以另一种方式展示了这个结果作为均匀圆周运动的推广：沿着轨迹的向心力必须随处按照 v2/(ρsinSPR)变化，其中 ρ 是 P 点轨迹的曲率半径。通过这个推论，可以将物体视为由与运动切线相切的力分量驱动，这个分量在均匀圆周运动的情况下消失。

牛顿用一系列例子阐述了命题 6 的价值，其中最重要的两个例子涉及椭圆运动。如果力的中心位于椭圆的焦点 S 处，那么(QR/QT2)的极限在任何地方都等于椭圆的常数矩形纵轴的一半，因此力的变化与 1/SP2 或 1/r2 成正比。但是，如果力的中心位于椭圆的中心 C 处，力的变化结果是与 PC 成正比，即与 r 线性相关。这种对比引发了一个有趣的问题。在焦点非常接近中心的椭圆运动的情况下，如果力的中心不确切地位于焦点上，可以得出什么结论？牛顿显然注意到了这个问题，并在第 2 节的 Scholium 中提供了回答的方法。

第 10 节包含了一个在《自然哲学的数学原理》的文献中很容易被忽视的哲学上重要的结果。牛顿关于地球引力延伸到月球的论证在很大程度上依赖于惠更斯对表面引力强度的精确测量。这种理论介导的测量是基于等时性[36]的摆线摆锤在指向平行线的均匀引力下的振动。但是引力是指向（几乎）球形地球的中心，沿着彼此不平行的线。根据牛顿的理论，引力也不是均匀的。那么，在《自然哲学的数学原理》的背景下，惠更斯的测量是否失去了有效性？牛顿意识到了这个问题，并在第 48 至 52 命题中通过将惠更斯的摆线摆锤理论扩展到包括次摆线摆锤来解决这个问题。次摆线摆锤是指当生成圆沿着球体内部而不是平面表面滚动时产生的摆线路径。命题 52 还表明，这样的摆锤虽然在反比例平方向心力下不等时，但在与距离中心线性变化的向心力下是等时的。只要引力在一个均匀密度的球体下表面以下以线性方式变化，次摆线摆锤就是等时的，因此它原则上可以用来测量引力的强度。这个命题的一个推论进一步指出，当球体的半径无限增大时，其表面趋近于平面，而次摆线的规律也渐近地趋近于惠更斯的摆线摆锤规律。这不仅验证了惠更斯对表面引力的测量，还提供了一个公式，可以用来确定使用惠更斯的理论而不是次摆线摆锤理论所带来的误差。

因此，艾萨克·牛顿在第 10 节中所费的功夫是为了展示惠更斯关于均匀平行重力下钟摆的理论是牛顿关于普遍重力下钟摆理论的一个极限情况。在第 2 节的结尾，他顺便指出这种极限策略也包含了伽利略的抛体运动理论。换句话说，牛顿费心费力地表明伽利略-惠更斯关于均匀重力下局部运动的理论是他关于普遍重力的理论的一个特定极限情况，就像爱因斯坦费心费力地表明牛顿引力是广义相对论引力理论的一个极限情况一样。牛顿这样做的主要原因似乎是为了验证第 3 册中与普遍重力的证据推理密切相关的测量。然而，从哲学的角度来看，令人惊讶的不仅仅是他认识到了这种需求，更重要的是他为了满足这种需求所付出的努力。因此，第 10 节可能最好地说明了牛顿在《自然哲学的数学原理》中选择包含所有内容的明确原因。

第 9 节包括另一个常常被忽视的结果，这对于第 3 册中关于普遍引力的证据推理至关重要。命题 45 将之前提到的关于进动轨道的结果应用于几乎圆形轨道的特殊情况，也就是像当时已知的行星和卫星的轨道。该命题证明了这样的轨道，在纯向心力的作用下，如果且仅如果控制它们的向心力恰好是反比于平方的，那么它们是静止的，也就是不会进动。它通过推导一个公式，将力的定律中的指数 n 与轨道物体离力心最远点到最近点之间的角度 θ（也就是轨道角）联系起来：n = (180/θ)2-3。（举个例子，如果轨道角为 180 度，如开普勒椭圆轨道，那么力的定律中的指数为-2；如果轨道角为 90 度，如力心位于椭圆中心的椭圆轨道，那么指数为+1。）这个结果有三个显著之处。首先，即使非常小的进动累积效应在几个公转之后也是可以检测到的，这个公式将进动速率（每个公转 2θ）转化为力的定律中的指数的敏感度量。其次，它提供了一个条件性的陈述，超越了“如果轨道是静止的，那么向心力是反比于平方的”的范畴，即“如果轨道几乎是静止的，那么向心力几乎是反比于平方的”。使用牛顿偏爱的措辞“quam proxime”（字面意思是“尽可能接近”），这个后者的条件陈述具有“如果…尽可能接近，那么…尽可能接近”的形式。牛顿通过取月球轨道的平均进动速率，每个公转 3 度，得出对月球作用的净离心力的指数为-2 和 4/243 的结论，从而说明了这一点。第三，即使一个轨道发生了进动，一旦指数从-2 的分数偏离被证明是由外部物体的扰动效应引起的，那么仍然可以得出结论，即指向中心物体的力恰好是-2。这正是牛顿在得出结论时所遵循的策略，即一旦对太阳的扰动效应进行修正，月球上的向心力是反比平方的。

