定义 definitions (Anil Gupta and Stephen Mackereth)

首次发布于 2008 年 4 月 10 日星期四；实质修订于 2023 年 9 月 13 日星期三

自古以来，定义一直是哲学家们感兴趣的话题。柏拉图早期的对话描绘了苏格拉底对定义的质疑（例如，在《尤西弗洛》中，“什么是虔诚？”）——这些问题似乎既深刻又难以捉摸。安瑟姆关于上帝存在的“本体论证明”的关键步骤是对“上帝”的定义，笛卡尔在他的第五冥想中的论证也是如此。最近，弗雷格-罗素关于数的定义和塔斯基关于真理的定义对当代哲学辩论产生了重要影响。在所有这些案例中，不仅对特定的定义进行了辩论，对定义的性质和要求也进行了辩论。其中一些辩论可以通过进行必要的区分来解决，因为定义并不都是同一种类型：定义具有各种功能，其一般特征因功能而异。然而，其他一些辩论并不容易解决，因为它们涉及有争议的哲学概念，如本质、概念和意义。

1. 一些定义的变种

普通的言论将几种不同的事物视为定义的可能对象，并将几种活动视为定义事物的方式。举几个例子，我们将委员会视为定义两个国家之间边界的方式；将最高法院通过其裁决来定义“人”和“公民”；将化学家视为发现黄金的定义，将词典编纂者视为发现“酷”的定义；将辩论参与者视为定义争议焦点的方式；将数学家视为制定“群”的定义的方式。这里有不同种类的事物是定义的对象：边界、法律地位、物质、词语、论题和抽象种类。此外，不同的定义并不都有相同的目标：边界委员会可能旨在实现精确性；最高法院追求公正；化学家和词典编纂者追求准确性；辩论者追求清晰度；数学家追求多产性。因此，定义的评判标准可能因案例而异。不同的定义或许可以归入亚里士多德的公式，即定义给出了事物的本质。但这只是强调“给出事物的本质”并不是一种统一的活动方式。

在哲学中，也经常使用几种不同类型的定义，并且定义可以发挥各种不同的功能（例如，提高精确性和清晰度）。但是，在哲学中，定义还被引入到解决认识论问题的高度独特的角色中。例如，数学真理的认识论地位引发了一个问题。伊曼纽尔·康德认为这些真理是综合先验的，并为了解释它们的地位，他提出了空间和时间的理论，即空间和时间分别是外部和内部感觉的形式。戈特洛布·弗雷格和伯特兰·罗素试图通过论证算术真理是分析的来削弱康德的理论。更准确地说，他们试图从算术概念的定义中构建算术原理的推导，仅使用逻辑定律。对于弗雷格-罗素项目能够成功，所使用的定义必须具有特殊的性质。它们必须是概念性的或者是对意义的解释；它们不能是综合的。正是这种定义引起了过去一个多世纪以来最大的兴趣和争议。而这种定义将是我们的主要关注点。让我们首先标记一些初步但重要的区别。

1.1 实际和名义定义

约翰·洛克在他的《论人类理解》中区分了“真实本质”和“名义本质”。洛克认为，名义本质是“与名称相关联的抽象概念（III.vi.2）”。因此，洛克说，名称“金子”的名义本质是“那个复杂的概念，金这个词代表的，比如说，一个黄色的物体，有一定的重量，可塑性，可熔性和固定性。”相比之下，金的真实本质是“那个物体的无感知部分的构成，这些特性 [在名义本质中提到的] 和金的所有其他属性都依赖于此（III.vi.2）。”粗略地区分真实定义和名义定义的方法是，按照洛克的说法，前者陈述了真实本质，而后者陈述了名义本质。化学家的目标是真实定义，而词典编纂者的目标是名义定义。

这种区分的描述是粗略的，因为动物学家对“老虎”的定义应该被视为真实定义，即使它可能无法提供老虎的“无感知部分的构成”。此外，对一个词的意义的描述应该被视为名义定义，即使它可能不符合洛克的形式，即阐明“名称相关联的抽象概念”。也许有助于这样表明真实定义和名义定义之间的区别：要发现术语 X 的真实定义，需要调查由 X 指示的事物；要发现名义定义，需要调查 X 的意义和用法。对于苏格拉底的问题“什么是美德？”的答案的寻求是对真实定义的寻求还是对名义定义的寻求，取决于对这种特定哲学活动的理解。当我们追求苏格拉底的问题时，我们是在试图更清楚地了解我们对“美德”一词的使用，还是在试图对在某种程度上独立于这些使用的理想提供解释？在前一种观念下，我们的目标是名义定义；在后一种观念下，我们的目标是真实定义。

有关被归入“真实定义”范畴的不同活动的批判性讨论，请参见罗宾逊（1950），有关古代观点，请参见查尔斯（2010）。Fine（1994）捍卫了真实定义定义对象的概念，即真实定义详细说明了所定义对象的本质。罗森（2015）提供了一个关于真实定义的解释，即定义提供了对象本质的基础。然而，“本质”和“基础”的含义仍然在积极讨论之中。

1.2 字典定义

名词定义——解释一个术语的含义——并不都是同一种类型的。字典解释一个术语的含义，这个短语的意思是如此。字典的目标是提供包含足够信息以传达对术语的理解的定义。关于我们语言使用者的一个事实是，一旦我们获得了关于术语的一定数量的信息，我们就会以某种方式理解和使用包含该术语的潜在无限句子。确切地说，这是一个很大的谜。但它确实发生了，字典利用了这个事实。请注意，字典条目并不是唯一的。不同的字典可以提供不同的信息片段，但在解释术语的含义方面同样有效。

哲学家们寻求的定义并不是在字典中找到的那种类型。弗雷格（Frege）对数字的定义（1884 年）和阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）对真理的定义（1983 年，第 8 章）并不是作为字典条目的候选人提供的。当认识论者寻求“知识”的定义时，她并不是在寻求单词“知道”一个好的字典条目。哲学对定义的追求有时可以有益地被描述为对意义解释的搜索。但这里的“意义解释”的意义与字典解释一个词的意义的意义非常不同。

1.3 约定定义

约定定义赋予被定义术语一种含义，并不承诺所赋予的含义与该术语之前的使用（如果有的话）一致。约定定义在认识论上具有特殊性质。它们产生的判断具有在其他地方令人困惑的认识论特征。如果我们将“raimex”约定地定义为一个理性的、富有想象力的、有经验的存在，那么判断“raimexes 是理性的”就是必然的、确定的和先验的。哲学家们发现通过约定定义来解释令人困惑的先验判断等问题是很有吸引力的。

索尔·克里普克（1980）引起了对一种特殊类型的约定定义的关注。我们可以通过描述（例如“谋杀了 X、Y 和 Z 的人”）来通过约定引入一个新的名称（例如“杰克·里普尔”）。克里普克指出，在这样的约定中，描述仅用于确定新名称的指称；该名称与描述并不是同义词。因此，判断

(1)

杰克·雷普尔是杀害了 X、Y 和 Z 的人，如果只有一个人犯下了这些谋杀案

是有条件的，即使判断

杰克·雷普尔就是杰克·雷普尔，如果只有一个人犯下了这些谋杀案

是必要的。克里普基(Kripke)认为，像“杰克·里普尔(Jack the Ripper)”这样的名字是刚性的：它在可能的世界中指代同一个个体；而描述则是非刚性的。克里普基使用这种指代固定规定来证明存在着有限的先验真理，其中(1)就是一个例子。指代固定的规定定义不仅可以用于名称，还可以用于其他类别的术语，例如普通名词。