这并不是牛顿在第一卷中唯一一个费心推导出一个“如果…尽可能接近，那么…尽可能接近”的精确“如果…，那么…”命题的地方。命题 1 和 2 建立了一个运动仅仅由向心力控制的条件是等时等面积扫过。命题 3 的第二和第三推论得出结论，如果一个运动尽可能接近仅仅由向心力控制的条件是等时等面积尽可能接近扫过。再次，牛顿在证明开普勒的 3/2 次幂规则在同心均匀圆周运动中完全成立的同时，如果在所有轨道上存在一个精确的反比例平方向心力，他还添加了这个概括：“而且普遍地，如果周期时间是半径 R 的任意幂 Rn，…向心力将反比于半径 R 的幂 R2n-1，反之亦然。”[37]这个结果适用于 n 的非整数值，因此它还产生了进一步的结果，即 3/2 次幂规则在均匀圆轨道上尽可能接近成立的条件是向心力尽可能接近反比例平方。这些命题- 牛顿费心地展示了它们在尽可能接近的形式下仍然成立- 正是他在第三卷中援引的命题，以得出结论，保持天体在我们的行星系统中的轨道上的力都是向心力且反比例平方。（相比之下，正如前面所指出的，虽然命题“如果一个开普勒椭圆精确成立，那么反比例平方精确成立”是正确的，但命题“如果一个开普勒椭圆尽可能接近成立，那么反比例平方尽可能接近成立”在椭圆的离心率不大时是不正确的，如 Smith, 2002 中所解释的。）在第一卷中没有注意到这些尽可能接近的形式会使人对牛顿在第三卷中使用的近似推理的微妙之处视而不见。

7. 自然哲学的数学原理第二卷

第二卷的目的是提供对笛卡尔思想的决定性反驳，这一思想也被莱布尼兹所采纳，即行星是由流体涡旋带动绕轨道运行的。牛顿的主要论证从第 1 节一直延伸到第 7 节的末尾，占据了本卷的 80％。第 9 节作为本卷的结尾，提供了进一步的分别论证。在转向第一个论证之前，我们最好先摒弃这第二个论证。

第 9 节的论证重点是流体涡旋与开普勒的面积和 3/2 次幂规则不相容。这个论证有两个缺点，当时牛顿的反对者都认识到了。首先，整个论证都是基于一个假设：“由于流体部分的滑动性不足而产生的阻力，其他条件相同，与流体部分相互分离的速度成正比。”这种类型的流体现在被称为“牛顿式流体”。对于这个假设没有证据支持，牛顿的反对者可以自由选择其他规则来描述绕旋转圆柱体或球体产生的涡旋中的速度梯度，这些规则可能会削弱他的结论。其次，他对绕旋转圆柱体或球体产生的涡旋的分析涉及基本错误的物理学：它将稳态定义为各壳元素之间的力矩平衡，而不是力矩。正如约翰·伯努利在 1730 年所说，牛顿“完全忽略了杠杆的作用，而在这里考虑杠杆的作用是绝对必要的，因为显然，沿着大轮子周长的切线施加的同样力量比施加在半径较小的周长上的力量更有效。”[38]（这不是《自然哲学的数学原理》中唯一一个明显表明牛顿没有深思熟虑角动量力学的地方。）

在当时更有说服力的论点是延伸到书的前七节。这个论点的重点从其结论中清楚地表达出来，在第二版和第三版中比第一版更有力地陈述：

即使是空气、水、水银和类似的流体，通过无限分割它们的部分，可以使其变得无限流动，它们也不会对投射的球体产生任何阻力。因为前面的命题所讨论的阻力是由于物质的惯性引起的；而物质的惯性对于物体来说是必不可少的，并且始终与物质的数量成比例。通过分割流体的部分，的确可以减小由于部分的粘性和摩擦而产生的阻力，但物质的数量并没有因为其部分的分割而减少；并且由于物质的数量保持不变，其惯性力——这里讨论的阻力始终与之成比例——也保持不变。要减小阻力，必须减少物体运动的空间中的物质的数量。因此，天体空间中，行星和彗星的球体在所有方向上持续自由地运动，而且没有任何明显的运动减小，除了可能通过这些空间传递的非常稀少的蒸汽和光线。[P，761]

为了得出这个结论，牛顿必须证明：（1）流体的惯性确实产生与其密度成比例的阻力，这种阻力（2）与流体的黏性（即表面摩擦）和流体的粘度（即内部摩擦）无关。也许部分是为了效仿在第 1 和第 3 卷中似乎取得了成功的向心力方法，牛顿在第 2 卷中采取的方法是尽可能地发展一种关于受阻力作用下运动的通用数学理论，然后转向实验现象，以便根据第 1 卷的话，“找出适用于不同种类流体的力的条件”。第 1 卷中的理论是通用的，因为它研究了随着距离从力中心的变化而变化的向心力。第 2 卷中的理论是通用的，因为它研究了随着速度、速度的平方、这两者的和，甚至是两个或三个独立贡献的和，每个贡献都可以按任意速度的幂变化。由于牛顿的目标是得出关于流体惯性对总阻力的贡献的结论，并且他意识到表面摩擦和粘度也可以对阻力做出贡献，因此他的经验问题变成了将惯性贡献从总阻力中分离出来，即仅与流体密度变化有关的贡献。幸运的是，由于重力力量在天体运动中占据主导地位，这种需要将不同类型的力分解开的问题在第 3 卷中并未出现。

从艾萨克·牛顿的观点来看，基本问题是假设有三个独立的机制对总阻力力量做出贡献，其中只有一个与流体密度 ρ**f 成正比。他需要找到一个实验现象，使他能够确定以下模式中的三个指数(1)和定义三个系数的法则(或者至少是球体特定情况下最后一项系数的变化)：

Fresist = a0vn0 + a1vn1 + b2_ ρ _fvn2

一些初步的摆钟衰减实验显示出希望，使他在第一版中仅依赖于这一现象。其想法是从不同的高度开始摆动钟摆，以涵盖一系列速度，然后使用同时代数方程将二或三项多项式拟合到两个或三个失弧数据点上，通过改变指数使多项式与其他失弧数据点达到良好的一致性。然后，在第 6 节中，钟摆在阻力力作用下的理论解将使他能够从钟摆的衰减速率推断出力量。这些理论解涵盖了阻力力量不仅随速度的 0、1 和 2 次幂变化，而且随速度的任意幂变化。因此，从原理上讲，他认为自己能够从钟摆衰减现象中推断出球体上的阻力力量的法则，这与他从第 3 册的轨道运动现象中推导出普遍引力定律的方式完全相同。然后，他可以根据行星和尤其是彗星上没有任何阻力力量的迹象来推断出天体区域中任何流体的密度必须是准确或非常接近于零。

不幸的是，当牛顿在第一版中进行研究时，摆钟衰减的现象并不像他预期的那样规律。后来他意识到问题在于，为了测量衰减速率，他必须让摆钟摆动多次，而在这个过程中，它在周围的流体中产生了“来回”运动，导致摆球和流体之间的相对速度（即阻力中的速度）无法确定或控制。在第 6 节之后的《总注》中，详细报告了各种实验的衰减速率数据，包括在空气中不同大小的摆球以及在水和汞中运动的摆球。读者还可以详细了解如何根据每种情况的数据得出上述定义阻力力的多项式。任何阅读数据的读者都会发现牛顿所知道的，但没有坦率地说出来的：没有多项式适用于这些数据。实验确实表明，阻力力不涉及大于 2 次方的速度幂，它们提供了很好的证据，即速度的平方效应是主导的，甚至掩盖了涉及其他幂的效应。牛顿还成功地提取了一些高度有资格的证据，证明速度的平方效应与流体的密度和球体的正面积（即直径的平方）有关。

第一版对抗力的处理完全依赖于摆钟衰减实验。这些实验所得到的令人失望的证据导致第一版中关于天体区域中不存在流体的结论比上述后续版本中的结论要弱得多。在第一版出版后不久，牛顿进行了一些在水中进行的垂直下落实验，使他相信在阻力介质中的垂直下落现象将产生更好的数据。因此，在第二版和第三版中，尽管摆钟衰减实验仍然完整报告，但第二卷的核心论证依赖于垂直下落实验（包括从新建成的圣保罗大教堂圆顶上进行的实验），以建立与流体密度、直径的平方和速度的平方成比例的球体阻力效应。这些实验的数据非常好 - 实际上，甚至比牛顿意识到的还要好，因为他忽视的这些小的变异并不是实验误差，而是证明他所寻求的多项式不足以解释阻力力量的证据。

虽然垂直下落实验使牛顿能够更有力地否定涡旋理论，但也带来了一种方法上的复杂性。垂直下落实验无法将介质的惯性对阻力的贡献与总阻力分离开来。但反对涡旋的论证要求他证明，无论天体流体多么完全地摆脱摩擦和粘性，其惯性仍会产生阻力力量，影响彗星的运动，甚至可能影响行星的运动。通过摆钟衰减实验测得的阻力，牛顿可以得出结论，空气和水中的力量主要由与速度的平方成比例的贡献所主导。在空气和水中的垂直下落实验中，测得的力量在一级近似上与密度和速度的平方的乘积成比例，但仅在一级近似上，这使人们可以质疑是否已经分离出纯粹的惯性贡献。牛顿通过提供一个相当特殊的理论推导来解决这个问题，展示了它与垂直下落结果的密切一致性，并提出理论与测量阻力之间的差异可以用来研究其他贡献。如果这种方法能够成功地表征表面摩擦和粘性所产生的贡献，将为牛顿的惯性贡献理论提供有力支持。然而，这种方法使牛顿无法像他在第一版中希望的那样，从现象中直接推导出阻力力量的定律。[40]

实际上，牛顿对阻力力的处理方法存在一个深刻的错误，直到 20 世纪初才被理解。阻力力并不是由流体的粘性和惯性等因素独立贡献产生的。因此，任何一个由速度的幂次构成的多项式都无法充分描述阻力力。这一点首次表现在达朗贝尔对牛顿的惯性贡献的临时理论不满，分析了我们现在称之为完美流体在球体和其他形状物体周围的流动，发现在所有情况下，流体的净力恰好为零。因此，与牛顿相反，没有什么东西纯粹由流体的惯性贡献产生的阻力。无论流体的粘度多低，阻力力总是由粘性和惯性效应的组合产生的。牛顿假设阻力力可以表示为一项求和，其中一项纯粹由流体的惯性贡献产生，这在经验上是错误的，就像他关于同时性和空间是欧几里得的假设一样是错误的。然而，与后者的假设不同，关于阻力的假设导致了死胡同。牛顿在第二卷中对阻力力的处理只是一种曲线拟合。

8. 自然哲学的数学原理第三卷

除了“Regulae Philosophandi”和“Phenomena”这两个简短的开篇部分外，第 3 卷与第 1 卷和第 2 卷不同，没有划分成节。然而，它的主体确实由四个明确分开的部分组成：（1）引力定律的推导（命题 1-8）；（2）这个定律对轨道和旋转物体的影响（从推论 8 到命题 24）；（3）从引力定律中定量推导出选择性月球不等式和春分点岁差（命题 25-39）；（4）解决彗星轨迹问题，附有例子和评论（命题 40-42）。下面将按顺序讨论这些部分。

牛顿的前两条推理规则出现在第一版中（标为假设[41]），第三条规则在第二版中添加，第四条规则在第三版中添加。这些规则旨在统治自然哲学中的证据推理，类似于演绎推理的规则，但它们并不能从真前提中保证得出真结论。特别是，规则 2 授权从相同的效果推断相同的原因，这是一个臭名昭著的无效推理，规则 3 授权归纳概括到所有能进行实验的物体上的那些物体的特性。牛顿的措辞并没有暗示这些规则能产生真理，甚至高概率的真理。例如，规则 3 和规则 4 中的操作性短语应该被正确翻译为“应该被采纳”，规则 4 明确表明了授权推理的临时性质：

在实验哲学中，通过归纳从现象中得出的命题应该被认为是准确或非常接近真实的，尽管存在相反的假设，直到其他现象使这些命题变得更加准确或容易出现例外。

牛顿的规则为何恰当的哲学问题，最好的回答方式不是问它们如何增加真理的可能性，而是问在当前的研究中是否存在某种策略，这些规则既能促进进一步的发现，又能防止走进死胡同，最终需要抛弃所有所谓的发现。