参见弗雷格(Frege)1914 年的辩护，他认为至少在数学中，只应该接受规定性定义。[1]

1.4 描述性定义

描述性定义和规定性定义一样，阐明了含义，但它们也旨在适应现有的用法。当哲学家们对“知道”和“自由”等词进行定义时，他们并不是在规定性地定义：与现有用法不符是对它们的反对意见。

区分定义的三个描述性充分性等级是有用的：外延充分性、内涵充分性和意义充分性。如果没有实际的反例，定义就是外延充分的；如果没有可能的反例，定义就是内涵充分的；如果定义赋予了被定义术语正确的意义，那么它就是意义充分的（或分析的）。（充分性的最后一个等级本身又分为不同的概念，因为“意义”可以用几种不同的方式来解释。）例如，“水是 H2O”这个定义在内涵上是充分的，因为水和 H2O 的身份是必然的（假设基普克-普特南姆关于自然种类术语的刚性观点）；因此，这个定义在外延上也是充分的。但它在意义上不充分，因为“水”的意义与“H2O”的意义完全不同。定义“乔治·华盛顿是美国第一任总统”只在外延上是充分的，而在其他两个等级上不是；而“人是一种会笑的动物”在所有三个等级上都不充分。当定义被用于认识论的目的时，内涵充分性通常是不够的。因为这样的定义不能支持一个有问题的主题的合理性或先验性。

关于分析定义的怀疑，请参见奎恩（Quine）1951 年和 1960 年的著作；另请参阅关于分析/综合区别的条目。霍蒂（Horty）2007 年提供了一些关于被定义表达式意义的思考方式，特别是在弗雷格（Frege）的语义理论中。

1.5 解释性定义

有时候，一个定义既不是描述性的，也不是规定性的，而是作为所谓的解释性定义（Rudolf Carnap，1956 年，§2）提供。解释性定义旨在尊重一个术语的某些核心用法，但对其他用法进行规定。这个解释性定义可以被视为对现有不完善概念的绝对改进，也可以被视为在特定上下文和特定目的下，术语的“好意思”。（这个引用的短语是 Alan Ross Anderson 提出的，请参见 Belnap 1993 年，117 页。）

集合论中有序对的定义提供了解释性定义的一个简单例子。在这里，有序对 ⟨x,y⟩ 被定义为集合 {{x},{x,y}}。作为解释性定义，这个定义并不试图捕捉数学（和日常生活中）“有序对”这个术语的所有方面，而是旨在捕捉其基本用法。关于我们使用“有序对”的基本事实是，它受到一个原则的支配，即当且仅当它们的各个组成部分相等时，两个有序对才是相等的：

⟨x,y⟩=⟨u,v⟩ 当且仅当 x=u 且 y=v。

并且可以验证上述定义符合原则。该定义确实有一些与普通概念不符的后果。例如，该定义暗示了一个对象 x 是对 ⟨x,y⟩ 的成员的成员，而这种暗示不是普通概念的一部分。但是这种不匹配并不是对阐释的反对。对于阐释来说，重要的不是前提的意义，而是功能。只要后者得到保留，前者就可以放弃。正是阐释的这个特点使得 W. V. O. Quine（1960，§53）赞扬其优点，并将“有序对”的定义作为哲学范例。

真值条件提供了阐释的另一个例子。这个条件在某些重要方面与普通条件不同。然而，在某些特定目的和特定背景下，可以将真值条件作为普通条件的阐释提出。该提议是否足够取决于具体的目的和背景。这两个条件在重要甚至是本质方面的差异并不自动使提议失去资格。

1.6 显性定义

显性定义通常依赖于上下文和经验。假设对话上下文中有多只可见的狗，其中一只突出显眼。那么可以通过规定“让这只狗被称为‘Freddie’”来引入名字‘Freddie’。举个例子，假设你正在看一棵灌木的一条枝干，并且通过规定“让那条枝干上的昆虫被称为‘Charlie’”来引入名字‘Charlie’。即使枝干上有很多昆虫，这个定义也可以将‘Charlie’指向一个特定的昆虫。如果你的视觉经验只呈现给你其中一只昆虫（比如其他昆虫太小看不见），那么这只昆虫就是你使用描述‘那条枝干上的昆虫’时的指称。我们可以将经验视为向主体呈现世界的一部分。这部分可以作为显性定义中表达式的评估点。[2] 因此，通过经验的帮助，定义可以将一个指称固定在被定义术语上，而如果没有这种帮助，定义将无法做到这一点。在当前的例子中，当将描述‘那条枝干上的昆虫’在整个世界上进行评估时，它无法指称，但当将其在你的视觉经验中呈现的那部分进行评估时，它就可以指称。有关经验对显性定义术语含义的贡献的解释，请参见 Gupta 2019。

显性定义可以使语言得到必要的丰富。‘Charlie’的显性定义丰富了语言，引入了一个特定昆虫的名称，而在丰富之前，语言可能缺乏指称那个特定昆虫的资源。与其他熟悉的定义不同，显性定义可以引入不可消除的术语。（因此，显性定义可能无法满足下面解释的可消除性标准；它们也可能无法满足下面解释的保守性标准。）

指示性定义引入基本新词汇的能力使一些思想家将其视为所有原始概念的源头。因此，罗素在《人类知识》中认为，所有名词定义，如果追溯到足够远的话，最终必须导致只有指示性定义的术语，并且在经验科学的情况下，经验术语必须依赖于在感知中给出指示性定义的术语。（第 242 页）

在《意义和指示性定义》一文中，C.H.怀特利将指示性定义视为“人们学习他们语言中大多数，如果不是全部，基本表达式的含义的手段。”（332 页）然而，需要注意的是，指示性定义的逻辑和语义并不支持概念或语言学习的基础主义图景。这种基础主义图景在路德维希·维特根斯坦的《哲学研究》中受到了决定性的批评。然而，维特根斯坦对指示性定义的积极观点仍然难以捉摸；有关解释，请参见哈克尔 1975 年的著作。

In “Meaning and Ostensive Definition”, C. H. Whiteley takes it as a premiss that ostensive definitions are “the means whereby men learn the meanings of most, if not all, of those elementary expressions in their language in terms of which other expressions are defined.” (332) It should be noted, however, that nothing in the logic and semantics of ostensive definitions warrants a foundationalist picture of concepts or of language-learning. Such foundationalist pictures were decisively criticized by Ludwig Wittgenstein in his Philosophical Investigations. Wittgenstein’s positive views on ostensive definition remain elusive, however; for an interpretation, see Hacker 1975.