在名为“现象”的部分中列举并讨论了六个天文现象，其中最重要的是水星、金星、火星、木星和土星以及后两者的卫星相对于各自轨道的中心物体，在相等的时间内扫过相等的面积，它们的周期与它们与这些物体的平均距离的 3/2 次方成比例变化。顺便说一句，椭圆不是其中之一。在第三个现象中，牛顿排除了托勒密系统，就像伽利略在他的《论两个主要世界体系的对话》中所做的那样，通过引用水星和金星的相位以及火星、木星和土星的缺失，得出这五个轨道环绕太阳。但是这个现象和其他所有现象都被精心制定，以保持在哥白尼和提科的系统之间保持中立。在第四个现象中，布利奥的计算轨道与开普勒的轨道被平等对待，表明这些现象并不排除布利奥的面积规则的替代可能性。第六个现象明确指出，面积规则仅对月球近似成立，并进一步指出，没有一个现象被提出为完全成立。这指向了对所有现象最合理的解读方式：它们以相当高的近似描述了从 1570 年到牛顿写作时为止，提科和其他人在有限时间内对行星及其卫星的观测。从这种观点来看，这些现象在任何方面都不具有争议或问题。它们完全开放，不仅关于开普勒及其同时代人对轨道所做的任何断言是否完全成立的问题，而且关于这些断言是否在其他时代，过去或未来，甚至是稍微成立的问题。因此，这些现象与笛卡尔坚持运动是不断变化的观点并不矛盾。

自然哲学的数学原理第 3 卷的前 8 个命题中，从现象中推导出普遍引力定律的“演绎”，在过去一个世纪左右的哲学文献中引起了很多争议。[42] 这场争议的核心是皮埃尔·杜埃姆提出的挑战：如何从前提（行星在相等时间内扫过相等面积，它们的轨道是静止的）推导出一个结论，即引力定律，然后暗示这些前提是错误的（行星并不在相等时间内扫过相等面积，轨道也不是静止的，而是进动的）？[43] 答案很简单：牛顿的推理是近似的。他使用了在第 1 卷中已经证明以“如果…尽可能接近，那么…尽可能接近”形式成立的“如果，那么”语句，从而推断出至少在有限时间内尽可能接近的前提的结论。当然，这意味着演绎只能表明结论，尤其是引力定律，在前提成立的有限时间内尽可能接近。然后，推理规则允许将结论准确地、无限制地应用于空间和时间。这样得出的结论确实表明前提只是尽可能接近，而不是完全准确。这个结论绝不与前提相矛盾。

认识到牛顿的推理是近似的，可以回应关于“普遍引力”的“演绎”的另一个抱怨：牛顿引用了这个命题，即如果物体在半径的 3/2 次方变化的同心圆轨道上均匀运动，那么作用在这些物体上的向心力与轨道半径的平方反比，而且他非常清楚，观察已经确立了几个世纪，行星的运动并不是均匀的圆形轨道[44]。牛顿确实首先引用这个命题来得出结论（在命题 1 中），现代的说法是，木星和土星周围存在一个反比于平方的向心加速度场，然后得出结论（在命题 2 中），太阳周围存在一个反比于平方的向心加速度场[45]。当时认为木星的卫星轨道是圆形的，因此牛顿从它们的运动中得出的推论并不那么有问题。然而，尽管金星、木星和土星的轨道被认为是非常接近圆形的，但从托勒密以前就已经知道它们的运动并不是均匀的。牛顿明确承认，他从行星的 3/2 次方规则推导出的反比于平方的推论只是近似的，当他在下一句话中说：“但是，这个命题的第二部分是通过近日点静止的事实来证明的，这是最精确的。”然而，只有对于每个轨道个别地使用，才能利用岁差推断出反比于平方的关系，而不能推断出包括所有轨道的单一、统一的反比于平方的向心加速度场。因此，牛顿根据圆形轨道的 3/2 规则来建立至少初步近似的太阳周围的反比于平方的场，然后利用各个轨道的岁差来进一步提高近似程度。

将牛顿对普遍引力的推导解释为近似推理的一种方式，回答了杜亨的另一个抱怨：由于面积规则仅在高度近似的情况下成立，因此任何其他替代方案（如布利奥的几何构造）也同样近似成立，因此牛顿的“推导”问题是为什么面积规则应该优先于这些替代方案。然而，只要结论仍然以弱形式存在，即引力定律在行星及其卫星上的适用时间段内的现象近似成立，这个问题就是无关紧要的。这些现象确实足以得出这个弱形式的结论。因此，只有当引力定律被认为是精确的时候，这个抱怨才有意义。然而，在这种情况下，牛顿在第 13 和第 14 命题中提供了对此的回应，他得出结论说，如果“太阳静止不动，其余行星不相互作用”，行星将以与时间成比例的面积描述其轨道。因此，从牛顿推导出的现象具有优先于其他替代方案的理由是，当将其视为精确时，从中推导出的理论也能够确定现象将在何种情况下精确成立。这种情况的存在对于从现象中推导出的推理来说是必要的：只有当引力定律被视为精确时，将其作为精确的跳跃才是合理的，因为它能够产生现象从中推导出的情况下精确成立的情况。

这对“普遍引力”的“推导”的分析并没有回答两个进一步提出的抱怨。首先，牛顿得出结论，作用在月球上的向心力是反比平方的，承认月球轨道的岁差意味着力的指数是-2 和 4/243，而不是完全是-2，但他声称这个小部分可以通过太阳引力的干扰作用来解释。但他在第三命题[49]中给出的太阳作用的大小是他在第三卷中稍后指出的正确值的两倍。这个缺陷直到牛顿去世后二十年，亚历克西斯-克洛德·克莱罗解决了这个问题。其次，当牛顿在第五命题的推论中引用运动的第三定律时，他默认地假设，例如，木星和太阳实际上是直接相互作用的。换句话说，他忽略了休谟更倾向的另一种观点，即一些看不见的介质对木星产生向心力，这种介质原则上可以吸收牛顿假设正在传递给太阳的线性动量。休谟很可能已经意识到了这个缺陷，科茨在准备第二版时明确向牛顿指出了这一点。[50]

在普遍引力推导之后的一组命题中，显示出了支持将这个定律视为确切的证据策略。牛顿首先得出结论，行星在精确的椭圆轨道上以相等的时间扫过相等的面积，然后得出结论，如果没有行星之间的引力相互作用，轨道将完全静止。牛顿注意到了这种理想化的最容易观察到的偏差，即木星和土星运动中的神秘变化，这些变化被牛顿归因于它们之间的引力相互作用。根据理论，如果在指定的情况下理想化能够完全成立，那么这些以及其他所有的偏差必须是由于在理想化情况下未考虑到的进一步力量所导致的。确定这些力量，并展示根据理论，它们确实产生了这些偏差，是一种持续研究的方式，以进一步证明引力理论。换句话说，牛顿确定的最初理想化可以作为一系列逐步逼近的起点，应该能够越来越接近复杂的真实运动。这些理想化特别适合这个目的，因为根据理论，如果没有其他力量作用，它们将完全成立，因此每一个偏差都应该具有物理意义，而不仅仅是曲线拟合的偶然特征。追求这样一个逐步逼近的研究计划有望在成功时为引力理论提供进一步的证据，或者牛顿在第 4 条规则中提到的需要修订理论的例外情况。

在普遍引力推导之后发展的一组命题中，当时最受瞩目的结果是第 12 命题中对哥白尼主义的辩护和第 24 命题中对潮汐原因的确定，这两个主题都是开普勒、伽利略和笛卡尔所讨论过的。然而，最重要的两个命题是第 19 和第 20 命题，分别推导出地球的非球形形状和地表重力随纬度变化的结果，假设地球的密度是均匀的。这是《自然哲学的数学原理》中牛顿在第二版和第三版中都进行了大量修改的唯一部分。正如牛顿充分意识到的，以及惠更斯和其他一些人所意识到的，这些是《自然哲学的数学原理》中唯一依赖于普遍引力的结果，即指向地球上每个物质粒子的平方反比引力，而不仅仅是宏观天体的平方反比引力。在他关于引力原因的论述中，惠更斯提出了地球形状和地表重力变化的另一种理论解释，并声称有证据证实了这一解释，从而否定了牛顿的普遍引力。由于关于地球形状和纬度重力变化的证据可以通过赴赤道的探险获得，因此这些是《自然哲学的数学原理》中在 18 世纪 30 年代和 40 年代首先受到集中批评关注的结果。然而，所有这些都存在一个复杂性。牛顿在第二版和第三版中列出的地球形状和重力变化的极其精确的结果都是基于均匀密度的，因此，就像开普勒运动一样，它们代表了一种理想化，与之偏离将指向密度的不均匀性。直到克莱罗的地球形状理论出现后，才有了计算密度非均匀性影响的手段。[ 52]

命题 25 到 35 推导出了三个月球不等式的定量结果——称为“变化”的面积规则的系统偏离、18 年的节点线运动以及轨道的波动倾斜——这些都是由太阳的扰动作用引起的。对于这三个不等式，牛顿从一个圆形轨道开始，因此这些也涉及到与理想化的偏离。他在命题 25 和随后所得到的太阳扰动力的不同分量的值在几个有效数字上都是准确的。这三个推导都要求数学上的严格要求，但都成功地与从观测中得到的不等式值达成了一致，尤其是对于月球节点的后退推导，他的推导与已知值的一致性达到了 98%以上。（牛顿一定对他似乎平行的 9 年岁差线推导未能达到 50%以上的一致性感到困惑。）

在第 35 命题之后的注释中，牛顿解释了之前对月球不规则运动的努力：“我希望通过这些对月球运动的计算来展示，月球运动可以通过重力理论从其原因中计算出来”[P，869]。牛顿从未找到一种从重力理论中推导出月球远地点岁差的方法，因此他也从未成功地用重力推导出月球轨道的完整解释/理论[53]。然而，对三个月球不规则运动的数学处理确实为他的重力理论提供了额外的支持。它还引入了一种攻击真实轨道问题的方法，即通过计算由太阳的引力作用引起的假设轨道中的运动扰动的连续逼近。这不仅是一种全新的方法，用于解决当时尚未解决的描述月球运动的问题，而且是从物理原因到运动的方法；它也是从 18 世纪中叶到 20 世纪末一直主导着天体力学的摄动方法的开端[54]。尽管 25 到 35 命题对当时的读者来说很困难，现在的读者仍然如此，但它们对于进一步研究复杂的轨道运动至关重要，最终为牛顿的重力理论提供了压倒性的支持。

当牛顿发现太阳和月亮对一个扁球状地球的引力会产生地球的摆动时，这是一个真正的突破。至少在定性上，这种摆动可以解释春分点的岁差。在此之前，对于这种现象没有提出任何物理解释。然而，牛顿在试图进行岁差的定量推导时遇到了问题：他知道太阳对地球的引力作用的大小，但不知道月亮的引力作用，因为他无法像对太阳、木星和土星那样获得月亮的质量，因为没有天体绕月亮运行。第 36 和 37 命题试图通过太阳和月亮在合朔和冲朔时潮汐高度的差异来推断月亮对地球的力。在第一版中，牛顿成功地推导出了一个与已知值非常接近的岁差速率，但在第一版和第二版之间的 25 年里，他得出结论，他所使用的月亮力值（太阳力的 6 分之 1）要大得多。因此，在第二版中，岁差的推导进行了广泛修订，使用了一个新的月亮力值（太阳力的 4.4815 倍，仍然比正确值大两倍以上）。在所有版本中，第 39 命题的推导将摆动不直接视为刚体的运动，而是类比于月球交点的运动。按照我们现在的物理标准，牛顿关于岁差的解决方案是错误的。然而，这种现象随后为牛顿的引力理论提供了重要的证据，当达朗贝尔在 1749 年进行了基于刚体运动和从当时新发现的地球章动现象推导出的正确月亮力值的成功推导时。

艾萨克·牛顿在第 24、36 和 37 命题中对潮汐的解释/理论不仅在当时，而且至今仍受到广泛赞誉。然而，他因此获得的赞誉超过了他应得的。他确实确定了太阳和月球引力是推动潮汐的力量，但这就是他所做的一切。他忽略了地球的自转，更糟糕的是，在这三个命题中，他只考虑了太阳和月球引力的径向分量。事实上，与径向分量相比，这些力的径向分量对潮汐的影响非常小，也就是说，与径向分量垂直的分量。所有这一切在 1770 年代变得清楚起来，当时拉普拉斯发展了潮汐运动的数学理论，从而推动了随后的所有工作。