显示定义很重要，但我们对它们的理解仍处于初级阶段。它们应该得到逻辑学家和哲学家更多的关注。

1.7 一条备注

我们对定义进行分类的种类既不是互斥的，也不是穷尽的。一个术语的规定性定义可能在外延上对该术语的先前使用是充分的。词典可以对一些词语进行示意性定义（例如，颜色词）。示意定义也可以是解释性的。例如，可以对一个已有概念“一英尺”进行改进，如：“让一英尺成为那根杆的当前长度。”在其先前的使用中，“一英尺”这个概念可能相当模糊；而示意性引入的解释可能相对精确。此外，正如我们将在下面看到的，还有其他类型的定义。

2. 定义的逻辑

许多定义 - 规定性的、描述性的和解释性的 - 可以分析为三个元素：被定义的术语 (X)、包含被定义术语的表达式 (...X...)，以及与该表达式通过定义等同的另一个表达式 (−−−−−−−)。这样的定义可以表示为：

(2)X:...X...=df−−−−−−−。

（我们将暂时搁置显性定义，因为显性定义需要更丰富的表达方式。）当上下文中清楚了解定义的术语时，可以简化表示为

…X…=df−−−−−−−。

“=df”左侧的表达式（即…X…）是定义的被定义项（definiendum），而右侧的表达式是其定义项（definiens）——假设被定义项和定义项属于同一逻辑范畴。请注意被定义术语和被定义项之间的区别：在本例中，被定义术语是 X；被定义项是“=df”左侧的未指定表达式，可能与 X 相同，也可能不同。（有些作者将被定义术语称为“被定义项”；有些作者混淆地使用这个表达式，有时指的是被定义术语，有时指的是被定义项本身。）并非所有在逻辑和哲学文献中找到的定义都适用于方案（2）。例如，部分定义不符合该方案；另一个例子是通过引入和消除规则来定义逻辑常量。尽管如此，符合方案（2）的定义是最重要的，也是我们的主要关注点。

让我们专注于规定性定义，并反思它们的逻辑。这里的一些重要教训将延续到描述性和解释性定义中，正如我们将看到的那样。为简单起见，让我们考虑一个单一定义规定性地引入一个术语的情况。（多个定义会带来符号复杂性，但不会引起新的概念问题。）假设语言 L，即基础语言，通过添加一个新术语 X 到扩展语言 L+来扩展。其中 X 由形式（2）的定义 D 规定。D 受到什么逻辑规则的支配？定义必须满足什么要求？

在回答这些问题之前，让我们注意一个在逻辑书籍中没有明确标记但在思考定义时很有用的区别。在一种定义中，被定义的术语和被定义的术语属于相同的逻辑范畴。因此，一个特定术语通过一个特定术语来定义；一个普通术语通过一个普通术语来定义；一个句子通过一个句子来定义，依此类推。我们称这种同质定义为规则同质定义，当且仅当其被定义的术语与被定义的术语相同。以下是一些规则同质定义的示例：

(3)1:1=定义为 0 的后继，man:man=定义为有理性的动物，The True:The True=定义为一切都与自身相同。

注意，上述定义中的“真实”属于句子的范畴，而不属于单个术语的范畴。

有时人们说，定义只是缩写的配方。因此，阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德和伯特兰·罗素在《数学原理》中说，它们“严格来说，是排版上的便利（1925 年，11 页）”。这种观点只对于常规的同质定义才有合理性，尽管即使在这里也不完全站得住脚。（怀特黑德和罗素自己的观察表明，他们的定义不仅仅是“排版上的便利”[3]。）对于我们现在要讨论的第二类定义，即异质定义，定义术语和被定义术语属于不同的逻辑范畴，这种观点根本不可行。

在第二类定义中，即异质定义中，定义术语和被定义术语属于不同的逻辑范畴。因此，例如，可以使用句子式的被定义术语（例如，“x 是人”）来定义一个普通术语（例如，“人”）。另一个例子是，可以使用谓词（例如，“等于 1”）来定义一个特定术语（例如，“1”）。异质定义比同质定义更常见。例如，在熟悉的一阶语言中，通过同质定义来定义一个一元谓词 G 是没有意义的。这些语言没有形成复合谓词的资源；因此，G 的同质定义的定义式必然是原子的。然而，在异质定义中，定义式可以很容易地是复杂的；例如，

(4)Gx = dfx>3 且 x<10。

如果语言具有谓词名词化的设备，例如类抽象运算符，我们可以为 G 给出一种不同类型的异质定义：

(5)Gs = df 介于 3 和 10 之间的数字的类。

观察到像（4）这样的异质定义并不仅仅是一个缩写。首先，我们将其中的表达式 x 视为一个真正的变量，它可以进行替换和绑定。因此，定义项 Gx 并不仅仅是定义式的缩写。此外，如果这样的定义是缩写，那么它们将受到定义项必须比定义式短的要求的限制，但实际上并不存在这样的要求。另一方面，对定义的真正要求几乎没有意义。以下规定不是一个合法的定义：

(6)Gx=dfx>y&x<10.

但如果将其视为一个纯粹的缩写，那么它就没有任何不合法之处。（事实上，数学家经常使用这种类型的缩写，省略了暂时无关的变量。）

一些规定性定义只是简化的工具（例如，控制公式中省略括号的定义；参见 Church 1956，§11）。然而，许多规定性定义并非如此；它们引入了有意义的项目到我们的话语中。因此，定义（4）使得 G 成为一个有意义的一元谓词：G 在（4）的基础上表达了一个特定的概念。相比之下，在规定（6）下，G 不是一个有意义的谓词，也不表达任何类型的概念。但是，这种差异的来源是什么？为什么（4）是合法的，而（6）不是？更一般地说，何时一个定义是合法的？定义的被定义项必须满足什么要求？同样，被定义项必须是原子的吗，就像（3）和（4）中一样？如果不是，对被定义项有什么限制（如果有的话）？

2.1 两个标准

对于这些问题的任何答案，有一个合理的要求是遵守两个标准。首先，规定性定义不应使我们能够建立本质上的新主张，将其称为保守性标准。我们不应该能够通过仅仅的规定来建立关于月球的新事实。诚然，除非这个标准被明确化，否则它容易受到微不足道的反例的影响，因为定义的引入会实质性地影响一些事实。尽管如此，这个标准可以被明确化和辩护，我们很快将看到一些方法来做到这一点。

其次，定义应该确定所定义表达式 X 的使用方式，我们称之为使用准则。这个准则是合理的，因为在使用 X 时，只有定义本身可以指导我们。然而，这里存在一些复杂性。什么算作对 X 的使用？在“说”和“知道”的范围内的出现是否包括在内？在引用上下文中和单词中的 X 的出现呢，比如“Xenophanes”？最后一个问题显然应该回答“不包括”。但是前面的问题的答案并不那么清楚。还有一个复杂性：即使我们可以将真正的 X 的出现分离出来，也可能有一些出现是定义中合理忽略的。例如，商的定义可能会忽略一些术语未定义的情况（例如，除以 0 的情况）。正统观点是将这样的定义视为不合法的，但是在这里，正统观点值得质疑。然而，让我们将这个挑战留给另一个场合，并通过理想化来绕过这些复杂性。让我们限制自己在具有明确定义的逻辑结构（例如，一阶语言）且不包含定义术语 X 的出现的基础语言中。让我们限制自己在对合法 X 的出现没有任何限制的定义中。然后，使用准则要求定义应该确定扩展语言中所有表达式的使用方式，其中包含 X 的出现。

使用准则的一个变体表述是：定义必须确定定义术语的含义。这个新的表述不太确定且更有争议，因为它依赖于“含义”，这是一个模糊且在理论上有争议的概念。

注意，这两个准则适用于所有规定性定义，无论是单一的还是多个的，无论是否符合（2）的形式。

2.2 传统定义的基础

定义的传统观点基于三个思想。第一个思想是定义是广义的等同性；第二个思想是句子是首要的；第三个思想是还原。第一个思想——定义是广义的等同性——激发了传统定义的推理规则。粗略地说，这些规则是：（i）任何定义的被定义项的出现都可以被定义项的出现所替代（广义被定义项消除）；反之，（ii）任何定义项的出现都可以被被定义项的出现所替代（广义被定义项引入）。