第三卷以对彗星轨迹的革命性分析结束，这一分析在三个版本的书中占据了大约三分之一的篇幅。这个分析的进展缓慢。直到 1686 年 6 月，牛顿写道：“第三卷缺少彗星的理论”[C, II, 437]。与行星轨迹相比，这个问题的困难之处在于需要从一个移动的地球上进行少量不精确的一次性观测。《自然哲学的数学原理》中提出的方法通过迭代地将抛物线拟合到观测数据中，采用了牛顿后来在数学上完整阐述的新型有限差分方法，即“微分法”。这种方法首先假设了引力理论，选择了抛物线，其次假设了已知行星上的反比平方向心力作用于彗星的整个轨迹上。文本指出，轨迹很可能是椭圆，但在这种情况下，返回周期将是确定椭圆的最佳方法。（抛物线近似于具有高离心率的椭圆的高曲率端点。）彗星可能会返回的提议是新颖的，但更具革命性的是它声称彗星在太阳周围形成一个钮钉形状，这意味着过去有时被认为是两颗不同彗星的东西实际上是一颗彗星在近日点之前和之后的状态。

在第一版中，该方法仅应用于 1680-81 年的彗星。结果以一张长一英尺的图表呈现在该版本的唯一折页上。在此之前，从未出现过像图 3 所示的这样的图表。尽管在第三版中不再需要折页，但该图表继续出现在接下来的两个版本中，以缩小的形式呈现。在第二版中，该方法得到了改进，并且还应用于 1664-65 年、1683 年和 1682 年的彗星，反映了哈雷进行的研究并在他的《天文彗星概要》（1705 年）中发表的成果。现在被称为哈雷彗星的 1682 年的彗星被单独挑选出来，因为它的轨迹与 1607 年的彗星足够相似，可以提出它每 75 年回归一次的假设。

图 3

在第三版中增加了 1723 年的逆行彗星，布拉德利提供了相对准确的观测数据，相应地，该方法显示出了最令人印象深刻的成功，计算和观测位置的差异在经度或纬度上均不超过 1 弧度。这表明，进入计算的观测越精确，方法越准确。

因为牛顿的彗星轨迹理论仅依赖于引力理论中最不具争议的部分——太阳周围的反比平方向心加速度，所以它并没有引起太多的哲学抵抗。这种方法的成功证明了这些向心力对彗星的作用是相等的，与胡克在他的《彗星》一书中的提议相反，他认为彗星必须由与行星根本不同的物质组成，因为它们不以相同的方式对太阳的引力作出反应。这种方法的成功还提供了强有力的证据，证明了反比平方力在太阳周围的空间中起作用，因为彗星不仅穿越行星轨道之间的空间，而且它们的轨迹与已知行星的轨迹相比，往往高度倾斜于黄道面。然而，最重要的是，这种方法的成功提供了最有力的证据，反对笛卡尔涡旋理论以及所有声称行星是由流体涡旋带动绕太阳运动的理论。在所有三个版本中，第 39 命题的推论 3 总结了这个论点：

因此，天空中明显缺乏阻力。彗星沿着斜线和有时与行星运动方向相反的路径自由地在各个方向上移动，并且即使这些路径与行星的运动方向相反，它们的运动也能够长时间保持。[P, 895]。

这就是当惠更斯阅读第一版时被说服的论点，随着这种方法在进一步的彗星研究中的成功，这个论点变得更加令人信服。[55]。

通过彗星理论提供的额外证据突显了第三卷有时被忽视的一个方面。其中对万有引力理论的证据的发展并不仅仅在开始时以“推导”出普遍引力定律而结束，而是贯穿整本书。在 18 世纪，人们主要关注牛顿的地球形状和表面重力变化理论、潮汐理论、选择性月球不等式的定量推导、岁差的推导以及彗星理论提供的证据。这表明，无论是当时还是现在，普遍引力的“推导”不应该孤立地阅读，而是应该将整本书视为为该理论提供持续证据的论证。在整本书的背景下以这种方式阅读，“推导”最适当地被视为旨在建立普遍引力，但仅仅是暂时的，作为进一步研究的理论基础，这些研究将继续为该理论提供证据。

9. 《自然哲学的数学原理》的科学成就

从哈雷对《自然哲学的数学原理》第一版的匿名评论开始，人们倾向于夸大《自然哲学的数学原理》所取得的成就，掩盖了许多留给其他人去认识和解决的问题。这导致在 18 世纪的力学和轨道天文学方面取得的巨大进步的背景被扭曲，减少了后来的牛顿所面临的困难以及他们在解决这些困难中所取得的成就。《自然哲学的数学原理》在这方面是特殊的，因为列举其成就而不提及其问题会夸大其所取得的成就，但列举其问题则会低估其非凡的成就。为了取得平衡，我们在这里列举了当时的十一个主要科学问题，第三卷提供了这些问题的答案，以及在提供这些答案的证据论证中最重要的问题。

物理上是什么使行星绕太阳运行，使卫星绕行星运行？牛顿的答案是——反比于平方的引力，与日常地球引力类似——它在很大程度上未能解释月球轨道的一半以上的岁差，它默认了太阳与木星和其他行星之间的相互作用，并引发了关于行星轨道的近日点是否有岁差的未解答问题。
重力在地球表面以下和以上的变化是如何的？在没有确认数据的情况下，牛顿的答案是，首先近似地与地心距离成线性关系，在地表以下，与距离的平方成反比关系，在地表以上。这个答案预设了第一部分的均匀密度和第二部分的球状地球和球对称密度，因此留下了地球表面附近的重力恒定的可能性，就像休谟在对《自然哲学的数学原理》的回应中继续声称的那样[HD，153]，引用了支持的证据。
行星的相对密度如何，相对于彼此和太阳？牛顿在命题 8 的推论中给出了关于木星、土星和地球的理论相关答案，但即使在第三版中，关于地球的答案仍然依赖于一个仍然有争议的水平太阳视差值（用于确定月球与地球的距离），并且没有出现支持这些答案的证据，例如木星和土星对彼此的作用。
是否有一种原则性的方法来解决哥白尼和提科的系统之间的争议，从而解决我们的行星系统中所有运动应该参考的正确中心的问题？牛顿的答案是，系统的重心是一个相对较小距离内太阳绕行的地方，这依赖于假设第三运动定律适用，声称太阳在运动中，并且在没有水星、金星和火星的相对质量值的情况下，重心的精确位置仍然是未知的。
行星的真实运动是什么，如果有的话，计算行星位置的方案中哪个更可取，是开普勒的还是其他方案之一？牛顿的回答并不简单：“如果太阳静止不动，其余行星不相互作用，它们的轨道将是椭圆形，以太阳为共同焦点，并且它们将按时间比例描述面积。”而且近日点和升交点将是静止的。因此，以霍洛克斯的方式修正的开普勒系统，以推断出平均距离，因此是对真实运动的首选近似。这个回答中的主要问题是实际运动是否偏离了开普勒的理想，如果是的话，是否所有的偏差都可以归因于特定的力，包括引力或其他力。在第三卷中部分解决了另一个问题，即月球的非开普勒运动是否可以证明不是对行星情况下牛顿论证的反例。
木星和土星的运动是否是异常的，如果是的话，其中的不平等是什么，是什么原因导致的？牛顿回答是肯定的，因为它们之间存在引力相互作用，而主要的不平等周期对应于它们连续相合之间的 19 年。（这个回答的第二部分没有出现在第一版中。）到了 18 世纪 20 年代初，人们已经清楚，这两颗行星运动的异常中主要周期并不是相合之间的时间，而是更长时间的某种情况，这引发了一个问题，即这些变化实际上是什么，它们是否真的可以从木星和土星的引力力量中推导出来。
地球表面的重力如何随纬度变化，地球的形状与球体有何不同？牛顿的答案在第一版、第二版和第三版中有所变化，但在所有情况下，所引用数据的不确定性引发了实际变化是什么的问题。此外，由于他理想化的理论计算假设密度均匀，他的答案引发了以下问题：地球的密度是否均匀，地球的真实形状和表面重力的变化是否能与密度的非均匀性相一致。
月球的运动究竟是什么，为什么它存在不同于木星和土星卫星运动中观察到的不平等现象？牛顿对第二部分的回答是太阳引力的干扰效应，对第一部分的回答则以一张期票的形式给出：计算出所有来自太阳引力的扰动，你就会得到答案。主要的未解之谜是，轨道升交点线的复杂运动和被称为月行纬差的不平等现象，这两个特征是牛顿在第三卷附注中使用的 Horrocksian 电影模型所采用的一种老式的外轮圈模型，是否可以由太阳引力的作用推导出来。
什么引起了潮汐，为什么它们在时间上和地点上的变化方式如此？因为牛顿的答案——太阳和月亮的引力作用——仅仅是定性的，这给人留下了质疑的空间，即月亮是否吸引地球，如果是的话，它的作用力有多强。还有一个未解之谜是，海洋的惯性和粘性以及地球的自转如何影响潮汐，这需要对海洋对太阳和月亮引力的响应进行动态分析的问题。
物理上是什么导致了岁差？牛顿从月球和太阳的引力作用中推导出的岁差引发了三个未解决的问题：月球的质量和地球的扁率的正确值是多少？地球的运动是否真的类似于月球的交点？月球的变化倾斜如何影响计算出的运动？
彗星描述的轨迹是什么？牛顿的答案是——椭圆曲线，至少在可观测的区域内可以近似为抛物线——这引发了一个问题，即抛物线轨迹是否适用于所有彗星，而不仅仅是第一版中的 1680-81 年的彗星，在第二版中分析的其他三个彗星以及第三版中的另一个彗星。《自然哲学的数学原理》还对木星和土星的引力如何影响彗星运动，牛顿的结果中理论和观测之间的残余差异是否有任何意义，以及哪些彗星（如果有的话）会以某种规律的方式返回留下了一些问题。

仔细阅读《自然哲学的数学原理》可以清楚地看出，尽管对于任何松散的问题都没有透露任何信息，牛顿对它们都非常清楚，以一种或另一种方式为高度敏锐的读者指出每一个问题。以《自然哲学的数学原理》为基础，展示 18 世纪研究的历史的一种有益的方式是追踪每个松散的问题如何成为一个突出的关注点，然后得到解决，至少在某种程度上消除了对牛顿的引力理论构成威胁的问题。这个解决松散问题的过程直到牛顿去世后的 1730 年代才开始。在他有生之年，对《自然哲学的数学原理》最紧迫的抱怨是缺乏解释其作用的机制，除了远程作用之外，牛顿本人将其视为“如此荒谬，以至于我相信在哲学问题上具备合适思考能力的人永远不会陷入其中。”[56]然而，缺乏机制并不是牛顿本人认为《自然哲学的数学原理》中的一个松散问题，因为他坚持通过普遍引力定律就可以建立所有上述结论，并解决其中的任何松散问题，而与负责引力的机制无关。在他去世后的几十年里，那些以他的引力理论为基础进行研究的人越来越倾向于这种对机制问题的看法。

10. 《自然哲学的数学原理》的方法论

在三个版本中保持完全相同的两个段落中，牛顿宣布《自然哲学的数学原理》旨在阐明一种新的经验研究方法。然而，第一版前言中关于从运动现象中推导出力量，然后从这些力量中推导出运动的评论，以及第一卷第 11 节末尾关于将离心力的一般数学理论与现象进行比较，以找出实际上适用的力量条件的评论，都没有很好地阐明这种新方法到底是什么。除了这两个段落之外，关于方法论的唯一值得注意的评论是著名的段落，早先引用过的，出现在第二版的总结性附录中：

我至今还没有能够从现象中推导出引力这些属性的原因，我也不虚构假设。因为任何不是从现象中推导出来的东西都必须被称为假设；而假设，无论是形而上学的还是物理的，或者是基于隐秘品质的，或者是机械的，都在实验哲学中没有立足之地。在这种实验哲学中，命题是从现象中推导出来的，并通过归纳法进行普遍化。通过这种方法，我们发现了物体的不可穿透性、可动性和冲力，以及运动定律和引力定律。引力确实存在，并且根据我们所提出的定律行动，并足以解释天体和海洋的所有运动。[P，943]