第二个思想——句子的首要性——源于这样的思考：一个术语的基本用法是在陈述和论证中：如果我们理解一个定义术语在陈述和论证中的使用，那么我们完全掌握了这个术语。然而，在论证和陈述中，句子是首要的。因此，为了解释一个被定义术语 X 的使用，第二个思想认为，有必要且足够地解释包含 X 的句子项的使用。（这里的句子项包括具有自由变量的句子和类似句子的东西，例如（4）的定义项；今后，这些项将被称为公式。）第二个思想引发的问题当然是重大而重要的，但在简要的调查中无法解决。让我们简单地接受这个思想作为给定的。

第三个思想——简化——是指使用包含定义术语的公式 Z 时，将 Z 简化为基础语言中的公式来解释。当这个思想与句子的主导性相结合时，就会得到使用准则的一个强版本，称为可消除性准则：定义必须将包含定义术语的每个公式简化为基础语言中的公式，即不包含定义术语的公式。可消除性是传统观点的独特论点，正如我们将在下面看到的，它是可以被质疑的。

注意，传统观点并不要求对扩展语言的所有表达式进行简化；它只要求对公式进行简化。例如，对于谓词 G 的定义，不需要提供将 G（单独使用时）简化为基础语言谓词的方法。因此，传统观点与这样一种思想是一致的，即规定性定义可以为语言增加新的概念资源，因为基础语言中没有任何表达 G 在扩展语言中所表达的谓词概念。这并不是否认扩展语言中至少存在一种新命题（至少在真值条件的意义上）。

2.3 保守性和可消除性

让我们现在看看如何精确地定义保守性和可消除性。首先考虑具有精确证明系统的语言。让基础语言 L 就是这样一种语言。L 的证明系统可以是经典的、三值的、模态的、相关的，或者其他一些形式；它可能包含一些非逻辑公理，也可能不包含。我们所假设的是，我们可以使用“在 L 中可证明”和“在 L 中可证明等价”的概念，以及当 L 的证明系统补充了一个定义 D 和定义规则时，所得到的“在 L+ 中可证明”和“在 L+ 中可证明等价”的概念。现在，保守性准则可以如下精确地定义。

保守性准则（句法表述）：在 L+ 中可证明的任何 L 公式也可在 L 中证明。

也就是说，在使用定义 D 可证明的任何 L 公式也可以在不使用 D 的情况下证明：定义不会使我们在 L 中证明任何新的东西。可消除性准则可以如下精确地定义：

可消除性准则（句法表述）：对于 L+中的任何公式 A，存在一个在 L+中与 A 可证明等价的公式。

（民间传说将波兰逻辑学家 S. Leśniewski 归功于保守性和可消除性的准则，但这是一个错误；请参见 Dudman 1973，Hodges 2008，Urbaniak 和 Hämäri 2012 进行讨论和进一步参考。）[5]

现在让我们为 L 配备一个模型论语义。也就是说，我们将 L 与一类解释相关联，并提供“在解释 M 中 L 中有效”（又称为“在 M 中 L 中为真”）和“在解释 M 中 L 中语义等价”的概念。当 L 的语义与定义 D 的语义相结合时，得到“在解释 M+中 L+中有效”和“在解释 M+中 L+中语义等价”的概念。现在可以准确地描述保守性和可消除性的准则。

保守性准则（语义表述）：对于 L 中的所有公式 A，如果 A 在所有解释 M+中在 L+中是有效的，则 A 在所有解释 M 中在 L 中也是有效的。

可消除性准则（语义表述）：对于 L+中的任何公式 A，存在 L 中的一个公式 B，使得相对于所有解释 M+，B 在 L+中与 A 在语义上等价。

这两个准则的句法和语义表述明显是平行的。然而，即使我们假设 L 和 L+都满足强完备性定理，这两个表述也不一定是等价的：这取决于我们对定义 D 的语义。实际上，在每个框架内，句法和语义都可能存在几种不同且非等价的两个准则的表述。

在真理文献中，还有一个更严格的语义保守性概念备受关注（Halbach 2014，第 69 页）。假设 L+的解释 M+是 L 的解释 M 的扩展，当且仅当 M 和 M+将 L 中的量词分配给相同的域，并将 L 中的非逻辑常量分配给相同的语义值。那么我们有：

保守性准则（强语义表述）：对于 L 的每个解释 M，都可以扩展为 L+的解释 M+。

换句话说，如果一个定义不排除原始语言中的任何先前可用的解释，则它是强语义保守的。

注意，无论是在语义还是在句法上，满足保守性和可消除性标准并不是定义的绝对属性；满足与基础语言相关。不同的基础语言可以有不同的证明系统和不同的解释类别。因此，一个定义在添加到一种语言时可能满足这两个标准，但在添加到另一种语言时可能无法满足。有关这些标准的进一步讨论，请参见 Suppes 1957 和 Belnap 1993。

2.4 正规形式的定义

为了具体起见，让我们将基础语言 L 固定为具有恒等性的经典一阶语言。L 的证明系统可能包含一些非逻辑公理 T；L 的解释则是 T 的经典模型。与之前一样，L+是在 L 中添加了一个非逻辑常量 X 的定义 D 后得到的扩展语言；因此，X 可以是一个名称、谓词或函数符号。如果两个定义产生的扩展语言中的定理相同，则称这两个定义等价。然后，可以证明如果 D 满足保守性和可消除性的标准，则 D 等价于下面指定的正规形式的定义。由于正规形式的定义满足保守性和可消除性的要求，传统观点暗示我们如果要求定义处于正规形式，我们不会失去任何重要的东西。

定义的一般形式可以如下指定。名称 a，n 元谓词 H 和 n 元函数符号 f 的定义必须分别具有以下形式：

(7)(8)(9)a=x=dfψ(x)，H(x1,…,xn)=dfϕ(x1,…,xn)，f(x1,…,xn)=y=dfχ(x1,…,xn,y)，

其中变量 x1，…，xn，y 都是不同的，并且每种情况下的定义满足可以分为一般部分和特定部分的条件。[7] 定义中的一般条件在每种情况下都是相同的：它不能包含被定义的术语或除了在定义中的自由变量之外的任何自由变量。当传统的定义概念应用于非经典逻辑（例如，多值逻辑和模态逻辑）时，一般条件保持不变。特定条件更加可变。在经典逻辑中，(7)的定义 ψ(x)的特定条件是它满足存在性和唯一性条件：可以证明某个东西满足 ψ(x)，并且至多有一个东西满足 ψ(x)。[8] 对(8)没有特定条件，但对(9)的条件与(7)的条件相似。必须满足存在性和唯一性要求：公式的全称闭包必须成立。

∃yχ(x1,…,xn,y)&∀u∀v [χ(x1,…,xn,u)& χ(x1,…,xn,v)→u=v]

必须可证明。[9]

在允许空虚名称的逻辑中，（7）的定义条件会较弱：存在条件会被省略。相反，在要求名称非空虚且刚性的模态逻辑中，具体条件会被加强：不仅必须必然地证明存在和唯一性成立，还必须证明定义满足同一对象跨可能世界。

符合（7）-（9）的定义是异质的；定义的主题是句子，但被定义的术语不是。对（7）和（9）的具体条件的一个来源是它们的异质性。这些具体条件是为了确保虽然不属于被定义术语的逻辑类别，但定义者能够赋予其适当的逻辑行为。因此，这些条件确保扩展语言的逻辑与基础语言的逻辑相同。这就是为什么正常形式的具体条件可以根据基础语言的逻辑而变化的原因。请注意，无论这个逻辑是什么，对于常规的同质定义都不需要具体条件。

传统的解释为定义提供了简单的逻辑规则，也为扩展语言提供了简单的语义。假设定义 D 具有一个句子形式的定义主题。（在经典逻辑中，所有的定义都可以轻松地转化为满足这个条件。）让 D 为

（10）ϕ（x1，…，xn）= dfψ（x1，…，xn），

其中 x1，…，xn 是 ϕ 或 ψ 中的所有自由变量。令 ϕ(t1，…，tn)和 ψ(t1，…，tn)分别通过将项 t1，…，tn 替换为 x1，…，xn 在 ϕ(x1，…，xn)和 ψ(x1，…，xn)中进行同时替换；必要时更改绑定变量。那么，控制 D 的推理规则只是这些：

ϕ(t1，…，tn)ψ(t1，…，tn)定义消除 ψ(t1，…，tn)ϕ(t1，…，tn)定义引入

扩展语言的语义也很简单。例如，假设 D 是一个名为 a 的名称的定义，并且假设将其转化为正常形式后，它等价于(7)。那么，每个 L 的经典解释 M 扩展为扩展语言 L+的唯一经典解释 M+。在 M+中，a 的指称是满足 M 中的 ψ(x)的唯一对象；ψ(x)的条件确保这样的对象存在。定义的谓词和函数符号的语义类似。在非经典逻辑中，定义的逻辑和语义在传统观点下得到了类似的处理。

注意，将定义（10）添加到语言中的推理力与将其作为公理添加到语言中的推理力相同，即全称闭包

（11）ϕ（x1，…，xn）↔ψ（x1，…，xn）。

然而，（10）和（11）在逻辑行为上的相似性不应掩盖双条件（'↔'）和定义等价（'=df'）之间的巨大差异。前者是一个命题连接词，而后者是跨范畴的：不仅公式，还有谓词、名称和其他逻辑范畴的项可以出现在“=df”的两侧。此外，双条件可以迭代 - 例如，((ϕ↔ψ)↔χ)，但定义等价不能。最后，一个术语可以通过规定性定义引入到一个仅限于经典合取和析取的基础语言中。这是完全可行的，即使双条件在该语言中无法表达。在这种情况下，规定性定义的推理作用不会被扩展语言的任何公式所反映。

定义的传统观点不应被视为要求定义必须处于正常形式。它所施加的唯一要求是：（i）被定义的术语必须包含在被定义的术语中；（ii）被定义的术语和定义术语属于相同的逻辑类别；以及（iii）定义满足保守性和可消除性。只要满足这些要求，就没有进一步的限制。被定义的术语和定义术语都可以是复杂的；被定义的术语和定义术语都可以包含被定义的术语。因此，例如，如果函数表达式“the number of”的定义将其被定义的术语定义为公式“the number of Fs is the number of Gs”，那么在形式上并没有错误。正常形式的作用仅在于提供一种简单的方式来确保定义满足保守性和可消除性；它们并不提供引入术语的唯一合法格式。因此，（4）是合法的定义，而（6）不是的原因不是因为（4）处于正常形式而（6）不是。

(4)(6)Gx=dfx>3&x <10.Gx=dfx> y&x<10.

原因是（4）符合，但（6）不符合这两个标准。（在这里假设基础语言包含普通算术；在这个假设下，第二个定义暗示了一个矛盾。）以下两个定义也不是正常形式：

(12)(13)Gx=df(x>3&x<10)&y=y.Gx=df [x=0&(G0∨G1)] ∨ [x=1&(∼G0&∼G1)].

但是根据传统观点，这两种定义都应被视为合法，因为它们符合保守性和可消除性的标准。由此可见，这两个定义可以被转化为正常形式。定义（12）明显等价于（4），定义（13）等价于（14）：

(14)Gx=dfx=0.

观察到（13）的定义与任何 G-free 公式都不是逻辑上等价的。然而，该定义具有正常形式。

同样，传统的解释与递归（也称为归纳）定义完全兼容，例如在逻辑和数学中找到的定义。例如，在 Peano 算术中，可以通过以下方程来定义指数运算：

（15）m0=1，mn+1=mn⋅m。

这里的第一个方程，称为基本子句，定义了当指数为 0 时函数的值。而第二个子句，称为递归子句，利用指数为 n 时函数的值来定义指数为 n+1 时的值。根据传统的说法，这是完全合法的，因为皮亚诺算术的一个定理证明了上述定义与正常形式的等价性。递归定义在其格式上是循环的，而正是这种循环使它们清晰明了。但这种循环完全是表面上的，因为正常形式的存在表明了这一点。请参阅下面关于循环定义的讨论。

2.5 条件定义

在我们的日常实践中，有时我们不是绝对地定义术语，而是有条件地定义。我们有时在条件范围内而不是直接地肯定一个定义，这个条件可以被省略或明确地写下来。例如，我们可以通过规定 F(x, y)来表示“堂兄弟姐妹”这个概念。

(16)F(x,y)=df∃u∃v(u 是 x 的父亲且 v 是 y 的祖父母且 u 是 v 的兄弟姐妹),

其中变量的取值范围为人类。举个例子，当定义除法时，我们可以明确规定除数不能为 0。我们可以规定

(17)(y/x=z)=df(y=x.z),

但是有一个前提条件，即 x≠0。这种做法可能看起来违反了可消除性准则，因为条件定义并不能确保在所有句子中消除定义的术语。因此，(16)不能让我们证明以下等价性：

(18)∃xF(x,2)

与任何不含 F 的句子，因为(16)中存在对变量范围的暗示限制。同样，(17)也不能让我们消除定义的符号。

(19)0/0=2.

然而，如果在这里存在 Eliminability 的违反，那只是表面上的，并且可以通过两种方式轻松纠正。第一种方式——最符合我们日常实践的方式——是理解添加了定义以排除诸如 (18) 和 (19) 这样的句子的丰富语言。因为当我们规定像 (16) 这样的定义时，我们并不打算谈论数字的一次移除的表亲；相反，我们希望排除所有这样的谈论，认为它们是不恰当的。同样，在设定 (17) 时，我们希望排除将 0 作为合法除数的讨论。因此，第一种方式是认识到条件定义（如 (16) 和 (17)）会对丰富语言施加限制，并且在适当划定丰富语言后，尊重 Eliminability 准则。这个想法可以通过将条件定义视为在具有分类量化的语言中制定而得到正式实施。

第二种方式——最符合我们实际形式实践的方式——是理解在前提条件失败的情况下定义术语的应用为“不关心的情况”，并对这种应用做出适当的规定。因此，我们可以规定除人类以外的任何事物都没有一次移除的表亲，我们可以规定将任何数除以 0 的结果为 0。因此，我们可以将 (17) 替换为

(20)(y/x=z)=df [x≠0&y=x.z] ∨ [x=0&z=0]。

结果定义满足可消除性标准。第二种方式要求我们在阅读带有定义术语的句子时要小心。例如，句子

(21)∃x∃y∃z(x>y&x/z=y/z),

虽然在定义为(20)的情况下是真实的，但并不表达一个有趣的数学真理，而只是我们对“不关心的情况”的处理的副产品。尽管存在这样的代价，但在证明的概念上简单性的增益可能在某些情况下是合理的，这种定义的转变可能是合理的。

请参阅 Suppes 1957 年对条件定义的不同观点。

2.6 隐式定义

上述观点允许传统解释将一些乍看起来与之相反的想法纳入其中。有时候会提出一个术语 X 可以通过公理化引入，也就是通过规定扩展语言 L+ 的某些句子作为公理来引入。然后这些公理被称为隐式定义 X。这个想法在传统解释中很容易被接受。让一个理论是扩展语言 L+ 的一组句子。那么，说一个理论 T∗ 是 X 的隐式（规定性）定义，就是说 X 受该定义的约束。