从 18 世纪到现在，《自然哲学的数学原理》的方法论讨论在哲学文献中，以这个明显具有争议性的段落为起点，不幸地产生了更多的争论而不是启示。这不是解决围绕这一段落的所有争议的地方。然而，关于《自然哲学的数学原理》的方法论的一些谨慎评论可能仍然是有帮助的。

艾萨克·牛顿的引力理论取得了前所未有的成功，这并不令人意外地引起了人们对《自然哲学的数学原理》方法论的兴趣。显而易见的想法是通过遵循相同的方法，在其他领域取得类似的成功。但是，即使不考虑这种方法是什么，我们还必须考虑它如何对成功起到了贡献。回顾来看，《自然哲学的数学原理》第二卷明确表明，这个问题并没有简单的答案。如果牛顿在第二卷中遵循了相同的方法，那么他在阻力力量方面的努力失败——更糟糕的是，他没有意识到这个失败——这表明这种方法并不能保证成功。经验世界必须与之合作才能取得成功。

一般方法的两个方面非常明确。首先，牛顿认为它与当时所称的假设方法相对立——即提出超出可用数据范围的假设，并通过推导可测试的结论来为其提供证据。其次，牛顿认为该方法要求在经验考虑尚未得出答案时将问题视为开放的。无论经验考虑为建立理论结论所需的是什么，以及任何已建立的结论的状态（无论是临时的还是其他状态），牛顿认为该方法允许——甚至要求——在其他密切相关的问题仍未解决时，可以建立对某些问题的理论答案。特别是，根据牛顿在第 11 节结束的注释中的措辞，即使物理原因的问题仍未解决，力的物理种类和物理比例在适当的意义上也可以确定。因此，该方法的明确目标是将理论主张限制为由实验和观察所决定的“归纳概括”，如推理规则所规定的那样。

艾萨克·牛顿当时摒弃假设的方法并没有引起争议。在他的《关于天体运动原因的论文》手稿修订中，莱布尼兹甚至采用了牛顿的措辞：“下面的内容不是基于假设，而是根据运动定律从现象中推导出来的”[Aiton, 1972, 132]。那些只读过《自然哲学的数学原理》的部分内容并依赖他人了解的人中，很可能将牛顿视为假设了反比平方引力，因此实际上是遵循了假设的方法。牛顿去世后的几年里，最受关注的问题不是牛顿是如何得出普遍引力的，而是他从中推导出的关于地球形状、木星和土星运动的变化以及月球运动的论断。参与这项研究的人肯定将这些问题视为对牛顿引力理论的考验，但对他们来说，将理论作为假设或作为暂时建立的结论之间的区别并没有太大差异。然而，值得注意的是，克莱罗从月球远地点运动的 2 倍差异中首次得出的结论并不是牛顿的引力理论是错误的，而是需要用 1/r^4 项来补充反比平方项——这完全符合牛顿的第四条推理规则。

艾萨克·牛顿的方法在当时引起争议的方面是他坚持认为他已经得出了关于天体力量的物理种类和物理比例的结论，同时对其物理原因的问题搁置不谈。这是笛卡尔主义者对《自然哲学的数学原理》是一部数学著作而不是物理学著作的核心抱怨。然而，对于牛顿最重要的两位批评者，休谟和莱布尼兹，他们的反对并不是对物理原因问题的持开放态度，而是对接受某些结论的反对，这些结论在他们看来排除了对物理原因问题的正确答案的可能性。牛顿方法的缺陷在于它没有对理论施加约束，即所有的作用都必须通过接触而不是距离来进行。违反这一约束是休谟的评论背后的原因，

关于牛顿先生提出的引力原理所给出的潮汐原因，我绝对不满意，也对他基于这个看似荒谬的引力原理所建立的其他理论不满意，正如我在《重力论》的附录中已经提到的那样。我常常想知道他为什么要费那么大的劲去进行这么多没有其他基础的调查和复杂的计算。[OH, IX, 538]

这就是牛顿在《自然哲学的数学原理》中的方法真正引起争议的方面，下一代人必须在研究其松散的部分之前做出一些调整，才能使研究变得可尊重。[59]

开发数学理论以使实验和观察能够通过理论提供答案的想法并非起源于《自然哲学的数学原理》。在他的《摆钟论》中，与《自然哲学的数学原理》最相似的作品，惠更斯已经发展出了一种关于摆动运动的数学理论，使得可以测量摆钟的长度和周期，从而对于在没有空气阻力的情况下物体在第一秒内下落多远提供了一个稳健而精确的答案。这个问题的答案同时也是表面重力强度的度量；他还发展了一种关于匀速圆周运动的数学理论，使得可以测量圆锥摆的高度和周期，从而提供了对这个问题的第二个答案。当牛顿开始着手写《自然哲学的数学原理》时，摆钟已经被用了十多年来回答有关巴黎和其他地点之间表面重力变化的问题。牛顿认为自己在使用数学理论以达到《自然哲学的数学原理》中类似的目标时面临的特殊问题源于他在“哥白尼学派注释”中所表达的认识，即轨道运动的现象异常复杂，因此存在多种竞争性的描述。因此，问题变成了如何利用数学理论从这些现象中得出关于力的物理种类和比例的明确而稳健的答案。这些答案为追求真实运动的连续逼近序列打开了道路，在这个过程中，持续的证据可以用来验证理论，潜在地限定其准确性和普适性，正如牛顿在他的第四条推理规则中所指出的那样。由于当时人们并不知道“哥白尼学派注释”，牛顿为解决这个问题所采用的新方法的微妙之处很大程度上未被注意到。

毋庸置疑，这些评论并没有回答哲学上最有趣的问题，即《自然哲学的数学原理》的方法如何促成其引力理论的前所未有的成功。然而，希望这些评论能够消除一些混淆的源头，这些混淆扭曲了对《自然哲学的数学原理》的哲学讨论。

Bibliography

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