ϕ=df 真实的，

其中 ϕ 是 T∗ 成员的合取。（如果 T∗ 是无限的，则需要对 T∗ 中的每个句子 ψ 进行上述形式的规定。）[11] 根据传统观点，只要满足保守性和可消除性标准，该定义就是合法的。如果满足这些标准，让我们称 T∗ 是可接受的（对于 X 的定义）。因此，传统观点容纳了理论可以规定性地引入新术语的想法，但它提出了一个严格的要求：这些理论必须是可接受的。[12]

为了具体起见，考虑经典一阶语言的特殊情况。让基础语言 L 是这样的一个语言，并且它的解释是一些句子 T 的模型。让我们说

T∗ 是 X 的隐式语义定义，当且仅当对于语言 L 的每个解释 M，存在唯一的模型 M+，使得 M+ 是 M 的扩展。

然后，根据正常形式定理，以下断言是立即得出的：

如果 T∗ 是可接受的，则 T∗ 是 X 的隐式语义定义。

也就是说，一个可接受的理论在基础语言的每个解释中确定了定义术语的语义值。这个观察提供了一种自然的方法来证明一个理论不可接受：

Padoa 的方法。为了证明 T∗ 不可接受，只需构造出两个 T∗ 的模型，它们是基础语言 L 的同一解释的扩展。（Padoa 1900）

这里是 Padoa 方法的一个简单且在哲学上有用的应用。假设 L 的证明系统是 Peano 算术，并且通过添加一个一元谓词 Tr（表示“L 的一个真句的哥德尔数”）来扩展 L。让 H 是由以下形式的所有句子（“Tarski 双条件句”）组成的理论：

Tr(s)↔ψ，

其中 ψ 是 L 的一个句子，s 是 ψ 的哥德尔数的规范名称。Padoa 的方法暗示了 H 不适用于定义 Tr。因为 H 不能在 L 的所有解释中固定 Tr 的解释。特别是在标准模型中，它不能这样做，因为 H 对于那些不是句子的哥德尔数的数字的行为没有任何约束。（如果编码将每个自然数映射为一个句子的哥德尔数，那么 Peano 算术的非标准模型提供了所需的反例：它有无限多个是 H 的模型的扩展。）这个论证的一个变体表明，Tarski 的真理理论，如在 L+中所阐述的，不适用于定义 Tr。

那么 Padoa 方法的逆命题呢？假设我们可以证明在基础语言的每个解释中，一个理论 T∗ 为定义的术语固定了唯一的语义值。我们能否得出 T∗ 是可接受的结论？对于某些语义系统，这个问题的答案是否定的，对于其他一些语义系统，答案是肯定的。（相比之下，只要语义系统不是高度人为的，Padoa 方法就适用。）这个逆命题对于经典的二阶语言是失败的，但对于一阶语言是成立的：

贝丝的可定义性定理。如果 T∗ 是 X 在经典的一阶语言中的隐式语义定义，则 T∗ 是可接受的。

注意，即使 T∗ 是一个无限集合，该定理仍然成立。有关该定理的证明，请参见 Boolos，Burgess 和 Jeffrey 2002 年的著作；另请参见 Beth 1953 年的著作。

隐式定义的概念与传统观点并不矛盾。矛盾出现的地方在于对该概念的哲学应用。晚 19 世纪和 20 世纪初严格还原主义计划的失败促使哲学家探索更宽松的还原主义。例如，弗雷格对数字的定义被证明是不一致的，因此无法支持逻辑主义论题，即算术原理是分析的。然而，事实证明，算术原理可以在没有弗雷格定义的情况下推导出来。只需要其中的一个结果，即休谟原理：

休谟原则。如果 F 的数量等于 G 的数量，则 F 和 G 之间存在一一对应关系。

如果我们将休谟原则添加到公理化的二阶逻辑中，那么我们可以从中得到一个一致的理论，可以在其中分析地推导出二阶皮亚诺算术。（这个论证的要点已经在弗雷格的 1884 年的著作中找到。）新弗雷格主义的一个核心论点是，休谟原则是函数表达式“数量”的隐含定义（参见哈尔和赖特 2001 年的著作）。如果这个论点可以被证明，那么关于算术的逻辑主义可以得到支持。然而，新弗雷格主义的论点与传统的定义观念相冲突，因为休谟原则违反了保守性和可消除性。该原则允许我们证明，对于任意的 n，至少存在 n 个对象。

另一个例子：对于理论概念（例如物理学中的概念）的还原主义计划旨在解决这些概念所引发的认识论问题。该计划旨在将理论句子还原为（类别的）观察句子。然而，这些还原证明是困难的，甚至是不可能的。因此，有人提出了这样的建议：也许理论的非观察成分可以被视为对理论术语的隐含定义，而不声称进行还原。非观察成分的精确描述可能因具体的认识论问题而异。但是，必然会违反保守性和可消除性这两个标准中的一个或两个。[13]

最后一个例子：我们知道根据 Tarski 的一个定理，对于上述的 Peano 算术语言，没有任何理论可以成为真理谓词 Tr 的合适定义。尽管如此，也许我们仍然可以将理论 H 视为 Tr 的隐含定义。（Paul Horwich 对于普通真理概念提出了一个密切相关的建议。）在这里，传统观点所施加的限制受到了压力。H 满足保守性准则，但不满足可消除性准则。

为了评估这些哲学应用对传统观点所构成的挑战，我们需要解决当前哲学辩论中存在的问题。其中一些问题如下：（i）显然，某些违反保守性的行为是不合法的：不能通过规定来使其成为真实，例如，水星比金星大。现在，如果一个哲学应用需要一些违反保守性的行为才能合法，我们需要一个区分两种情况的解释：合法的违反保守性和非合法的违反保守性。我们需要理解是什么使得一种合法，而另一种不合法。（ii）消除性也存在类似的问题。似乎并不是任何一个理论都可以成为一个隐含定义的术语 X。如果是这样，那么我们需要区分哪些理论可以用来隐含地定义一个术语，哪些不能。我们需要对这种区分有一个合理的解释。（iii）这些哲学应用关键地依赖于一个隐含定义确定了被定义术语的意义的观念。因此，我们需要一个解释这个意义是什么，以及隐含定义是如何确定它的。根据传统观点，包含被定义术语的公式可以被看作是从基础语言的公式中获得它们的意义。（考虑到句子的首要性，这就确定了被定义术语的意义。）但是，在对隐含定义进行自由化的概念下，这种做法是不可行的。那么，在从传统观点的离开中，我们应该如何思考公式的意义？（iv）即使前面三个问题得到了令人满意的解答，一个重要的问题仍然存在。假设我们允许物理学的一个理论 T 通过规定来定义其理论术语，并赋予这些术语特定的意义。问题是，这样赋予的意义是否与这些理论术语在物理学中的实际使用中所具有的意义相同（或足够相似）。如果隐含定义要发挥其哲学功能，这个问题必须得到肯定回答。隐含定义的目的是解释我们普通判断的合理性、先验性或分析性，而不是某些被赋予普通符号的特殊判断。

新弗雷格主义文献在这些问题上提供了一个有趣的案例研究。关于新弗雷格主义论题的讨论很大程度上可以看作是对保守性和使用准则的程度和精确表述的辩论。例如，所谓的朱利叶斯·凯撒异议（由弗雷格于 1884 年提出）认为休谟原则不能成为“数量”的合法定义，因为它不能确定该表达式在混合身份语境中的使用，比如“Fs 的数量=朱利叶斯·凯撒”。其他经典的异议（Field 1984，Boolos 1997）则关注休谟原则的非保守性。Boolos 1990 提出了一个特别尖锐的问题，被称为坏公司问题。与休谟原则相同类型的定义被称为抽象原则。Boolos 展示了一个在自身一致但与休谟原则合取时不一致的抽象原则。这种病态情况在保守定义中从不出现。因此，坏公司问题说明了当违反保守性要求时可能出现的问题。

弗雷格主义的支持者以各种方式回应了这些异议。Wright 1997 认为抽象原则只需要满足一种受限的保守性要求，根本不需要满足可消除性要求（然而，Wright 的提议遭遇了坏公司问题的报复：参见 Weir 2003）。相比之下，Linnebo 2018 主张对抽象原则有更严格的要求。他只容许谓词抽象原则，在适当的语境中同时满足保守性和可消除性。Mackereth 和 Avigad（即将出版）则持中间立场。他们认为抽象原则必须以无限制的方式满足保守性，但不需要满足可消除性。此外，Mackereth 和 Avigad 还表明，在没有可消除性的情况下，保守性的精确表述（句法 vs. 语义等）会产生很大的差异。特别是，可以得到在语义上保守的非谓词版本的休谟原则，但对于句法保守性来说似乎并非如此。

关于这些问题的进一步讨论，请参阅 Horwich 1998，特别是第 6 章；Hale 和 Wright 2001，特别是第 5 章；以及其中引用的作品。

2.7 无休止循环原则

另一个与传统理论的分歧在于，它并不认为传统理论过于严格，而是认为它过于宽松，允许一些不合法的定义。因此，传统理论允许以下定义，分别是“说谎者”和自然数 N 的类：

(22)

z 是一个说谎者 = 定义为 z 所断言的所有命题都是假的；

(23)

z 属于 N = df z 属于每个归纳类，其中一个类是归纳的，当它包含 0 并且在继承操作下是封闭的。

罗素认为，这样的定义涉及一种微妙的恶性循环。第一个定义的定义者，罗素认为，涉及到所有命题的总体，但是如果这个定义是合法的，将会导致只能通过参考这个总体来定义的命题。类似地，第二个定义试图通过参考所有类来定义类 N，其中包括正在被定义的类 N。罗素认为这样的定义是不合法的。他对定义和概念提出了以下要求，称为“恶性循环原则”（Henri Poincaré 也提出了类似的想法）。

恶性循环原则。“任何涉及到一个集合的所有内容的东西都不能是这个集合的一部分（罗素 1908，63）。

罗素对原则的另一种表述是这样的：

恶性循环原则（变体表述）。" 如果一个特定的集合只能通过该集合的总数来定义其成员，那么该集合就没有总数（罗素，1908 年，63 页）。

在附注中，罗素解释道：“当我说一个集合没有总数时，我是指关于其所有成员的陈述是无意义的。”

罗素提出“恶性循环原理”的主要动机是逻辑和语义悖论。在某些不利条件下，“真理”、“命题”和“类”等概念会产生悖论性的结论。因此，如果“切尼是个骗子”这样的说法中，“骗子”被理解为（16）中的含义，如果切尼声称自己是个骗子，并且他声称的其他命题实际上都是假的，就会得出悖论性的结论。罗素认为“恶性循环原理”意味着，如果“切尼是个骗子”表达了一个命题，它不能在（16）的定义中的量词的范围内。更一般地说，罗素认为对所有命题和所有类进行量化违反了“恶性循环原理”，因此是不合法的。此外，他认为“真”和“假”等表达的不是一个唯一的概念，而是不同阶层的命题函数中的一个。因此，罗素从这些悖论中得出的教训是，有意义的领域比通常看起来要受到更多限制，传统的概念和定义的解释需要更加严格，以排除类似（16）和（17）的情况。

然而，对于普通的非正式定义，恶性循环原理并没有提供一个明确的方法来区分有意义的和无意义的。定义（16）被认为是不合法的，因为在其定义中，量词涵盖了所有命题的总体。我们被告知这是被禁止的，因为如果允许这样做，命题的总体“只能通过总体来定义”。然而，除非我们对命题的性质和可用于定义它们的手段有更多了解，否则无法确定（16）是否违反了原则。例如，如果命题是可能世界的集合，那么似乎可以给出一个不涉及所有命题总体的定义。

然而，“恶性循环原理”仍然是对合法概念和定义的一个有效动机，即罗素的分层类型理论。这里的想法是从一些不涉及命题、概念等量化的无问题资源开始。这些资源使得我们能够定义各种一元概念，并确保它们满足“恶性循环原理”。因此，对这些概念的量化必然是合法的，并可以添加到语言中。对于命题和其他类型的概念也是如此：对于每种类型，可以添加一个量词，它涵盖使用初始无问题资源定义的项目（属于该类型）。新的量化资源使得可以定义更多每种类型的项目；这些项目也遵守原则，并且可以合法地添加到语言中的扩展总体的量词。新的资源允许定义更多的项目。这个过程重复进行。结果是我们有了一个层次结构的命题和不同阶层的概念。类型层次分化为多个阶层。这种分化确保了在生成的语言中制定的定义必然遵守“恶性循环原理”。在这个方案的范围内可以定义的概念和类被称为“陈述性的”（在这个词的一个意义上）；其他的则是“非陈述性的”。

对于进一步讨论恶性循环原理，请参阅 Russell 1908、Whitehead 和 Russell 1925、Gödel 1944 和 Chihara 1973。关于分层类型理论的正式介绍，请参阅 Church 1976；关于更为非正式的介绍，请参阅 Hazen 1983。还请参阅关于类型理论和《数学原理》的条目，其中包含更多参考资料。

2.8 循环定义

这些悖论也可以用来推动与 Russell 完全相反的结论。考虑以下对一元谓词 G 的定义：

(24)Gx=dfx=Socrates∨(x=Plato&Gx)∨(x=Aristotle&∼Gx).

这个定义本质上是循环的；它不能简化为正常形式。然而，直观上，它对于 G 的使用提供了实质性的指导。例如，该定义规定苏格拉底属于 G，除了提到的三位古代哲学家之外，没有其他东西属于 G。该定义未解决的只有两个对象的状态，即柏拉图和亚里士多德。如果我们假设柏拉图属于 G，那么根据定义，柏拉图确实属于 G（因为柏拉图满足定义），从而证实了我们的假设。如果我们假设相反，即柏拉图不属于 G，那么我们的假设也得到了证实。对于亚里士多德，任何试图确定他是否属于 G 的尝试都会使我们陷入更加不稳定的境地：如果我们假设亚里士多德属于 G，根据定义，我们得出的结论是他不属于 G（因为他不满足定义）；反之，如果我们假设他不属于 G，我们得出的结论是他属于 G。但即使对于柏拉图和亚里士多德，G 的行为也并不陌生：G 在这里的行为方式与真理概念在真话者（“我现在说的是真的”）和说谎者（“我现在说的不是真的”）上的行为方式相似。更一般地说，循环定义的概念的行为与真理概念的行为之间存在着强烈的类比。两者通常在一系列案例上都有明确定义，并且在其他案例上都显示出各种不寻常的逻辑行为。事实上，真理概念的各种令人困惑的逻辑行为也在循环定义的概念中找到。这种强烈的类比表明，由于真理显然是一个合法的概念，因此循环定义的概念（如（18））也是合法的。从这个观点来看，这些悖论并不对真理概念的合法性产生怀疑。它们只是表明循环概念的逻辑和语义与非循环概念不同。这个观点在修订定义理论中得到了发展。

在这个理论中，循环定义赋予了被定义术语一种假设性的含义；被定义术语的语义值是一个修订规则，而不是像非循环定义那样是一个应用规则。再次考虑（18）。像任何定义一样，（18）在给定了定义中的非逻辑常量的解释后，确定了被定义术语的解释。（18）的问题在于被定义术语 G 出现在定义中。但假设我们任意地给 G 分配一个解释——比如说，我们让它是论域中所有对象的集合 U（即，我们假设 U 是满足 G 的对象的集合）。然后很容易看出，定义在苏格拉底和柏拉图上是真的。因此，根据我们的假设，定义规定 G 的解释应该是集合 {苏格拉底，柏拉图}。对于 G 的解释的任何假设，都可以进行类似的计算。例如，如果假设是 {克诺克拉底特斯}，那么定义得出的结果是 {苏格拉底，亚里士多德}。简而言之，即使（18）没有明确确定哪些对象属于 G，它确实产生了一个规则或函数，当给定一个假设性解释作为输入时，会产生另一个解释作为输出。修订定义理论的基本思想是将这个规则视为修订规则：输出解释比输入解释更好（或者至少和输入解释一样好；这个限定将被视为已知）。定义赋予被定义术语的语义值不是一个扩展——将论域划分为属于被定义术语和不属于被定义术语的对象的界定，而是一个修订规则的语义值。

修订规则解释了一个循环概念的普通和非凡行为。让 δ 是由一个定义产生的修订规则，V 是一个任意的假设解释。我们可以通过反复应用规则 δ 来改进我们的假设 V。结果序列，

V,δ(V),δ(δ(V)),δ(δ(δ(V))),…

是 δ 的修订序列。对于所有可能的初始假设，对 δ 的修订序列的总体是由 δ 生成的修订过程。例如，(18)的修订规则生成了以下修订序列之一：

U，{苏格拉底，柏拉图}，{苏格拉底，柏拉图，亚里士多德}，{苏格拉底，柏拉图}，…{克诺克拉底}，{苏格拉底，亚里士多德}，{苏格拉底}，{苏格拉底，亚里士多德}，…

观察我们四位古代哲学家在这个过程中的行为。经过一些初步的修订阶段，苏格拉底总是在修订的解释中被排除在外，而克诺克拉底总是被排除在外。（在这个特定的例子中，两者的行为在初始阶段后是固定的；在其他情况下，一个对象的状态可能需要经过多个修订阶段才能确定。）修订过程对这两位哲学家做出了分类的判断：苏格拉底明确地属于 G，而克诺克拉底明确地不属于 G。在这个过程中没有得出明确判断的对象被称为病态的（相对于修订规则、定义或定义的概念而言）。在我们的例子中，柏拉图和亚里士多德相对于（18）是病态的。亚里士多德的状态在任何修订序列中都不稳定。就像修订过程无法确定他的状态一样。有时亚里士多德被判定为属于 G，然后过程反转并宣布他不属于 G，然后过程再次反转。当一个对象在所有修订序列中都表现出这种行为时，被称为悖论的。柏拉图相对于 G 也是病态的，但他在修订过程中的行为不同。柏拉图在每个修订序列中都获得了稳定的状态，但他获得的状态取决于初始假设。

修订过程有助于为循环定义提供语义学。它们可以用来定义语义概念，如“分类真理”和逻辑概念，如“有效性”。我们获得的逻辑概念的特征在很大程度上取决于修订过程中对象在定期行为之前经历的阶段数。定义被称为有限的，如果大致上，它的修订过程只需要有限多个这样的阶段。对于有限的定义，存在一个简单的逻辑演算，C0，它对修订语义是完备和正确的。对于非有限的定义，修订过程延伸到超限。这些定义可以为语言增加相当大的表达能力。（当添加到一阶算术中时，这些定义可以定义所有的 Π12 自然数集。）由于表达能力的原因，非有限循环定义的一般有效性概念是不可公理化的（Kremer 1993）。我们最多可以给出一个正确的逻辑演算，但不能给出一个完备的逻辑演算。这种情况类似于二阶逻辑。

让我们观察一下定义修订理论的一些一般特征。(i) 在这个理论下，非循环定义（即正常形式的定义）的逻辑和语义与传统观点中的相同。引入和消除规则是无限制的，修订阶段是可有可无的。与传统观点的偏离仅发生在循环定义上。(ii) 在这个理论下，循环定义不会干扰基础语言的逻辑。包含定义术语的句子受到与基础语言句子相同的逻辑法则的约束。(iii) 保守性成立。任何定义，无论其中的循环性有多么恶劣，在基础语言中都不会导致任何新的内容。即使是完全矛盾的定义 Gx=df∼Gx 也是如此。(iv) 可消除性不成立。扩展语言的句子通常不能简化为基础语言的句子。这种失败有两个原因。首先，修订理论在断言和论证中使用扩展语言的句子，但没有将这些句子简化为基础语言的句子。因此，该理论符合使用准则，但不符合更强的可消除性准则。其次，在这个理论中，定义可以为基础语言增加逻辑和表达能力。循环定义的添加可以导致新集合的可定义性。这是可消除性失败的另一个原因。

Gx=df∼Gx

尊重保守性要求。 (iv) 消除性不能保持。扩展语言的句子通常不能简化为基础语言的句子。这种失败有两个来源。首先，修订理论确定了扩展语言的句子在断言和论证中的使用，但没有将这些句子简化为基础语言的句子。因此，该理论符合使用标准，但不符合更强的消除标准。其次，在这个理论中，定义可以为基础语言增加逻辑和表达能力。循环定义的添加可能导致新集合的可定义性。这也是消除性不能保持的另一个原因。

可以提出反对意见，即每个概念都必须有一个范围，即必须有一个明确的对象总体属于该概念。如果这是正确的，那么谓词是有意义的-它表达了一个概念-只有当谓词必然将世界明确地划分为适用于它的对象和不适用于它的对象时。因此，反对意见得出结论，没有一个本质上循环定义的谓词可以有意义。这个反对意见显然不是决定性的，因为它基于一个排除了许多普通而明显有意义的谓词（例如，“秃头”）的前提。尽管如此，这个反对意见值得注意，因为它说明了关于意义和概念的一般问题如何进入对合法定义要求的辩论中。

修订理论的主要动机是描述性的。有人认为，这个理论有助于我们更好地理解我们的普通概念，如真理、必要性和理性选择。据认为，这些概念的普通行为和令人困惑的行为都源于概念的循环性。如果这是正确的，那么对于描述性和解释性定义，没有逻辑要求它们必须是非循环的。

关于这些主题的更详细的论述，请参见 Gupta 1988/89，Gupta 和 Belnap 1993 以及 Chapuis 和 Gupta 1999。另请参阅有关真理修订理论的条目。关于修订理论的批评讨论，请参见 Villanueva 1997 中 Vann McGee 和 Donald A. Martin 的论文以及 Gupta 的回复。另请参阅 Shapiro 2006。

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Other Internet Resources

Definitions, Dictionaries, and Meanings, notes by Norman Swartz, Simon Fraser University

Acknowledgments

The authors would like to thank Edward Zalta and any anonymous editor for helpful suggestions for improving this entry.

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